Вопрос 25. Задача потребительского выбора.

 

Пусть имеется два вида товара и потребитель приобрета­ет первый товар в количестве х_1; а второй — в количестве х₂. Полезность тогда представляет некоторую функцию от х_х и х₂, которую запишем как U = U(x_1; x₂).

Значение U(x₁ x₂) на потребительском наборе (х₁, х₂) равно потребительской оценке индивидуума для этого набо­ра. Так, если U(2,6) = 30, a U(5,3) = 40, то это означает, что с точки зрения потребителя лучше приобрести пять единиц первого товара и три единицы второго товара, чем две еди­ницы первого товара и шесть единиц второго товара.

Потребительскую оценку U(x_p x₂) набора (х_р х₂) приня­то называть уровнем (или степенью) удовлетворения потреб­ностей индивидуума, если он приобретает или потребляет дан­ный набор (х_р х₂).

Частные производные называются предельными полезностями. Линия, соединяющая потребительские наборы (x_v x₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребнос­тей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется кар­той линий безразличия.

Закон убы­вания предельной полезности: предельная полезность каждо­го продукта уменьшается, если объем его потребления рас­тет. В жизни этот закон очевиден: если приобретается оче­редной автомобиль, то это доставляет меньше удовольствия, чем покупка первой машины.

Итак, будем считать, что потребитель располагает доходом f, который он полностью тратит на приобретение благ (продуктов). Точнее говоря, величина f - это не доход, а расход данного потребителя. Потребитель решает статическую задачу, то есть в модели не учитываются его межвременные предпочтения и возможности делать или расходовать сбережения. Цены благ считаются заданными. Учитывая структуру цен, доход и собственные предпочтения, потребитель приобретает определенные количества благ, и математическая модель такого его поведения называется моделью потребительского выбора. Вначале мы рассмотрим модель с двумя видами благ. Такая модель удобна прежде всего возможностью графической интерпретации, сохраняя при этом все принципиальные свойства общей модели.

Рассмотрим потребительские наборы из двух благ. Потребительский набор (для краткости набор) - это вектор (х_{,х_г), координатах x₁ которого равна количеству единиц первого блага, а координата х₂ равна количеству единиц второго блага.

Выбор потребителя (индивидуума) характеризуется отношением предпочтения, суть которого состоит в следующем. Считается, что потребитель про каждые 2 набора может сказать, что либо один из них более желателен, чем другой, либо потребитель не видит между ними разницы. Отношение предпочтения транзитивно, т.е. если набор A=(a_t,a₂) предпочтительнее набора B=(b_i,b₂), а набор В предпочтительнее набора C=(c_vc₂), то набор А предпочтительнее набора С.

Для того чтобы формализовать выбор потребителя с учетом его цели, в пространстве определим индивидуальное отношение предпочтения, обозначаемое символом». При помощи этого отношения любой набор можно сравнить с другим набором. Запись» означает, что либо х предпочтительнее у, либо наборы х и у для потребителя безразличны. Говорят, что наборы х и у безразличны для данного потребителя, () тогда и только тогда когда и Таким образом, отношение безразличия разбивает все пространство на классы эквивалентности (безразличия). Исходя из логики сравнения товаров, потребуем чтобы отношение» удовлетворяло следующим аксиомам:

1) рефлексивность,

2) транзитивность,

3) полнота (из двух наборов х и у предпочтительнее либо х либо у),

4) симметричность.

На множестве потребительских наборов (x_t,x₂) определена функция U(х₁ х₂,) (называемая функцией полезности потребителя), значение u(x_vx₂) которой на потребительском наборе равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. Каждый потребитель имеет, вообще говоря, свою функцию полезности. Если набор А предпочтительнее набора В, то и(А)>и(В). В терминах функции полезности отношение безразличия задается равенством u(x)=u(y).

Приведем примеры некоторых, наиболее часто применяемых функций полезности и виды их карт безразличия. Эти функции, как показала практика, при определенных условиях достаточно объективно отражают предпочтение потребительского выбора.

Неоклассическая функция полезности (функция Кобба-Дугласа):

где а - фактор шкалы измерения полезности, ..

Логарифмическая функция полезности (функция Бернулли)

где .

Экспоненциальная функция полезности:

где .

