Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Вопрос 10. Проективная плоскость. Координаты точки и прямой. Особенности линий второго порядка.
(Ответ на удовлетворительно – без доказательств) Проективная геометрия является одним из самых красивых разделов геометрии. Она резко отличается от евклидовой геометрии, где все необходимо строго доказывать, причем, некоторые доказательства весьма сложны, в ней не используются понятия параллельности, перпендикулярности и равенства отрезков и углов, и предполагается, что любые две прямые на плоскости имеют общую точку. В проективной геометрии ненужная информация отбрасывается, и в результате доказательство проходит просто и легко. Как и все другие геометрии, проективная строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемых «точками» и «прямыми». Между этими объектами есть некоторые отношения, схожие с точками и прямыми евклидовой плоскости, и для них выполняется ряд свойств, отличающихся от присущих евклидовым. Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования. Рассмотрим в Евклидовом пространстве Е3 2 плоскости π и σ, точку О не лежащую в этих плоскостях. Пусть М – произвольная точка, принадлежащая π. Точка М´ пересечения прямой ОМ с плоскостью σ называется проекцией точки М на плоскость σ из центра О. Точке М, принадлежащей π, поставим в соответствии её проекцию М’ на плоскость σ из центра О. Таким образом установленное соответствие между точками плоскостей π и σ называется центральным проектированием плоскости π на плоскость σ из центра О. Аналогично определяется и проекция фигуры. При центральном проектировании многие свойства фигуры искажаются: меняется длина отрезка, величины углов, параллельные прямые проектируются в пересекающиеся прямые, проектируя параллелограмм можно получить произвольный четырёхугольник. Более того, проектируя отрезок, можно получить луч. Но есть и ряд свойств, которые сохраняются при любом центральном проектировании. Эти свойства Понселе и назвал проективными. Такими свойствам является, например, свойство точек лежать на одной прямой или на одной ЛВП. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не является проективным.
Свойства, связанные с длинами отрезков и величин углов, также не являются проективными. Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов. Введение этих элементов – заслуга другого математика, француза Жерара Дезарга. Пользуясь перспективой как общим методом исследования, Дезарг пришел к необходимости рассматривать так называемые бесконечно удаленные элементы пространства. Он считал, что все параллельные прямые пересекаются в точке, которая является таким бесконечно удаленным элементом. Этим шагом Дезарг положил начало проективному представлению пространства (полное проективное пространство) и сделал возможным изучение проективных преобразований. Следуя за Дезаргом, дополним пространство Е3 новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью. Вот и построена нами новая геометрия, которая занимает не менее важное место, чем евклидова. Свойства, не меняющиеся при преобразованиях, и называются проективными. Именно ими и занимается проективная геометрия, остальные, изменяющиеся свойства, она игнорирует. Все теоремы проективной геометрии также касаются только проективных свойств, в них даже и не говорится ни об углах, ни о длинах. Сформулируем теорему Дезарга. Пусть на плоскости заданы точки А, В, С и точка О, через которую проходят прямые ОА, ОВ, ОС. На каждой из этих прямых выберем по одной произвольной точке – А1, В1, С1. Точки пересечения прямых АВ с А1В1, АС с А1С1 и ВС с В1С1 лежат на одной прямой.
Из простейших фигур евклидовой геометрии можно вспомнить треугольники, четырехугольники, окружности. Есть ли похожие понятия в проективной геометрии? Ответ – положительный. Начнем с аналога треугольника. Он называется трехвершинником. Трехвершинником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами трехвершинника. Трехвершинник с вершинами А, В, С обозначается так: АВС. На проективной плоскости рассмотрим два трехвершинника AВС и А'В'С', вершины каждого из которых заданы в том порядке, в котором они записаны. Вершины А и А',В и В', С и С' будем называть соответственными, также будем называть соответственными стороны АВ и А'В', ВС и В'С', СА и СА'. Теперь рассмотренную выше теорему Дезарга можно сформулировать более точно, поскольку в ней идет речь именно о трехвершинниках. Если прямые, проходящие через соответственные вершины двух трехвершинников, проходят через одну точку, то соответственные стороны этих трехвершинников пересекаются в точках, лежащих на одной прямой. Другая фигура проективной геометрии – это полный четырехвершинник. Полным четырехвершинником называется фигура, состоящая из четырех точек проективной плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих попарно эти точки. Указанные точки называются вершинами, а прямые — сторонами полного четырехвершинника. Стороны, не имеющие общей вершины, называются противоположными. В четырехвершиннике ABCD противоположными являются стороны АВ и CD, ВС и DA, АС и BD. Точки пересечения противоположных сторон называются диагональными точками, а прямые, попарно соединяющие диагональные точки,— диагоналями полного четырехвершинника. Особенностью диагональных точек является то, что они при любом расположении точек четырехвершинника не лежат на одной прямой. Другая особенность заключается в определенной, никогда не меняющейся их связи с вершинами. 1) На каждой диагонали полного четырехвершинника диагональные точки гармонически разделяют две точки, в которых эта диагональ пересекает стороны, проходящие через третью диагональную точку. 2) Две вершины, лежащие на стороне полного четырехвершинника, гармонически разделяют пару точек, состоящую из диагональной точки и точки, в которой эта сторона пересекает диагональ, проходящую через две другие диагональные точки. По аналогии с окружностью в проективной геометрии выделяется овальная кривая второго порядка. Она задается уравнением вида . Ряд особенностей окружности сохраняется и для нее. Так, например, любая прямая, проходящая через внутреннюю точку овальной кривой, пересекает ее в двух точках, в любой точке овальной кривой существует касательная. Используя проективную геометрию и понятие овальной кривой, можно решать большой круг задач на элементарные построения. Например, можно построить касательную к окружности. И, учитывая особенность проективной геометрии, построения такого рода выполняются только при помощи линейки, без привлечения циркуля.
|
||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 249; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.226.166.214 (0.007 с.) |