Тема: Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Лекция 7

Тема: Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами с двумя независимыми переменными. Такие уравнения имеют вид

 

(10)

 

где - некоторые числа, - некоторая функция.

Введем число . Приведем уравнение 2-го порядка к каноническому виду. Предположим, что хотя бы один из коэффициентов а₁₁ или а₂₂ отличен от нуля. Более того, меняя местами х и у, если это необходимо, можно считать, что . В данном случае характеристиками для уравнения (1) будут прямые:

(11)

Согласно общей теории необходимо сделать замену переменных.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Гиперболический тип (∆>0). С помощью замены координат

(12)

Уравнение (10) приводится к виду:

(13)

2. Эллиптический тип (∆<0). С помощью замены координат

(14)

Уравнение (10) приводится к виду:

(15)

3. Параболический тип (∆=0). С помощью замены переменных

(16)

Уравнение (10) приводится к виду:

(17)

Замечание: Если , то уравнение (10) приводится к виду (15) при помощи замены:

.

 

Для дальнейшего упрощения введем вместо новую функцию :

,

где - неопределенные пока постоянные, тогда

Подставляя выражения для производных в уравнение (15) и сокращая затем на , получаем

Параметр и выбираем так, чтобы два коэффициента, например при первых производных обратились в ноль: .

В результате получим

.

где γ – постоянная, выражающаяся через .

Производя аналогичные операции и для уравнений с постоянными коэффициентами:

(эллиптический тип)

гиперболический тип)

(параболический тип)

 

Пример: Привести к каноническому виду уравнение

Решение: Так как , то это уравнение является уравнением гиперболического типа.

Согласно формуле (12) делаем замену

(*)

Вычисляем частные производные:

Решая систему уравнений (*) относительно х, у находим формулы обратной замены.

Подставляя полученные выражения в уравнение, и приводя подобные получаем:

Умножение на -1 приводит уравнение к виду:

Далее делаем замену неизвестной функции:

Вычисляем частные производные функции u:

Подставляя эти выражения в уравнение и разделив на , получаем

Надо положить , т.е. .

Тогда уравнение примет канонический вид:

Примеры:

Привести к каноническому виду

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

Лекция 8

Лекция 9

Лекция 10

Лекция 11.

 

Общая схема метода Фурье.

Рассмотрим уравнение

(1)

где для , так что уравнение (1) является уравнением гиперболического типа в области Q. Предположим, что

,

и займемся изучением смешанной задачи для уравнения (1) при однородных граничных условиях

где - некоторые постоянные, причем .

Возможны граничные условия следующих типов:

1. (струна с закрепленными концами (рис. 1 а));

2. (струна со свободными концами (рис. 1 б));

3. (упруго закрепленные концы (рис. 1 в)).

Ограничившись для простоты случаем струны с закрепленными концами, приходим к следующей задаче: найти решение u(x,t) уравнения

(1)

удовлетворяющее граничным условиям

(2)

и начальными условиями

(3)

Будем решать эту задачу методом Фурье.

1. Ищем нетривиальные решения уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (2), в виде

(4)

Подставляя u(x,t) в форме (4) в уравнение (1), получим

,

или

(5)

Получим

, (6)

(7)

Чтобы получить нетривиальные решения уравнения (1) вида (4), удовлетворяющие граничным условиям (2), необходимо, чтобы функция Х(х) была нетривиальным решением уравнения (7), удовлетворяющим граничным условиям

(8)

В силу однородности уравнения (7) и граничных условий (8) собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Выберем этот множитель так, чтобы

(9)

Собственные функции, удовлетворяющие (9), будем называть нормированными.

2. Обратимся к дифференциальному уравнению (6). Его общее решение при имеет вид

,

где - произвольные постоянные.

Каждая функция

будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).

3. Составим формальный ряд

(10)

Если этот ряд, вместе с рядами, полученными из него двукратным почленным дифференцированием по x и t, сходиться равномерно, то сумма u(x,t) будет решением уравнения (1), удовлетворяющим граничным условиям (2).

