Однородное уравнение теплопроводности с теплоизолированными торцевыми сечениями. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Однородное уравнение теплопроводности с теплоизолированными торцевыми сечениями.



 

Задача сводится к решению уравнения

удовлетворяющее начальному условию

,

и граничному условию

Решение данного уравнения ищется в виде ряда

Подставляя в ряд начальное условие, получим

Разложив в неполный ряд Фурье по косинусам, получим

Подставляя bn в формулу поиска, находим решение задачи.

Пример: Решить уравнение

удовлетворяющее начальному условию

,

с граничным условием

Решение: Последнее ищем в виде ряда

 

Следовательно, по формуле поиска имеем

.

 

Однородное уравнение теплопроводности, когда одна сторона теплоизолирована, а на другом конце поддерживается постоянная температура.

Задача сводиться к решению уравнения

удовлетворяющее начальному условию

,

и граничному условию

Решение ищем в виде ряда

.

Коэффициент разложения функции по ортогональной системе функций находиться по формуле

.

Подставляя в формулу, получим искомое решение.

Пример: Решить уравнение

удовлетворяющее начальному условию

,

с граничным условием

Решение: Необходимый результат ищем в виде ряда

 

где

.

Таким образом, получим решение

.

Примеры:

1. Решить уравнение

с начальным условием

И граничными условиями

2. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями

3. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями

4. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями

5. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .

6. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .

7. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .

8. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .

9. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .

10. Решить уравнение

с начальным условием

и граничными условиями .


Лекция 15.

 

Тема: Метод Фурье для уравнения теплопроводности.

Распределение тепла в стержне, концы которого находятся при заданных переменных температурах.

Задача сводится к решению уравнения

с начальным условием

и граничными условиями

.

Решение ищем в виде ряда

(1)

где

(2)

Интегрируя дважды по частям, получим

Дифференцируя (2) по t, получим

Исключая интеграл из последних двух равенств, получим следующее уравнение для определения :

.

Общее решение этого уравнения имеет вид

,

где очевидно

.

Подставляя Tn(t) в формулу (1) получим общее решение

Рассмотрим частный случай, когда , . Тогда

,

подставляя Tn(t) в ряд, будем иметь решение

В силу известных соотношений

окончательно получим



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-19; просмотров: 232; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.205.2.188 (0.014 с.)