ТОП 10:

Диференціальні системи екстремального керування



Дані системи працюють за розімкнутим циклом, і тому іноді їх називають безпошуковими. Керуюча дія у таких системах формується за допомогою аналізу різниці двох величин. Це й обумовило їх назву.

Функціональна схема диференціальної СЕК наведена на рис. 11.9, а). Керуюча дія u і збурення f прикладені не тільки до об’єкта керування, але й до двох його моделей М. Крім того, на ці моделі діють однакові й постійні за модулем, але різні за знаком додаткові керуючі дії Du, у результаті чого статичні екстремальні характеристики моделей I1(u) і I2(u) зміщуються у різні боки відносно характеристики об’єкта I(u) (рис. 11.9, б).

Нехай на вхід обох моделей і об’єкта подається керування u1. Тоді вихідна величина першої моделі дорівнює І1, другої – І2, а різниця DІ=І2 1>0. Можна показати, що у разі параболічної залежності І(u) різниця DІ буде пропорційною відстані до екстремальної точки u*. У точці екстремуму u* ця різниця дорівнює нулю, а надалі при переході на праву частину характеристики вона змінює свій знак. Таким чином, формуючи змінювання керуючої дії u пропорційно різниці DІ (або відповідно до його знаку), можна забезпечити роботу системи в екстремальній точці. Оскільки на модель діють ті самі збурення, що і на об’єкт, дрейф характеристики об’єкта не змінює відносного розташування вихідних характеристик моделей і характеристики об’єкта, і не порушує працездатності системи.

 
 

 


Суттєвим обмежуючим моментом застосування диференціальних СЕК є необхідність апріорного знання моделі об’єкта, яка невідома для широкого класу об’єктів.

У разі, якщо функція I(u) має мінімум, то шляхом віднімання її від постійної величини А отримаємо криву, яка має максимум. Завдяки цьому екстремальний регулятор, призначений для пошуку максимуму функції I1(u), можна використовувати і для пошуку мінімуму функції I(u) = А - I1(u).

 

Розглянуті методи пошуку екстремуму стосуються одноканальних систем. Якщо показник екстремуму є функцією кількох керуючих параметрів І(u1, u2, …, um) (багатоканальні системи), то необхідною умовою досягнення екстремуму є рівність нулю частинних похідних показника якості зі всіх керуючих параметрів:

(11.2)

Методи пошуку екстремуму для таких систем поділяються на два види:

- детерміновані: метод градієнта, метод найшвидшого спуску, метод Гаусса-Зейделя;

- випадкові: метод випадкових сліпих пошуків, статистичного градієнта та статистичного найшвидшого спуску.

Метод градієнта

Градієнтом скалярної функції І(u1, u2, …, um) називається вектор з координатами тобто

(11.3)

де k1, k2, …, km – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками осей u1, u2, …, um.

Цей вектор спрямований у бік найбільшого зростання функції І. У точці екстремуму grad I = 0.

Метод градієнта реалізується на основі дискретного або безперервного принципу роботи контуру адаптації.

При безперервному принципі роботи метод градієнта полягає у тому, що швидкості змінювання параметрів ui беруть пропорційними відповідним компонентам миттєвого значення градієнта, тобто

(11.4)

де сі – коефіцієнт пропорційності; сі > 0 для випадку екстремуму-мінімуму; сі<0 для екстремуму-максимуму.

При кроковому пошуку після вимірювання поточного градієнта виконується крок, складові якого за осями координат пропорційні відповідним компонентам градієнта у початковій точці пошуку:

(11.5)

Далі знову визначається градієнт, виконується наступний крок у напрямку вектора градієнта і т.д.

Залежності (11.4) і (11.5) використовують для формування робочих сигналів екстремальної системи, що забезпечують рух до екстремуму вихідної величини І.

Перевагою методу градієнта є плавний характер руху до точки екстремуму і у разі крокового пошуку відносно малий розмах коливань. До недоліків належить необхідність визначення градієнта в кожній точці фазової траєкторії, що збільшує час пошуку.