Для выполнения начальных условий (3) необходимо, чтобы

, (11)

(12)

Таким образом, мы пришли к задаче о разложении произвольной функции в ряд Фурье по собственным функциям X_k(x) граничной задачи (7) – (8). Предполагая, что ряды (11) и (12) сходятся равномерно, можно найти коэффициенты a_k и b_k, умножив обе части равенства (11) и (12) на и проинтегрировав по х в пределах от 0 до l. Считая функции X_k(x) ортонормированными на отрезке [0,l], получим для коэффициентов Фурье функций и по системе {X_k(x)} следующие выражения:

Лекция 12.

 

Тема: Колебания круглой мембраны. Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи.

 

Метод Фурье применяется также при изучении колебаний ограниченных тел, плоских или объемных. Рассмотрим задачу о свободных колебаниях под действием начальных возмущений однородной круглой мембраны радиуса r₀ с центром в начале координат, закрепленной по краю.

Уравнение колебаний мембраны имеет вид

.

Введем полярные координаты . Тогда отклонение точек мембраны будет функцией полярных координат и времени . Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных координатах,

,

запишем уравнение колебаний мембраны в виде:

, (1)

граничными условиями

(2)

(мембрана закреплена по краю) и начальным условиям

(3)

Ограничимся важным частным случаем осесемметричных колебаний, когда начальные функции f и F не зависят от . Ясно, что тогда любой момент времени t>0 величина отклонения мембраны не будет зависеть от полярного угла , а будет только функцией r и t, u=(r,t). Это означает, что при любом фиксированном t форма колеблющейся мембраны будет описываться поверхностью вращения.

При этом предположении задача сводиться к отысканию решения u=(r,t) уравнения

(4)

при граничном условии

(5)

и начальных условиях

(6)

Применяя метод разделения переменных, будем искать нетривиальные решения уравнения (4), удовлетворяющие граничному условию (5), в виде

(7)

Подставляя функцию u(r,t) в форму (7) в уравнение (4) и разделяя переменные, получим

(8)

Равенства (8) приводят к двум обыкновенным ДУ

, (9)

, (10)

(11)

Итак, мы пришли к задаче на собственные значения: найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи (10) – (11), и отыскать эти решения.

Запишем уравнение (10) в виде:

Это дифференциальное уравнение Бесселя с . Его общее решение

Из условия следует, что с₂=0. Таким образом,

граничное условие дает

,

откуда следует, что число должно быть одним из нулей функции Бесселя , т.е.

,

где - нуль функции . Известно, что функция имеет бесконечное множество положительных нулей

,

откуда получаем собственные значения

,

и соответствующие собственные функции

.

При обще решение уравнения (9) имеет вид

.

Функция

будет решением уравнения (4), удовлетворяющему граничному условию (5).

Решение u(x,r) исходной задачи (4) – (6) ищем в виде формального ряда

, (12)

где

.

Если подставив a_n и b_n в (12), ряд сходится равномерно, то мы поучаем решение задачи (4) – (6).

Применение преобразований Лапласа к решению смешанной задачи.

 

Пусть требуется найти решение u(x,t) уравнения

, (1)

удовлетворяющее начальным условиям

, (2)

и граничными условиями

. (3)

Применяя преобразование Лапласа по t, предположим, что , и , рассматриваемые как функции t, являются функциями-оригиналами. Пусть U(x,p) есть изображение функции по Лапласу,

.

Так как операция дифференцирования по х и операция интегрирования по t в преобразовании Лапласа перестановочны, получим

,

.

(здесь величина р рассматривается как параметр, и вместо частных производных пишут обычные).

По правилу дифференцирования оригиналов имеем

.

Отсюда, учитывая начальные условия (2), получаем

.

Пусть тогда граничные условия дают

.

Переходя к изображениям, сводим задачу (1) – (3) для уравнения с частными производными к граничной задаче для обыкновенного ДУ:

найти решение U(x,p) уравнения

(4)

при граничных условиях

. (5)

Пусть U(x,p) - решение задачи (4) – (5). Тогда функция u(x,t) (оригинал для U(x,p))будет решением исходной задачи (1) – (3).

Пример: Струна l закреплена на концах x=0, x=l. Начальные отклонения струны определяются формулой . Начальные скорости отсутствуют. Найти отклонение u(x,t) струны при t>0.

Решение: Задача сводиться к решению уравнения

,

при начальных условиях

и граничных условиях .

