Единственность решения смешанной задачи.

 

Теорема: Решение смешанной задачи для вынужденных колебаний струны:

(1)

(2)

. (3)

единственно.

Доказательство: Допустим, что существуют два решения u₁(x,t), u₂(x,t) задачи (1) – (3). Тогда разность этих решений будет удовлетворять однородному уравнению

(4)

нулевым граничным условиям

(5)

и нулевым начальным условиям

. (6)

Покажем, что соотношение (4) – (6) удовлетворяет лишь функция, тождественно равная нулю.

Рассмотрим функцию

(7)

и покажем, что при условиях (4) – (6) она не зависит от времени t. Взяв производную по t, получаем

так как внеинтегральное слагаемое обращается в нуль в силу условий (5), а , так как v(x,t) – решение уравнения (4).

Итак, , т.е. . Учитывая начальные условия (6), получаем

,

и, следовательно, . Из того, что интеграл от непрерывной неотрицательной функции равен нулю,

следует, что

,

откуда , так что . В силу первого из начальных условий (6) , и значит, , т.е. .

 

Интеграл (7) можно переписать в виде

Величина

является кинетической энергией струны в момент времени t, а

- ее потенциальная энергия, так что функция E(t) с точностью до постоянного множителя выражает полную энергию.

Изложенный метод доказательства единственности решения смешанной задачи называется энергетическим.

 

Примеры:

 

1.

с начальными условиями

и граничными условиями

2.

Лекция 12.

 

Тема: Колебания круглой мембраны. Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи.

 

Метод Фурье применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса r₀ с центром в начале координат, закрепленной по краю.

Уравнение колебаний мембраны имеет вид

.

Введем полярные координаты . Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат и времени . Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах,

,

запишем уравнение колебаний мембраны в виде:

, (1)

граничными условиями

(2)

(мембрана закреплена по краю) и начальным условиям

(3)

Ограничимся важным частным случаем осесемметричных колебаний, когда начальные функции f и F не зависят от . Ясно, что тогда любой момент времени t>0 величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла , а будет только функцией r и t, u=(r,t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводиться к отысканию решения u=(r,t) уравнения

(4)

при граничном условии

(5)

и начальных условиях

(6)

Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничному условию (5), в виде

(7)

Подставляя функцию u(r,t) в форму (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим

(8)

Равенства (8) приводят к двум обыкновенным ДУ

, (9)

, (10)

(11)

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи (10) – (11), и отыскать эти решения.

Запишем уравнение (10) в виде:

Это дифференциальное уравнение Бесселя с . Его общее решение

Из условия следует, что с₂=0. Таким образом,

граничное условие дает

,

откуда следует, что число должно быть одним из нулей функции Бесселя , т.е.

,

где - нуль функции . Известно, что функция имеет бесконечное множество положительных нулей

,

откуда получаем собственные значения

,

и соответствующие собственные функции

.

При обще решение уравнения (9) имеет вид

.

Функция

будет решением уравнения (4), удовлетворяющему граничному условию (5).

Решение u(x,r) исходной задачи (4) – (6) ищем в виде формального ряда

, (12)

где

.

Если подставив a_n и b_n в (12), ряд сходится равномерно, то мы поучаем решение задачи (4) – (6).

Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи.

 

Пусть требуется найти решение u(x,t) уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

, (2)

и граничными условиями

. (3)

Применяя преобразование Лапласа по t, предположим, что , и , рассматриваемые как функции t, являются функциями-оригиналами. Пусть U(x,p) есть изображение функции по Лапласу,

.

Так как операция дифференцирования по х и операция интегрирования по t в преобразовании Лапласа перестановочны, получим

,

.

(здесь величина р рассматривается как параметр, и вместо частных производных пишут обычные).

По правилу дифференцирования оригиналов имеем

.

Отсюда, учитывая начальные условия (2), получаем

.

Пусть тогда граничные условия дают

.

Переходя к изображениям, сводим задачу (1) – (3) для уравнения с частными производными к граничной задаче для обыкновенного ДУ:

найти решение U(x,p) уравнения

(4)

при граничных условиях

. (5)

Пусть U(x,p) - решение задачи (4) – (5). Тогда функция u(x,t) (оригинал для U(x,p))будет решением исходной задачи (1) – (3).

Пример: Струна l закреплена на концах x=0, x=l. Начальные отклонения струны определяются формулой . Начальные скорости отсутствуют. Найти отклонение u(x,t) струны при t>0.

Решение: Задача сводиться к решению уравнения

,

при начальных условиях

и граничных условиях .

Применим преобразование Лапласа. По правилу дифференцирования с учетом начальных условий получим

.

Граничные условия дают

Приходим к граничной задаче для ОДУ:

, (*)

, (**)

Решая уравнение (*) как линейное с постоянными коэффициентами, найдем

.

Из условий (**) получаем с₁=с₂=0, так что

.

Оригиналом для U(x,p) является функция

которая будет решением для (6) – (8).

 

Примеры:

1.

 

Лекция 13.