Динаміка безперервних екстремальних систем 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Динаміка безперервних екстремальних систем



Для характеристики якості роботи системи звичайно використовують такі показники (рис. 11.12):

- параметри автоколивань у зоні екстремуму: період Та і амплітуда а, причому розмах коливань DІ називається зоною пошуку на виході, а розмах коливань Du – зоною пошуку на вході;

- різниця між екстремальним І* і середнім Ісер значеннями критерію на виході об’єкта, яка називається втратою на пошук Р, що характеризує точність роботи системи;

- час Т0 виходу системи з початкового стану І0 у зону екстремуму, що характеризує швидкодію системи.

Розглянемо деякі методи розрахунку показників якості СЕК.

Знехтуємо спочатку інерційністю об’єкта керування (Т1»Т2»0). Тоді функціональна схема СЕК із вимірюванням знака похідної буде мати вигляд, наведений на рис. 11.13, а.

Обчислювальний пристрій (ОП) визначає похідну dI/du, яка подається на вхід релейного елемента (РЕ) і далі - на вхід виконавчого механізму (ВМ), що працює з постійною швидкістю v0. Статична характеристика об’єкта апроксимується параболою:

(11.11)

Оскільки РЕ має характеристику, еквівалентну петльовій, у системі встановляться симетричні відносно точки екстремуму автоколивання. Визначимо основні показники якості роботи системи для даного випадку (рис. 11.13, б).

Зони пошуку екстремуму на вході й на виході визначаються таким чином.

Маємо З іншого боку, в момент подання команди на реверс де D - зона нечутливості РЕ. Отже, у цей момент 2kua = D, ua = D/2k, а зона пошуку на вході буде:

Du = 2ua = D/k. (11.12)

Зону пошуку на виході з урахуванням (11.11) визначимо з виразу:

DI = I* - I(ua) = 0 – [(-k)× D2/(2k)2] = D2/(4k). (11.13)

 

 
 

 

 


Тут ураховано, що при статичній характеристиці (11.11) екстремальне значення критерію I* дорівнює нулю.

Період автоколивань Та з урахуванням того, що u = v0t, визначимо зі співвідношення:

ua = D/2k = v0Та/2; звідки Та = D/(v0k). (11.14)

Визначимо втрати на пошук:

Тоді з урахуванням (11.13) і (11.14) маємо:

(11.15)

Час виходу системи у зону екстремуму з урахуванням (11.12):

(11.16)

Як випливає з отриманих виразів, збільшення D призводить до збільшення втрат на пошук Р і зони пошуку на виході DІ, тобто до погіршення точності роботи системи.

Підвищення швидкості виконавчого механізму v0 зменшує період автоколивань Та і час Т0. На якісні показники роботи системи впливає і крутість статичної характеристики, яка визначається коефіцієнтом k: збільшення k знижує величини Р і DІ.

Розглянемо об’єкти, що мають інерційність. Нехай об’єкт має структуру, що наведена на рис. 11.11, б. Тоді рівняння ланок СЕК з пропорційним керуванням (рис. 11.14) можна записати у вигляді:

- лінійна частина об’єкта (ЛЧ)

(11.17)

- нелінійна частина об’єкта

(11.18)

- екстремальний регулятор (ЕР)

(11.19)

- виконавчий механізм (ВМ)

(11.20)

Розв’язавши цю систему рівнянь, отримаємо:

(11.21)

де k=2k1k2k3.

Рівняння (11.21) є лінійним диференціальним рівнянням, і подальший аналіз перехідних процесів у системі можна виконувати звичайними методами лінійної теорії автоматичного керування.

Наприклад, при 4kT > 1, що відповідає коливальній ланці (x<1), розв’язок рівняння (11.21) має вигляд:

(11.22)

де А і j - сталі інтегрування.

На рис. 11.15 наведені залежності x(t) і I(t), обчислені за формулами (11.22) і (11.18). З рисунку видно, що при ступінчастому збуренні (І = І0) система здійснює загасаючі коливання навколо екстремальної точки (І*=0).

Зона пошуку на виході DІ а, отже, втрати на пошук Р у даній системі в усталеному режимі дорівнюють нулю.

У разі використання для керування виконавчим механізмом релейного елемента рівняння системи матиме вигляд:

(11.23)

Тут ураховано, що рівняння (11.19) з урахуванням (11.18) являє нелінійну залежність вигляду: v = F(x).

Рівняння (11.23) є нелінійним, і його можна дослідити за допомогою нелінійної теорії автоматичного керування.