 

Метод найшвидшого спуску

За цим методом напрямок градієнта визначається у початковій точці, а потім здійснюється рух у цьому напрямку доти, доки похідна вздовж цього напрямку dI/dt не дорівнюватиме нулю. Потім знову визначається напрямок градієнта і здійснюється рух за новим напрямком до наступного нульового значення похідної і т.д.

Метод найшвидшого спуску характеризується відносно малим часом досягнення екстремуму при великих кроках на початковому етапі пошуків.

Приклад 11.1 Задано показник екстремуму:

(11.6)

Визначити мінімум функції I(u1, u2) методом найшвидшого спуску з початкової точки u10 = 4; u20 = 6.

Функції I(u1, u2) відповідає сім’я еліпсів для різних I = const (рис. 11.10). Початковий стан визначається точкою М1.

Знайдемо напрямок градієнта у початковій точці. Частинні похідні для цієї точки:

(11.7)

Через те, що відшукуємо мінімум функції І, будемо рухатись у напрямку, зворотному до градієнта, і визначимо координати u11, u21 наступної точки:

(11.8)

де L – поки ще невідомий крок переходу з точки (u10, u20) до точки (u11, u21).

Для визначення кроку L підставимо знайдені значення u11, u21 у вираз (11.6):

Прирівняємо до нуля похідну і отримаємо:

звідки L = 0,334.

Підставимо це значення у вираз (11.8) і визначимо координати u11 і u21:

u11 = -0,68; u21 = 0,65 (точка М12 на рис. 11.10).

Виконавши аналогічні обчислення для наступного кроку за умови, що вихідним станом системи є стан, у який вона прийшла у кінці першого кроку, дістанемо: u12 = 0,0229; u22 = 0,0362. Отже, практично за два кроки система опиняється у точці, досить близькій до точки мінімуму.

 

Метод Гаусса-Зейделя (метод почергового змінювання параметрів)

За цим методом рух уздовж кожної координати відбувається по черзі. Спочатку здійснюється рух уздовж координати u1, а решта координат u2, u3, … залишаються незмінними. Цей рух триває доти, доки похідна функції І по координаті u1 не дорівнюватиме нулю, тобто . З останньої умови визначається u1. Після цього значення u1 і решта координат, крім u2, залишаються незмінними, а координата u2 змінюється доти, доки не буде виконана умова . З цієї умови визначається u2. Потім змінюється координата u3 і т.д. У такій спосіб визначаються частинні екстремуми по всіх координатах. Після цього виконується повторний цикл змінювання координат по черзі, починаючи з u1. Процес пошуку триває, доки всі частинні похідні не дорівнюватимуть нулю (доки всі похідні не будуть меншими за поріг чутливості системи).

Приклад 11.2Розв’язати задачу (приклад 11.1) методом Гаусса-Зейделя.

Початковий стан об’єкта визначається точкою М1 (рис. 11.10). Починаємо пошук, змінюючи координату u1 при u2 = 6. Тоді

Визначимо частинну похідну даної функції за u1 і прирівняємо її до нуля:

звідки для першого частинного екстремуму u1 = -3. Йому відповідає точка М2 з координатами u1 = -3, u2 = 6.

Фіксуємо параметр u1 = -3 і змінюємо координату u2:

u2 = 1,5.

Цьому значенню координати u2 відповідає точка М3.

Повторимо обчислення для координати u1 при u2 = 1,5:

u1 = -0,75.

Отримали точку М4(-0,75;1,5).

Наступний цикл:

u2 = 0,375.

Цьому циклу відповідає точка М5.

Отже, пошукові рухи становлять ламану лінію, яка складається з взаємно перпендикулярних відрізків. Точки зламу є точками дотику цих відрізків до кривих I(u1,u2)=const.

 

Метод змінювання параметрів зручний тим, що для його реалізації можна застосовувати відомі типи однопараметричних екстремальних систем, якщо додати пристрій, що перемикає канали параметрів u1, u2, …, um. Проте, як видно з рис. 11.10, рух системи до екстремуму відбувається далеко не найкоротшим шляхом.







Последнее изменение этой страницы: 2016-12-27; Нарушение авторского права страницы

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 18.207.102.38 (0.007 с.)