Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Решение уравнения колебания струны методом Даламбера.
Одним из широко используемых способов решения уравнений колебание струны является метод характеристик, называемый методом Даламбера. В основе его лежит тот, факт, что с помощью замены уравнение (1) Преобразуется в уравнение , которое имеет общее решение , где и F - произвольные дважды дифференцируемые функции. Для определиний функций и F, то есть для определения закона колебаний струны, требуется использовать начальные условия, а для некоторых задач и граничные. Если вернуться к старым переменнам x и t, то общее решение примет вид Это общее решение (решение Даламбера). Здесь характеризует прямую волну (кривая F(x) смещается вправо со скоростью а), а - обратную волну (кривая Φ(х) смещается влево со скоростью а). Рассмотрим задачу Коши для бесконечной струны: найти функцию , удовлетворяющую уравнению По заданным начальным условиям (2) Определяются функции Φ и Т, и искомое решение имеет вид (3) Формула (3) называется формулой Даламбера. Эта формула доказывает единственность решения задачи Коши. В частности, когда начальная скорость равна нулю (), то Откуда легко вычислить отклонение струны от положения равновесия для любой из её точек; оно равно сумме левой и правой бегущих волн, причем начальная форма каждой волны определяется функцией , равной половине начального отклонения. В случае полубесконечной струны, кроме , необходимо добавить еще граничные условия (конец предполагается в точке х=0). (4) для закрепленной в точке х=0 струны, (5) для свободного конца в точке х=0, для упругого закрепления в точке х=0. В случае однородных граничных условий (4) и (5) решение задачи о колебании полубесконечной струны сводиться к решению задачи о колебании бесконечной струны путем продолжении начальных условий на всю ось нечетным образом для условия (4), то есть полагают и четным образом для условия (5), то есть . Задача. Найти форму достаточно длинной струны, определяемой уравнением в момент времени , если заданы начальные смещение и скорости: a) b) c) Решение: а) Полагая в формуле Даламбера , найдем смещение в любой точке и в любой момент t откуда определяем форму кривой в указанном моменте времени б) при колебательный процесс будет описан по формуле
В момент времени струна имеет форму косинусоида: а момент она совпадает с осью абсцисс . в) По условию , тогда имеем Форма струны в указанном моменте времени определяется уравнением Примеры: 1. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , . 2. Найти решение уравнения в моменты времени и , если 1) , 2) , 3) , 3. Найти форму струны в момент времени , определяемую уравнением с начальными условиями: 1) , 2) , 3) ,
4. Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям , и граничными условиями .
Лекция 10
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 2691; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.225.54.119 (0.006 с.) |