Вопрос 26. Нечеткие вычисления.

Любая наука занимается изучением определенных моделей реального мира. Описывая что-либо словами, мы формулируем модель какого-то реального события или объекта. Но при этом модель вряд ли будет точной копией объекта. В модели всегда присутствует неопределенность, которую необходимо учитывать в дальнейших рассуждениях и исследованиях. Существуют разные типы неопределенностей. Во-первых, это физическая неопределенность. Например, хоть мы и имеем на руках рулетку всегда сложно измерить расстояние с точностью до, например, микрона. Или как узнать вероятность того, что первый встречный человек будет из другого города? Физическая неопределенность может быть следствием неточности (проблемы такого рода позволяет разрешить теория измерений) или случайности (это объект изучения теории вероятностей). Второй вид неопределенности – это лингвистическая неопределенность. Она может возникать в результате неопределенности смысла фраз, этим вопросом занимается теория формальных грамматик. Примером такого рода неопределенности может служить известная фраза «Казнить нельзя помиловать». Либо причиной лингвистической неопределенности может быть неопределенность значений слов. Как точно описать значение понятий «человек среднего роста», «высокий уровень безопасности» и пр.? Этими вопросами занимается теория нечетких множеств. Способность человека принимать правильные решения в обстановке неполной и нечеткой информации является наиболее поразительным свойством человеческого интеллекта. Построение моделей приближенных рассуждений человека и использование их в компьютерных системах будущих поколений представляет сегодня одну из важнейших проблем науки.

Значительное продвижение в этом направлении сделано в 1965 г. профессором Калифорнийского университета Лотфи А. Заде. Что же предложил Заде? Во-первых, он расширил классическое канторовское понятие множества, допустив, что характеристическая функция (функция принадлежности элемента множеству) может принимать любые значения в интервале (0;1), а не только значения 0 либо 1. Такие множества были названы им нечеткими (fuzzy). Л.Заде определил также ряд операций над нечеткими множествами и предложил обобщение известных методов логического вывода modus ponens и modus tollens.

Введя затем понятие лингвистической переменной и допустив, что в качестве ее значений (термов) выступают нечеткие множества, Л.Заде создал аппарат для описания процессов интеллектуальной деятельности, включая нечеткость и неопределенность выражений.

Дальнейшие работы профессора Л.Заде и его последователей заложили прочный фундамент новой теории и создали предпосылки для внедрения методов нечеткого управления в инженерную практику.

В последние 5-7 лет началось использование новых методов и моделей в промышленности. И хотя первые применения нечетких систем управления состоялись в Европе, наиболее интенсивно внедряются такие системы в Японии. Математическая теория нечетких множеств, предложенная Л.Заде, позволяет описывать нечеткие понятия и знания, оперировать этими знаниями и делать нечеткие выводы. Основанные на этой теории методы построения компьютерных нечетких систем существенно расширяют области применения компьютеров. Спектр приложений их широк: от управления процессом отправления и остановки поезда метрополитена, управления грузовыми лифтами и доменной печью до стиральных машин, пылесосов и СВЧ-печей. Нечеткие методы помогают управлять домной и прокатным станом, автомобилем и поездом, распознавать речь и изображения, проектировать роботов, обладающих осязанием и зрением. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу к человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы.

Если E - универсальное множество, x - элемент E, а R - некоторое свойство, то обычное (четкое) множество A универсального множества E, элементы которого удовлетворяют свойству R, определяется как множество упорядоченных пар A = {_A (х)/х}, где _A(х) - характеристическая функция, принимающая значение 1, если x удовлетворяет свойству R, и 0 - в противном случае.

Например, буквы латинского алфавита X, Y, Z принадлежат множеству {B, M, Z, F,Y, X}, а буквы R,K-не принадлежат. Тогда данное множество является четким и верна запись {X/1, Y/1, Z/1} и {R/0, K/0}.

Нечеткое подмножество отличается от обычного тем, что для элементов x из E нет однозначного ответа "да-нет" относительно свойства R. В связи с этим, нечеткое подмножество A универсального множества E определяется как множество упорядоченных пар A = {_A(х)/х}, где _A(х) - характеристическая функция принадлежности (или просто функция принадлежности), принимающая значения в некотором вполне упорядоченном множестве M (например, M = [0,1], но эта область может быть и такой [-1, 1]). Функция принадлежности указывает степень (или уровень) принадлежности элемента x подмножеству A. Множество M называют множеством принадлежностей. Если M = {0,1}, то нечеткое подмножество A может рассматриваться как обычное или четкое множество.

Нечеткие числа - нечеткие переменные, определенные на числовой оси, т.е. нечеткое число определяется как нечеткое множество А на множестве действительных чисел R с функцией принадлежности _A(x)[0,1], где x - действительное число, т.е. xR.

Нечеткое число показывает степень соответствия объекта данному нечеткому множеству. Причем:

а) существует такое значение носителя, в котором функция принадлежности равна 1, б) при отступлении от своего максимума влево или вправо функция принадлежности убывает.

 

Выделяют трапециевидные и треугольные нечеткие числа, функции принадлежности которых имеют соответственно вид:

Треугольная функция принадлежности определяется тройкой чисел (a,b,c), и ее значение в точке x вычисляется согласно выражению:

При (b-a)=(c-b) имеем случай симметричной треугольной функции принадлежности, которая может быть однозначно задана двумя параметрами из тройки (a,b,c).

Аналогично для задания трапецеидальной функции принадлежности необходима четверка чисел (a,b,c,d):

Вычислениями над нечеткими числами занимается отдельный раздел теории нечетких множеств - мягкие вычисления (нечеткая арифметика). Эти операции вводятся через операции над функциями принадлежности. Как и в арифметике, используют операции «сложения», «вычитания», «умножения» и пр.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

_A(x₁)=0,3; _A(x₂)=0; _A(x₃)=1; _A(x₄)=0,5; _A(x₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅ } или

A = 0,3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0,5/x₄ + 0,9/x₅, или

A =	x1 x2 x3 x4 x5 0,3     0,5 0,9

. Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Пусть Х=(1,2.3.4,5,6,7,8,9.10). Тогда нечеткое множество «большие числа» может быть представлено следующим образом: А= «большие числа»=0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10. Это следует понимать следующим образом: 9 и 10 с абсолютной уверенностью можно отнести к «большим числам», 8 есть большое число со степенью 0,8, 1,2,3,4,5 абсолютно не являются большими числами.

Функцию принадлежности можно изображать графически. Например, график функции принадлежности «Оптимальный возраст работника».

 

Видно, что возраст от 20 до 30 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше- как неоптимальный. В диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, структура которой передается графиком функции принадлежности.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

_{"молодой"}(x) = .

Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности _{"молодой"}(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

_{"молодой"}(Сидоров):= _{"молодой}"(x), где x - возраст Сидорова.

Например, известны следующие данные

 

Фамилия	Возраст
Иванов
Петров
Сидоров
Грибков
Серов

 

Тогда данное множество можно описать следующим образом: ={1/18+0,96/26+0,02/64+0,34/32+0,003/85}