Тема: Постановка краевых задач. Решение задачи Коши.

 

Пусть струна находиться под действием сильного начального натяжении Т₀. Если вывести струни из положения равновесия и подвергнуть действию какой-либо силы, то струна начнет колебаться.

Процесс колебания можно описать одной функцией u(x,t), характеризующей вертикальное перемещение струны (отклонение от положения равновесия).

При каждом фиксированном значении t график функции u=u(x,t₀) на плоскости ХОu дает форму струны в момент t₀.

Функция u=u(x,t) удовлетворяет уравнению

(9)

где - масса единицы длины (линейная плотность струны), F – сила, действующая на струну перпендикулярно оси ОХ и рассчитанная на единицу длины.

Если внешняя сила отсутствует, то есть f=0, то уравнение

(10)

описывает свободные колебания струны без воздействия внешних сил.

Уравнение (9) является простейшим уравнением гиперболического типа и в то же время одним из важнейших уравнений математической физики.

Однако, уравнения движения (9) или (10) при математическом описании физического процесса недостаточно.

Нужно дополнительно начальные и граничные условия.

Так как процесс колебания струны зависит от её начальной формы и распределения скоростей, то следует задать начальное условия:

(11)

Граничные условия определяются поддерживание на концах струны режимом на протяжении процесса колебания.

Так, если концы струны длины l закреплены, то отклонение U(x,t) в точках х=0 и x=l равны нулю:

(12)

Будем говорить о трех типах граничных условий:

I.

II.

III.

где - известные функции, - известные постоянные.

Приведенные условия называют соответственно граничными условиями первого, 2-го, 3-го рода.

Условие I имеет место в том случае, когда концы объекта перемещаются по заданному закону.

Условие II – в случае, когда к концам приложены заданные силы.

Условие III - в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенства, равны нулю, то граничные условия называются однородными.

Так граничные условия (12) – однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

В том случае, когда зажим на концах не будет оказывать существенного влияния на ту часть струны, которая достаточно удалена от них, струну считают бесконечной.

В силу этого вместо полной краевой задачи ставят предельную задачу – задача Коши:

Найти решение уравнения (9) для при t>0, удовлетворяющее начальным условиям

Если изучается процесс вблизи одной границы, и влияние граничного режима на второй границе не имеет существенного значения на протяжении интересующего нас промежутка времени, то приходим к постановке задачи на полуограниченной прямой . В этом случае задаются начальные условия и одно из граничных условий I-III при х=0.

Задача: Однородная струна длины l совершает малые поперечные колебани. Поставить задачи от определении отклонений U(x,t) точек струны от прямолинейного положения покоя, если в момент t=0 струна имеет форму и скорость каждой ее точки задается функций .

а) концы струны закреплены

б) концы струны свободны

в) в концах струны х=0 и х=l начиная с момента t=0, приложены поперечные силы F(t) и .