Тема: свободные колебания однородной струны, закрепленной на концах. Метод Фурье.

Метод Фурье, или метод разделения переменных, состоит в следующем. Искомая функция, зависящая от некоторых переменных, ищется в виде произведений функций, каждая из которых зависит лишь от одной переменной.

После подстановки этого произведения в исходное уравнение получается несколько обыкновенных дифференциальных уравнений, часть из которых вместе с краевыми условиями исходной задачи являются краевыми задачами, называемые задачи Штурма-Лиувилля.

Рассмотрим однородное уравнение

, (1)

при граничных условиях

(2)

и начальных условиях

(3).

Процесс решения разбивается на два этапа:

1) нахождение частных решений;

2) нахождения общего решения, удовлетворяющего начальным условиям.

На 1) ищутся всевозможные частные решения в виде

(4)

В результате подстановки функции такого вида в уравнение (1) получаем

или

(5)

Последнее уравнение распадается на два обыкновенных дифференциальных уравнения относительно X(x) и T(t):

(6)

(7)

 

Граничные условия дают

откуда следует, что функция X(x) должна удовлетворять граничным условиям

(8)

Чтобы получить нетривиальные решения u(x,t), вида (4), необходимо найти нетривиальные решения уравнения (7), удовлетворяющие условиям (8).

Для определения функции X(x) получена задача Штурма-Лиувилля: найти такие значения параметра λ, при которых существуют нетривиальные решения задачи (7) – (8). Те значения параметра λ, для которых задача имеет нетривиальное решение, называются собственными значениями, а сами решения – собственными функциями.

Найдем собственные значения и собственные функции для уравнений (7) – (8). Для этого необходимо рассмотреть три случая: . При все решения тривиальны, а значит собственных значений не существует. В случае когда общее решение уравнения (7) имеет вид:

.

Потребовав выполнение граничных условий, получим

(10)

Система (10) имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда

или , откуда , где k – любое целое число. Таким образом, нетривиальное решения задачи (7)-(8) возможны лишь при значениях

Это – собственные значения задачи (7) – (8)

Этим значениям соответствуют собственные функции

При общее решение уравнения (6) имеет вид

где - произвольные постоянные.

Таким образом, произведения функций и образуют частные решения уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям (2).

На 2) при помощи собственных функций строится общее решение уравнения в частных производных, которое, в силу свойства линейности однородного уравнения, можно взять в виде колебании полученных частных решений - ряда.

Для уравнения (1) общее решение имеет вид

(11)

Подставляя решение (11) в начальные условия, определяют значение коэффициентов . В результате имеем

(12)

Решение уравнения теплопроводности получается применением этой же схемы с той лишь разницей, что вместо уравнения (5) надо решить уравнение

или

Общее решение, которого есть

где - произвольные постоянные.

Приведенные здесь решения для линейных однородных уравнений с однородными граничными условиями будут использованы так же при рассмотрении неоднородных и однородных уравнений с однородными и неоднородными граничными условиями как составные части решения краевых задач.

 

Примеры:

1. Найти закон свободных колебаний однородной струны длины l, закрепленной на концах, если в начальный момент t=0 струна имеет форму параболы (), а начальная скорость отсутствует.

Решение: Задача сводиться к решению уравнения

при граничных условиях

и начальных условиях

.

Решение исходной задачи будет

Для определения коэффициентов и воспользуемся начальными условиям. Имеем

Из последнего сразу получаем .

отсюда, интегрируя дважды по частям, находим

.

Подставляя найденные значения в ряд, получим решение поставленной задачи

2.

3.

4.

5.