Нехай тепер об’єкт має структуру (рис. 11.11, в), а екстремальний регулятор здійснює пошук із запам’ятовуванням екстремуму (рис. 11.16). Рівняння окремих ланок мають вигляд:

- лінійна частина об’єкта (ЛЧ)

(11.24)

- нелінійна частина об’єкта

(11.25)

- виконавчий механізм (ВМ)

(11.26)

- екстремальний регулятор (ЕР)

(11.27)

Сумісний розв’язок рівнянь об’єкта (11.24) і (11.25) дає:

або

а з урахуванням (11.26) отримаємо:

Позначимо: , тоді з урахуванням, що , маємо:

(11.28)

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням фазової траєкторії у координатах “вхід об’єкта u – його вихід х ”. Нехай початкове значення координат об’єкта буде u0, x0=k1I0 (рис. 11.17, а) і при цьому v0>0. Якщо об’єкт безінерційний, то x=k1I і фазова траєкторія х(u) при k1=1 співпадає зі статичною характеристикою I(u). У разі наявності інерційності рівняння фазової траєкторії є розв’язком рівняння (11.28):

(11.29)

Сталу С визначимо з початкових умов при t=0: u = u0, x = x0. Тоді:

(11.30)

Відповідно до (11.29) на рис. 11.17,а побудовано фазову траєкторію х=f(u). Після того, як фазова траєкторія перетне статичну характеристику об’єкта, координата х почне зменшуватись, отже, знак Dх буде від’ємним. Це видно з рівняння лінійної частини об’єкта (11.24): при k1=1, , отже, при І = х похідна dx/dt змінює свій знак, значить, у цій точці значення х максимальне.

При (точка ) релейний елемент спрацьовує і відбувається реверс ВМ. Рівняння фазової траєкторії зберігає той самий вигляд, однак, оскільки у даному випадку v0<0, то коефіцієнти a і b у рівняннях (11.29) і (11.30) змінюють свій знак, а до (11.30) також замість необхідно підставити . У точці знову відбудеться реверс і т.д.

Граничний цикл (безперервна лінія на рис. 11.17, а) характеризує усталені симетричні автоколивання у системі.

За фазовою траєкторією і граничним циклом можна визначити якісні показники системи.

Зона пошуку на вході дорівнює , а на виході визначається різницею між мінімальним і максимальним значеннями вихідного параметра х, тобто Dх = х1 - х2 = 2D. Період автоколивань, з урахуванням того, що швидкість виконавчого механізму дорівнює k3v0, можна визначити зі співвідношення:

Оскільки автоколивання симетричні, то втрати на пошук будуть:

Час виходу до екстремуму визначимо як суму інтервалів часу, за які система проходить певні ділянки фазової траєкторії:

де n – кількість ділянок фазової траєкторії до виходу на граничний цикл.

Приклад 11.3 Нехай об’єкт керування описується рівнянням

а рівняння виконавчого механізму з урахуванням екстремального регулятора з релейним елементом має вигляд:

Значення параметрів: Т = 1 с; k1 = k2 = 1; v0 = 1; k3 = 1c-1; D=0,2.

Визначити період автоколивань і втрату на пошук.

Знаходимо координати точок реверсу А(ua, xa) і B(ub,xb).

Записуємо рівняння (11.29) з урахуванням (11.30) для додатного (v0>0) півциклу автоколивань для точки В (рис. 11.18). Коефіцієнти a і b для заданих параметрів системи дорівнюють одиниці. Тоді отримуємо:

Ураховуючи, що при усталених автоколиваннях xa = xb і ub = -ua, визначимо з отриманого виразу xb:

(11.31)

Друге рівняння, що зв’язує координати xb і ub, отримаємо так. Оскільки k1 = 1, то точка С, що відповідає максимальному значенню х, лежить на статичній характеристиці. Отже,

(11.32)

звідки знаходимо:

(11.33)

Запишемо (11.29) для точки С:

З урахуванням (11.32) і (11.33) отримаємо:

(11.34)

З рівнянь (11.31) і (11.34) можна визначити шукані xb і ub. Оскільки отримана система є трансцендентною, розв’язати її можна чисельними або графічними методами.

Результати розрахунків для даного прикладу такі: ub = 1, xb = -0,4. Період автоколивань Та = 2ub/(k3v0) = 2 c; втрати на пошук складають P = I* - xb = 0,4.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-27; просмотров: 136; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 3.81.222.152 (0.123 с.)