Вопрос 8. Линии второго порядка, их канонические уравнения, фокусы, директрисы., асимптоты.

Взаимное расположение прямых

4. Взаимное расположение прямых и , заданных точками , и направляющими векторами соответственно определяется по следующим условиям:

а) и параллельны, если направляющие векторы коллинеарны, то есть , но или

б) и совпадают, если направляющие векторы коллинеарны, то есть ,а также и

в) и пересекаются, если , , или смешанное произведение из трех определяющих векторов равно нулю:

Угол между двумя прямыми определяется из формулы

г) и скрещиваются, если смешанное произведение трех определяющих векторов отлично от нуля:

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми и в этом случае определяется по формуле:

5. Расстояние от точки М до прямой, заданной точкой М₀ и направляющим вектором p:

 

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором , а плоскость – уравнением общего вида Ах + Ву + Сz +D = 0. Возможны следующие случаи их взаимного расположения:

а) Прямая и плоскость параллельны, если , а

б) Прямая принадлежит плоскости, если и

в) Прямая и плоскость пересекаются, если

В этом случае угол между прямой и плоскостью равен .

 

Сложное отношение четырёх точек

Пусть на проективной прямой заданы точки: А, В, С, D, так, что точки А, В и С различные, а точка D не совпадает с точкой А.

Рассмотрим репер R₀=(А, В, С) и обозначим координаты точки D (х₁,х₂)_R, т.к. D не совпадает с т. А, то х₂≠0.

Число обозначаемое (АВ, СD)=х₁/х₂ называется сложным отношением четырёх точек.

Теорема: Координатное представление сложного соотношения четырёх точек.

Пусть в проективном репере т. А, В, С, D имеют координаты А(а₁, а₂), В(b₁, b₂), С(c₁, c₂), D(d₁, d₂), тогда

Свойства сложного отношения четырёх точек.

1. (АВ, СD)=1/ (AB, DC), (АВ, СD)=1/(ВА, DС)

2. (АВ, CD)=(BA,DC)

3. (АВ, СD)=(СD, АВ)

4. (АВ, СС)=1, (АВ, СВ)=0

5. (АВ, СD) + (АС, ВD)=1

Доказательство проводится на основе определения сложного отношения при учете, что рассматривается репер (А, В, С), где А(1, 0), В(0, 1), С(1, 1).

Зная сложное отношение четырёх точек А, В, С, D, можно найти сложное отношение всевозможных комбинаций этих точек.

Говорят, что точки А, В гармонически разделяют точки С, D, если (АВ, СD)=-1.

Алгоритм решения задач

1. Находим область допустимых решений системы ограничений задачи.

2. Строим вектор С.

3. Проводим линию уровня L_o, которая перпендикулярна С.

4. Линию уровня перемещаем по направлению вектора С для задач на максимум и в направлении, противоположном С, для задач на минимум.

Перемещение линии уровня производится до тех пор, пока у нее не окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка, определяющая единственное решение задачи ЛП, и будет точкой экстремума.

Если окажется, что линия уровня параллельна одной из сторон ОДР, то в таком случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений. Говорят, что такая задача ЛП имеет альтернативный оптимум.

Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие ее ограничения окажутся противоречивыми.

5. Находим координаты точки экстремума и значение целевой функции в ней.

Пример: Выбор оптимального варианта выпуска изделий

Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы даны в табл.

 

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого	Запас, кг
Сливочное	Шоколадное
Молоко	0,8	0,5
Наполнители	0,4	0,8

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 16 р., шоколадного — 14 р.

Какое количество мороженого каждого вида должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?

решение. Обозначим: x₁ — суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; x₂ — суточный объем выпуска шоколадного мороженого, кг.

Составим математическую модель задачи.

