Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Полный и развернутый ответ с доказательствами
Возникновение проективной геометрии связано с именем известного французского математика Понселе. Он выделил как объект её изучения особые свойства геометрических фигур, которые были названы проективными. Эти свойства связаны с понятием центрального проектирования. Рассмотрим в Евклидовом пространстве Е3 2 плоскости π и σ, точку О не лежащую в этих плоскостях. Пусть М – произвольная точка, принадлежащая π. Точка М´ пересечения прямой ОМ с плоскостью σ называется проекцией точки М на плоскость σ из центра О. Точке М, принадлежащей π, поставим в соответствии её проекцию М’ на плоскость σ из центра О. Таким образом установленное соответствие между точками плоскостей π и σ называется центральным проектированием плоскости π на плоскость σ из центра О. Аналогично определяется и проекция фигуры. При центральном проектировании многие свойства фигуры искажаются: меняется длина отрезка, величины углов, параллельные прямые проектируются в пересекающиеся прямые, проектируя параллелограмм можно получить произвольный четырёхугольник. Более того, проектируя отрезок, можно получить луч. Но есть и ряд свойств, которые сохраняются при любом центральном проектировании. Эти свойства Понселе и назвал проективными. Такими свойствам является, например, свойство точек лежать на одной прямой или на одной ЛВП. Однако уже свойство точки лежать между двумя другими не является проективным. Свойства, связанные с длинами отрезков и величин углов, также не являются проективными. Значительное место в проективной геометрии занимает введение так называемых несобственных (или бесконечно удаленных) геометрических элементов. Дополним пространство Е3 новыми точками, а именно: ко всем обычным точкам каждой прямой мысленно добавим ещё одну, несобственную точку. Будем считать, что две параллельные прямые имеют одну и ту же несобственную точку, а непараллельные прямые – различные. Обычные точки будем называть собственными. Прямую, дополненную несобственной точкой, назовём расширенной. Каждая плоскость имеет бесконечное множество параллельных прямых, следовательно и несобственных точек. Пусть все несобственные точки плоскости образуют несобственные прямые, а все несобственные точки пространства - несобственную плоскость. Плоскость, дополненную расширенной прямой, будем называть расширенной плоскостью.
Взаимное расположение расширенных прямых и плоскостей. 1. Любые 2 прямые, лежащие в плоскости, пересекаются, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) точку. 2. Любая прямая, не лежащая в плоскости, пересекает плоскость, т.е. имеет с ней общую (собственную или несобственную) точку. 3. Любые 2 плоскости пересекаются по прямой, т.е. имеют общую (собственную или несобственную) прямую. Сформулируем понятие проективного пространства. Пусть V – векторное пространство n+1 измерений над компонентом R. – множество всех ненулевых векторов этого пространства. Непустое множество Р называется проективным пространством n-измерений, если задано отображение f: →P, удовлетворяющее следующим свойствам (аксиомам проективного пространства): 1) f – сюрьективно, 2) f(х)=f(у) ↔ и компланарны. Элементы множества Р называются точками проективного пространства. Зададим проективный репер на плоскости и прямой.Пусть σ – проективная плоскость. Упорядоченная система точек А1, А2, А3, Е общего положения плоскости σ называется проективным репером, Аi – вершины репера, Е – единичная точка, Аi Аj – координатные прямые. Если векторы а1, а2, а3, е порождающие вершины и единичную точку проективного репера выбраны таким образом, что е=а1+а2+а3, то будем говорить, что система векторов согласована относительно репера R (рис. 5). Введём понятие координат точек на проективной плоскости. Пусть Х – произвольная точка плоскости σ, на которой задан проективный репер R. Рассмотрим какой-либо вектор х, порождающий точку Х и согласованную систему векторов. Примем векторы а1, а2, а3 за базис векторного пространства, разложим вектор х по базису х=х1 а1+х2 а2+х3 а3. Тогда точка Х имеет следующие координаты Х(х1, х2, х3)R. рис. 5 Утверждение: Проективные координатные точки х зависят от выбора как вектора х, так и системы векторов а1, а2, а3, е, согласованной относительно репера R (т.е. заданием проективного репера координаты произвольной точки плоскости σ определяется с точностью до общего множителя).
Теорема: Три точки Х(х1, х2, х3), Y(y1, y2, y3), Z(z1, z2, z3), заданные кординатами в репере R, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда определитель, составленный из их координат, равен нулю. Вершины и единичная точка репера имеют координаты: А1(1,0,0), так как а1=1*а1+0*а2+0*а3 А2(0,1,0), так как а2=0*а1+1*а2+0*а3 А3(0,0,1), так как а3=0*а1+0*а2+1*а3 Е (1,1,1), так как е=1*а1+1*а2+1*а3 Из теоремы следует, что точка Х(х1, х2, х3) лежит на координатной прямой А1А2 тогда и только тогда, когда координаты точек удовлетворяют равенству: , то есть х3=0 и координаты точки Х(х1, х2, 0). Аналогично определяются и координаты точек на проективной прямой. Изображение проективного репера на прямой дано на рис. 6. рис. 6 Рассмотрим на плоскости проективный репер R=(А1, А2, А3, Е). Пусть Х – произвольная точка плоскости, отличная от А3, а Х3=А2А1∩ХА3. Точка Х3 называется проекцией точки Х на прямую А1 А2 из центра А3. Проекции каждой точки прямой А1 А2 совпадают с самой точкой (рис.7). рис. 7 Обозначим через Е3 проекцию единичной точки репера R из центра А3 на прямую А1А2. Упорядоченная система точек (А1,А2, Е3) на прямой А1 А2 образует проективный репер, который будем обозначать R3. Аналогично вводим R1 и R2. Отсюда следует, если на плоскости задан репер R, то на каждой из координатных прямых возникает свой репер. Теорема: Если произвольная точка Х плоскости, отличная от А3 в репере R имеет координаты (х1, х2, х3),то проекция Х3 точки Х из центра А3 на А1 А2 в R имеет координаты (х1 , х2)
|
||||||||||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 239; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.215.77.96 (0.007 с.) |