Тема: Решение задачи Дирихле для круга методом Фурье. Интеграл Пуассона.

 

Задача ставиться так: найти функцию , удовлетворяющую внутри круга радиуса с центром в начале координат уравнению Лапласа

, (1)

непрерывную в замкнутой области и принимающую заданные значения на границе круга,

(2)

где - достаточно гладкая функция, периодическая с периодом .

В силу однозначности искомого решения оно должно быть периодическим по с периодом , . Из непрерывности решения следует его ограниченность в .

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

(3)

Будем искать частные решения уравнения (3) в виде

. (4)

Подставляя в форме (4) в уравнение (3), умноженное на , получим

,

откуда

(5)

(6)

Из условия получаем , а из (5) находим , так что

.

В частности, .

Полагая в уравнении (6) (уравнении Эйлера) , при получаем

.

Отсюда и, следовательно,

.

При n=0 из (6) находим

.

Решение внутренней задачи Дирихле будем искать в виде ряда

, (7)

где коэффициенты определяются из граничного условия (2).

При r=r₀ имеем

, (8)

Запишем разложение в ряд Фурье

, (9)

где

, (10)

Сравнивая ряды (8) и (9), получаем

Таким образом, формальное решение внутренней задачи Дирихле для круга представимо в виде ряда

(11)

где коэффициенты определяются по формулам (10).

Решение внешней задачи Дирихле следует искать в виде ряда

, (12)

где коэффициенты определяются из граничного условия .

Для кольцевой области , образованной двумя концентрическими окружностями с центром в точке 0 радиусов и (рис. 1), решение задачи ищется в виде ряда

(13)

коэффициенты которого (n=1, 2, …) определяются из граничных условий

Рис. 1.

Пример: найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса с центром в начале координат и такую, что .

Решение: Задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения при граничном условии . Будем искать решение задачи в виде ряда

.

Из граничного условия имеем

.

Отсюда в силу ортогональности системы функций на отрезке получаем

Искомое решение

, или .

 

Интеграл Пуассона.

 

Преобразуем формулу (11) к более простому виду. Подставив в нее выражения для коэффициентов Фурье и меняя порядок суммирования и интегрирования, будем иметь

(14)

Положим для кратности и проведем следующие тождественные преобразования:

.

Подставляя это выражение в (14), получим

(15)

Полученная формула дает решение первой краевой задачи для уравнения внутри круга и называется интегралом Пуассона, а выражение называют ядром Пуассона.

Решение внешней задачи имеет вид

.

Можно показать, что если функция только непрерывна на границе круга , то функция

удовлетворяет уравнению при r<r₀ и непрерывна в замкнутом круге .

Примеры:

1. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса с центром в начале координат и такую, что

1) ; 2)

2. Найти функцию, гармоническую внутри круга радиуса с центром в начале координат и такую, что

1) ; 2)

3. Найти функцию, гармоническую в кольце 1<r<2 такую, что ,

4. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

5. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

6. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

7. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

8. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

9. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

10. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .

11. Найти решение уравнения Лапласа внутри круга , принимающее на границе круга .