Целевая функция будет иметь вид L(x) = 16 x₁ + 14 x₂ -> max при ограничениях:

OABDEF — область допустимых решений. Строим вектор с(1,1). Линия уровня задается уравнением 16x₁+14x₂=const. Перемещаем линию уровня по направлению вектора с. Точ­кой выхода из области допустимых решений является точка D, ее координаты определяются как пересечение прямых, заданных уравнениями:

Решая систему, получим координаты точки D(312,5; 300), в которой и будет оптимальное решение, т.е. Х(опт)=(312,5;300), при этом L_max(x)=16*312,5+14*300=9200р. Таким образом, фирма должна выпускать в сутки 312,5 кг сливочного мороженого и 300 кг шоколадного мороженого, при этом доход от реализации составит 9 200 р.

 

Идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) заключается в том, что, начиная с некоторого исходного опорного решения, осуществляется последовательно направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному. Значение целевой функции при этом перемещении для задач на максимум не убывает. Так как число опорных решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное опорное решение. Опорным решением называется базисное неотрицательное решение.

Если задача линейного программирования имеет оптимальное решение, то оно соответствует хотя бы одной угловой точке многогранника решений и совпадает, по крайней мере, с одним из допустимых базисных решений системы ограничений. Поэтому можно предложить такой способ решения любой задачи линейного программирования: перебрать конечное число допустимых базисных решений системы ограничений и выбрать среди них то, на котором функция цели принимает оптимальное решение. Геометрически это соответствует перебору всех угловых точек многогранника решений. Такой перебор, в конце концов, приведет к оптимальному решению (если оно существует), однако его практическое осуществление связано с огромными трудностями, так как для реальных задач число допустимых базисных решений хотя и конечно, но может быть чрезвычайно велико.

Число перебираемых допустимых базисных решений можно сократить, если производить перебор не беспорядочно, а с учетом изменений линейной функции, т.е. добиваясь того, чтобы каждое следующее решение было "лучше" (или, по крайней мере, "не хуже"), чем предыдущее, по значениям линейной функции (увеличение ее при отыскании максимума F-> max, уменьшение — при отыскании минимума F-> min).

Такой перебор позволяет сократить число шагов при отыскании оптимума. Поясним это на графическом примере.

Пусть область допустимых решений изображается многоугольником ABCDEGH. Предположим, что его угловая точка А соответствует исходному допустимому базисному решению. При беспорядочном переборе пришлось бы испытать семь допустимых базисных решений, соответствующих семи угловым точкам многоугольника. Однако из чертежа видно, что после вершины А выгодно перейти к соседней вершине В, а затем — к оптимальной точке С.

Вместо семи перебрали только три вершины, последовательно улучшая линейную функцию.

Рассмотрим две задачи I и II линейного програм­мирования, обладающими следующими свой­ствами:

1. В одной задаче ищут максимум линейной функции, в другой — минимум.

2. Коэффициенты при переменных в линейной функции одной за­дачи являются свободными членами системы ограничений в другой.

3. Каждая из задач задана в стандартной форме, причем в задаче максимизации все неравенства вида "<", а в задаче минимизации — все неравенства вида ">".

4. Матрицы коэффициентов при переменных в системах ограни­чений обеих задач являются транспонированными друг к другу.

Различают симметричные, несимметричные и смешанные двойственные задачи.

Две задачи I и II линейного программирования, обладающие ука­занными свойствами, называются симметричными взаимно двойст­венными задачами. В дальнейшем для простоты будем называть их просто двойственными задачами.

Исходя из определения, можно предложить следующий алго­ритм составления двойственной задачи.

1. Привести все неравенства системы ограничений исходной задачи к одному смыслу: если в исходной задаче ищут мак­симум линейной функции, то все неравенства системы ог­раничений привести к виду "≤", а если минимум — к виду "≥". Для этого неравенства, в которых данное требование не выполняется, умножить на -1.

2. Составить расширенную матрицу системы, в которую включить матрицу коэффициентов при переменных, стол­бец свободных членов системы ограничений и строку ко­эффициентов при переменных в линейной функции.

3. Найти матрицу, транспонированную к данной матрице.

4. Сформулировать двойственную задачу на основании полученной матрицы и условия неотрицательности переменных.