 

Функция полезности удовлетворяет следующим свойствам:

1) Возрастание потребления одного продукта при постоянном потреблении другого продукта ведет к росту потребительской оценки, т.е.

Первые частные производные называются предельными полезностями продуктов: предельная полезность первого продукта, предельная полезность второго продукта. Для предельных полезностей первого и второго продуктов используется также символика

2) Предельная полезность каждого продукта уменьшается, если объем его потребления растет (это свойство предельной полезности называется законом убывания предельной полезности).

3) Предельная полезность каждого продукта увеличивается, если растет количество другого продукта. В этом случае продукт, количество которого фиксировано, оказывается относительно дефицитным. Поэтому дополнительная его единица приобретает большую ценность и может быть потреблена более эффективно

Линия, соединяющая потребительские наборы (х,,х₂), имеющие один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума, называется линией безразличия. Линия безразличия есть не что иное, как линия уровня функции полезности. Множество линий безразличия называется картой линий безразличия. Линии безразличия, соответствующие разным уровням удовлетворения потребностей, не касаются и не пересекаются. Чем "северо-восточнее" расположена линия безразличия, тем большему уровню удовлетворения потребности она соответствует.

Линия безразличия убывает (является нисходящей) и строго выпукла к началу координат (к точке 0).

Задача потребительского выбора (задача рационального поведения потребителя на рынке) заключается в выборе такого потребительского набора, который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении.

Бюджетное ограничение означает, что денежные расходы на продукты не могут превышать денежного дохода, т.е. , где р₁,р₂- рыночные цены одной единицы первого и второго продуктов соответственно, а J - доход индивидуума, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Формально задача потребительского выбора имеет вид:

Допустимое множество (то есть множество наборов благ, доступных для потребителя) представляет собой треугольник, ограниченный осями координат и бюджетной прямой. На этом множестве требуется найти точку, принадлежащую кривой безразличия с максимальным уровнем полезности. Поиск этой точки можно интерпретировать графически как последовательный переход на линии все более высокого уровня полезности (вправо-вверх) до тех пор, пока эти линии еще имеют общие точки с допустимым множеством.

Решение задачи потребительского выбора и его свойства

Набор (х₁°,х₂⁰), который является решением задачи потребительского выбора, принято называть оптимальным для потребителя, или локальным рыночным равновесием потребителя.

Вначале остановимся на некоторых важных свойствах задачи потребительского выбора. Во-первых, решение задачи сохраняется при любом монотонном (то есть сохраняющем порядок значений) преобразовании функции полезности u(x_t,x₂). Поскольку значение и было максимальным на всем допустимом множестве, оно остается таковым и после монотонного преобразования функции полезности (допустимое множество, определяемое бюджетным ограничением, остается неизменным). Таким монотонным преобразованием может быть умножение функции полезности на некоторое положительное число, возведение ее в положительную степень, логарифмирование по основанию, большему единицы. Во-вторых, решение задачи потребительского выбора не изменится, если все цены и доход увеличиваются (уменьшаются) в одно и то же число раз X.

Это равнозначно умножению на положительное число X обеих частей бюджетного ограничения, что дает неравенство, эквивалентное исходному. Поскольку ни цены, ни доход не входят в функцию полезности, задача остается той же, что и первоначально.

Итак, задачу потребительского выбора можно заменить задачей на условный экстремум (ибо решение (х°,х₂⁰) этих двух задач одно и то же)

 

Для решения этой задачи на условный экстремум применим метод Лагранжа.

Выписываем функцию Лагранжа

Решая систему, получаем следующее решение задачи потребительского выбора: . Второе уравнение системы можно переписать в виде , то есть в точке локального рыночного равновесия отношение предельных полезностей продуктов равно отношению рыночных цен на эти продукты.

В качестве примера можно решить задачу.

Для с функцией полезности U(x1, x2) = найти значение вектора спроса на оба товара при ценах p1 = 2 и p2=5 и доходе Q=40

Решение:

Функция спроса описывается системой уравнений

=

P₁*x₁+p₂*x₂ = Q

 

Найдем = и =

=

2x₁+5x₂ = 40

Решая систему получаем x1=10; x2 = 4.

Для потребителя с функцией полезности u(х₁, х₂)= найти значения вектора спроса на оба товара при векторе цен р(2,5) и доходе I=40.

Ответ: (10;2,5)