Применим преобразование Лапласа. По правилу дифференцирования с учетом начальных условий получим

.

Граничные условия дают

Приходим к граничной задаче для ОДУ:

, (*)

, (**)

Решая уравнение (*) как линейное с постоянными коэффициентами, найдем

.

Из условий (**) получаем с₁=с₂=0, так что

.

Оригиналом для U(x,p) является функция

которая будет решением для (6) – (8).

 

Примеры:

1.

 

Лекция 13.

 

Задача Коши.

 

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности

отвечающее случаю , т.е. отсутствию источников. Задача Коши ставиться так: найти функцию , удовлетворяющую уравнению

(1)

и начальному условию

(2)

Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени t>0 по известной его температуре в момент времени t=0.

Предположим, что

1) и - достаточно гладкие функции, убывающие при настолько быстро, что существуют преобразования Фурье

(3)

(4)

2) законны операции дифференцирования

.

Тогда, применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1) и условию (2), от задачи (1) - (2) перейдем к задаче Коши для ОДУ

(5)

(6)

(величина играет роль параметра).

Решение задачи (5) – (6) имеет вид

(7)

Ранее мы установили, что

,

где Ф[ f ] – преобразование Фурье функции f(x).

Отсюда, полагая , получаем

.

Таким образом, в правой части равенства (7) стоит произведение преобразований Фурье функций и .

Пользуясь теоремой о свертке, равенство (7) можно представить в виде

(8)

Левая часть формулы (8) есть преобразование Фурье (по аргументу х) искомой функции u(x,t), так что ее можно представить так:

,

откуда, пользуясь выражением для свертки функций и , имеем

(9)

Полученная формула дает решение исходной задачи (1) – (2) и называется интегралом Пуассона.

.

Пример: Найти решение задачи Коши

Решение: Пользуясь формулой Пуассона (9), получаем

(*)

Сделаем замену переменного

.

Тогда

.

Из (*) получаем

.

Таким образом, решение u(x,t) поставленной задачи определиться формулой

.

 

Лекция 14.

Лекция 15.

 

Лекция 16.

 

Лекция 17.

Тема: Уравнение Лапласа.

Простейшим уравнением эллиптического типа является уравнение Лапласа

(1)

В случае функции u=u(x,t) двух независимых переменных х, у уравнение Лапласа имеет вид

(2)

и в случае функции одного аргумента имеем

. (3)

Решениями уравнения (3) являются функции , где с₁, с₂ – произвольные постоянные.

Определение: Функция называется гармонической в области , если и удовлетворяет в области уравнению Лапласа (1).

Формулы Грина.

(4)

- первая формула Грина.

Меняя в формуле (4) u и v местами, получим

(5)

Вычитая равенства (4) и (5) почленно, находим

(6)

Это – вторая формула Грина.

Наконец, полагая в (4) u=v, получим

(7)

Это – третья формула Грина.

Здесь всюду n – вектор внешней нормали к гладкой или кусочно-гладкой замкнутой поверхности .

Основная интегральная формула Грина.

Для уравнения Лапласа на плоскости фундаментальное решение имеет вид . Можно получить интегральную формулу для гармонической функции двух аргументов:

Здесь Г – граница области D, n – вектор внешней нормали к границе (рис. 1). Таким образом, всякая гармоническая в области D функция u(x,y) есть сумма двух потенциалов

логарифмического потенциала простого слоя и логарифмического потенциала двойного слоя соответственно.

Рис. 1.

Лекция 18.

 

Интеграл Пуассона.

 

Преобразуем формулу (11) к более простому виду. Подставив в нее выражения для коэффициентов Фурье и меняя порядок суммирования и интегрирования, будем иметь

(14)

Положим для кратности и проведем следующие тождественные преобразования:

.

Подставляя это выражение в (14), получим

(15)

Полученная формула дает решение первой краевой задачи для уравнения внутри круга и называется интегралом Пуассона, а выражение называют ядром Пуассона.

Решение внешней задачи имеет вид

.

Можно показать, что если функция только непрерывна на границе круга , то функция

удовлетворяет уравнению при r<r₀ и непрерывна в замкнутом круге .