Связь между оптимальными решениями двойственных задач устанавливается с помощью теорем двойственности.

ТЕОРЕМА 1. Если одна из двойственных задач имеет оп­тимальное решение, то другая также имеет оптимальное решение, причем для любых оптимальных решений Х и Y вы­полняется равенство .

Если одна из двойственных задач неразрешима ввиду то­го, что , то другая задача не имеет допустимых решений.

ТЕОРЕМА 2. Для оптимальности допустимых решений Х и У пары двойственных задач необходимо и достаточно, что­бы они удовлетворяли системе уравнений

Теоремы позволяют определить оптимальное решение одной из пары задач по решению другой.

Пример. Порешению исходной задачи найти решение двойственной, и наоборот.

Исходная задача

при ограничениях

Двойственная задача будет иметь вид:

при ограничениях

Исходную задачу можно решить графически. Получим Х(опт)=(4,1), при этом L(x)=3. На основании первой теоремы двойственности

Так как , то по второй теореме двойственности систему ограничений двойственной задачи можно записать в виде равенств Подставим Х(опт) в систему ограничений исходной задачи.

Тогда система ограничений двойственной задачи примет вид . ЕЕ решение Y(опт)=(0,2/3,1/3), при этом

С другой стороны, пусть дано решение двойственной задачи Y(опт)=(0,2/3,1/3), при этом Как по нему найти решение исходной?

По первой теореме Так как , то по второй теореме второе и третье неравенства обращаются в равенства, то есть , решением которого является Х(опт)= (4,1).

Если исходная задача решена симплексным методом, то решение двойственной задачи может быть найдено по формуле Y(опт)=С*А^-1где С – матрица-строка коэффициентов при базисных переменных целевой функции в оптимальном решении исходной задачи, А^-1 –обратная матрица для матрицы А, являющейся матрицей коэффициентов базисных переменных системы ограничений исходной задачи в оптимальном решении.

Двойственные задачи позволяют получить решение исходной задачи, если оно затруднительно или громоздко.

 

Вторая часть. Информатика.

Примеры записи нечеткого множества

Пусть E = {x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ }, M = [0,1]; A - нечеткое множество, для которого

_A(x₁)=0,3; _A(x₂)=0; _A(x₃)=1; _A(x₄)=0,5; _A(x₅)=0,9.

Тогда A можно представить в виде:

A = {0,3/x₁; 0/x₂; 1/x₃; 0,5/x₄; 0,9/x₅ } или

A = 0,3/x₁ + 0/x₂ + 1/x₃ + 0,5/x₄ + 0,9/x₅, или

A =	x1 x2 x3 x4 x5 0,3     0,5 0,9

. Замечание. Здесь знак "+" не является обозначением операции сложения, а имеет смысл объединения.

Пусть Х=(1,2.3.4,5,6,7,8,9.10). Тогда нечеткое множество «большие числа» может быть представлено следующим образом: А= «большие числа»=0,2/6+0,5/7+0,8/8+1/9+1/10. Это следует понимать следующим образом: 9 и 10 с абсолютной уверенностью можно отнести к «большим числам», 8 есть большое число со степенью 0,8, 1,2,3,4,5 абсолютно не являются большими числами.

Функцию принадлежности можно изображать графически. Например, график функции принадлежности «Оптимальный возраст работника».

 

Видно, что возраст от 20 до 30 оценивается экспертами как бесспорно оптимальный, а от 60 и выше- как неоптимальный. В диапазоне от 35 до 60 эксперты проявляют неуверенность в своей классификации, структура которой передается графиком функции принадлежности.

Примеры нечетких множеств

Пусть E = {0,1,2,..,10}, M =[0,1]. Нечеткое множество "несколько" можно определить следующим образом: "несколько" = 0,5/3+0,8/4+1/5+1/6+0,8/7+0,5/8; его характеристики: высота = 1, носитель={3,4,5,6,7,8}, точки перехода - {3,8}.

Пусть E = {1,2,3,...,100} и соответствует понятию "возраст", тогда нечеткое множество "молодой", может быть определено с помощью

_{"молодой"}(x) = .

Нечеткое множество "молодой" на универсальном множестве E' ={Иванов, Петров, Сидоров,...} задается с помощью функции принадлежности _{"молодой"}(x) на E = {1,2,3,..100} (возраст), называемой по отношению к E' функцией совместимости, при этом:

_{"молодой"}(Сидоров):= _{"молодой}"(x), где x - возраст Сидорова.

Например, известны следующие данные

 

Фамилия	Возраст
Иванов
Петров
Сидоров
Грибков
Серов

 

Тогда данное множество можно описать следующим образом: ={1/18+0,96/26+0,02/64+0,34/32+0,003/85}

 

Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Заде предложил набор аналогичных операций над нечеткими множествами через операцию с функциями принадлежности этих множеств.

1) Включение.

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если x E _A(x) _B(x).

Обозначение: A  B.

Иногда используют термин "доминирование", т.е. в случае когда A  B, говорят, что B доминирует A.

2) Равенство.

A и B равны, если x E _A(x) = _B (x).

Обозначение: A = B.

3) Дополнение.

Пусть  = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

xE _A(x) = 1 -  _B(x).

Обозначение: B = или A = .

Очевидно, что = A. (Дополнение определено для M = [0,1], но очевидно, что его можно определить для любого упорядоченного M).

4) Пересечение.

AB - наибольшее нечеткое подмножество, содержащееся одновременно в A и B.

AB(x) = min(_A(x),  _B(x)).

5) Объединение.

А  В - наименьшее нечеткое подмножество, включающее как А, так и В, с функцией принадлежности:

A B(x) = max(_A(x),  _B(x)).

6) Разность.

А - B = А с функцией принадлежности:

_A-B(x) = A  (x) = min(_A(x), 1 -  _B(x)).

7) Дизъюнктивная сумма.

АB = (А - B)(B - А) = (А  ) (  B) с функцией принадлежности:

_A-B(x) = max{[min{ _A(x), 1 - _B(x)}];[min{1 - _A(x), _B(x)}] }

Примеры.

Пусть:

A = 0,4/ x₁ + 0,2/ x₂+0/ x₃+1/ x₄;

B = 0,7/ x₁+0,9/ x₂+0,1/ x₃+1/ x₄;

C = 0,1/ x₁+1/ x₂+0,2/ x₃+0,9/ x₄.

Здесь: AB, т.е. A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, т.е. пары {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

A  B  C.

= 0,6/ x₁ + 0,8/x₂ + 1/x₃ + 0/x₄;

= 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0,9/x₃ + 0/x₄.

AB = 0,4/x₁ + 0,2/x₂ + 0/x₃ + 1/x₄.

АВ = 0,7/x₁ + 0,9/x₂ + 0,1/x₃ + 1/x₄.

А - В = А = 0,3/x₁ + 0,1/x₂ + 0/x₃ + 0/x₄;

В - А =  В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

А  В = 0,6/x₁ + 0,8/x₂ + 0,1/x₃ + 0/x₄.

Нечеткие отношения

Пусть X={x₁, x₂, …..x_n} Y={y₁, y_{2, …,}y_м}. Нечетким отношением R называется нечткое множество, определенное на декартовом произведении X*Y, которому соответствует функция принадлежности .

Пример

Пусть Х={конь, осел}, Y={мул, корова}. Нечеткое отношение»подобный» может быть определено следующим образом: R= «подобный»=0,8/(конь, мул)+0,4/(конь, корова)+0,9/(осел, мул)+0,5/(осел, корова), то есть конь похож на мула со степенью 0.8, конь похож на корову со степень. 0,4 и т.д.

В любом случае степень истинности оказывается не числом из отрезка [0,1], а нечетким числом.

 

Содержание

 

1. Источники и виды погрешностей результата вычислительной задачи

2. Абсолютные и относительные погрешности

Примеры решения задач

Задача 1. Даны координаты вершин . , , .