Примеры:

1. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса с центром в начале координат и такую, что

1) ; 2)

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса с центром в начале координат и такую, что

1) ; 2)

3. Найти функцию, гармоническую в кольце 1<r<2 такую, что ,

4. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

5. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

6. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

7. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

8. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

9. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

10. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

11. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

 

 

 

Тема: Классификация дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка.

Определение: Уравнением с частными производными второго порядка с двумя независимыми переменными называется соотношением между независимой функцией и ее частными производными второго порядка включительно:

(1)

Аналогично записывается и для большего числа независимых переменных.

Определение: Уравнение называется линейным относительно старших производных, если оно имеет вид

(2)

где являются функциями и .

Определение: Если зависят не только от х и , а являются функциями , то такое уравнение называется квазилинейным.

Определение: Уравнение называется линейным, если оно линейно как относительно старших производных , так и относительно функции и ее первых производных :

(3)

где - функции только от и .

Определение: Если коэффициенты уравнения (3) независимы от и , то оно представляет линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Определение: Если , то уравнение называется однородным.

Далее рассмотрим упрощения, т.е. приведения к каноническим (простейшим) формам.

С помощью преобразования переменных

,

допускающего обратное преобразование, мы получаем новое уравнение, эквивалентное искомому,

Естественно поставить вопрос «Как выбирать , чтобы уравнение в этих переменных имело наиболее простую форму?»

I. Рассмотрим линейное уравнение относительно старших производных (1).

Преобразуя производные к новым переменным, получаем

 

(4)

Подставляем (4) в уравнение (1), будем иметь

(5)

где

,

а функция не зависит от вторых производных.

Замечание: Если исходное уравнение линейно, т.е.

,

то

,

 

т.е. уравнение остается линейным.

Выберем переменные и так, чтобы коэффициент был равен нулю. Рассмотрим уравнение с частными производными первого порядка.

(6)

Пусть какое-нибудь частное решение этого уравнения.

Если положить , то коэффициент . Таким образом, упомянутая выше задача о выборе новых независимых переменных связана с решением уравнения (6).

Лемма: 1. Если является частным решением уравнения , то соотношение представляет собой общий интеграл обыкновенного дифференцированного уравнения

(7)

2. Если представляет собой общий интеграл обыкновенно дифференцированного уравнения , то функция удовлетворяет уравнению (6).

Доказательство см. Тихонов А.Н., Самарский А.А.

Определение: Уравнение (7) называется характеристическим для уравнения (1), а его интегралы – характеристиками.

Полагая , где есть общий интеграл уравнения (7), мы обращаем в нуль коэффициент при .

Если является другим общим интегралом уравнения (7), независимым от , то полагая , мы обратим в нуль и коэффициент при , т.е. .

Уравнение (7) распадается на два уравнения:

 

(8)

(9)

 

Знак подкоренного выражения определяет тип уравнения (1).

Это уравнение мы будем называть в точке М уравнением

· гиперболического типа, если ,

· параболического типа, если ,

· эллиптического типа, если .

Нетрудно убедиться в правильном соотношении , где , из которого следует инвариантность уравнения при преобразовании переменных.

В размеченных точках области определения уравнения может принадлежать различным типам.

Пример: Уравнения

и

- гиперболические при всех х и у, уравнение

- параболическое при всех х и у,

- эллиптическое при всех х и у,

- эллиптическое при y>0, параболическое на линии у=0 и гиперболическое в полуплоскости y<0.

 

Приведение дифференциальных уравнений в частных производных к каноническому виду .

Рассмотрим область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип.

Через каждую точку области G проходят две характеристики, причем для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – различны, а для уравнений параболического типа обе характеристики действительны и совпадают между собой.

Разберем каждый из этих случаев в отдельности.

1. Для уравнения гиперболического типа правые части уравнений (8), (9) действительны и различны. Общие интегралы их , определяют действительные семейства характеристик.

Полагая,

приводим уравнение (5) после деления на коэффициент при к виду

,

где .

Это так называемая каноническая форма уравнения гиперболического типа. Часто используются второй канонической формой.

Полагаем

, т.е. ,

где и - новые переменные.

Тогда , , .

В результате уравнение (5) примет вид

, .

2. Для уравнений параболического типа . Уравнения (8) и (9) совпадают, и мы получаем один общий интеграл уравнения (7):

.