Найти:

1) длину стороны ;

2) уравнения прямых и и их угловые коэффициенты;

3) угол ;

4) уравнение прямой, содержащей высоты и ее длину;

5) уравнение прямой, содержащей медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ;

6) уравнение прямой, проходящей через точку параллельно стороне ;

7) координаты точки , расположенной симметрично точке относительно прямой .

Решение:

1. Расстояние между точками и определяется по формуле: . Значит, длина стороны

.

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид: . Подставляя в равенство координаты данных точек, получим уравнения прямых и

: :

Получили уравнения прямых линий с угловым коэффициентом, из которых имеем: ; .

3. Тангенс угла между двумя прямыми, угловые коэффициенты которых соответственно равны и , вычисляется по формуле: .

Угол располагается при пересечении прямых и , значит,

; =135°

4. Высота проходит через точку и перпендикулярна прямой . Значит, нормальный вектор

прямой является направляющим вектором для прямой .

Уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор :

Значит, уравнение прямой :

 

Для того, чтобы найти длину высоты , необходимо определить координаты точки – точки пересечения прямых и . Для этого надо решить систему уравнений:

:

:

В результате вычислений получены координаты точки .

5. Чтобы найти уравнение прямой, содержащей медианы , определим сначала координаты точки как середину стороны , применяя формулы, характеризующие деление отрезка пополам:

;

Тогда уравнение прямой :

И, наконец, координаты точки находятся при решении системы уравнений:

; .

6. Если две прямые параллельны, то можно сказать, что их уравнения отличаются только свободным членом. Значит, уравнение прямой, параллельной стороне , будет:

Известно, что эта прямая проходит через точку , значит, координаты точки должны удовлетворять уравнению искомой прямой:

И тогда уравнение прямой будет иметь вид:

или после деления на 3:

7. По условию точка симметрична точке относительно высоты , то есть точка является серединой отрезка . Воспользуемся уже известными формулами для определения координат середины отрезка:

; ; .

и

 

Значит, .

и .

 

Задача 2.

 

Даны вершины пирамиды: , , , . Необходимо найти:

1. длину стороны ;

2. площадь грани ;

3. угол ;

4. уравнение прямой ;

5. уравнение плоскости грани ;

6. уравнение высоты, опущенной из точки на грань , и ее длину;

7. точку, симметричную точке относительно грани ;

8. объем пирамиды.

Решение:

1. Длина стороны вычисляется по известной формуле:

.

2. Для нахождения площади грани следует воспользоваться формулой, выражающей геометрический смысл векторного произведения:

В нашей задаче

3. Угол равен

4. В пространстве уравнение прямой, проходящей через две точки и , имеет следующий вид:

, где t – некоторый параметр.

Тогда уравнения прямой можно записать так:

, , .

5. Плоскость грани можно описать как плоскость, проходящую через три точки , , и имеющую уравнение

Подставляя координаты точек и вычисляя определитель, получим уравнение грани :

6. Каноническое уравнение прямой в пространстве, заданной точкой и направляющим вектором имеет вид:

По условию, прямая (высота), проходит через точку и перпендикулярна грани . Значит, вектор нормали к плоскости будет являться направляющим вектором искомой прямой.

Чтобы найти длину высоты, можно воспользоваться формулой для нахождения расстояния от точки до плоскости :

В нашей задаче точка имеет координаты , а уравнение плоскости:

.

7. Найдем координаты точки пересечения высоты, опущенной из точки на грань , с самой гранью. Для этого запишем уравнения высоты в параметрическом виде и, подставив выражения , , через параметр в уравнение плоскости , найдем значение параметра :

, ,

.

Подставив в параметрическое уравнение высоты, найдем координаты точки :

;

Пусть – точка, симметричная точке относительно грани , тогда точка – середина отрезка . Подставляя координаты точек в известные формулы для определения координат середины отрезка, получим координаты точки :

, ,

, ,

, ,

.

8. Объем пирамиды следует рассчитать по формуле, выражающей геометрический смысл смешанного произведения векторов:

 

 

Задача 3. Даны координаты точек: