Диференціальні системи екстремального керування

Дані системи працюють за розімкнутим циклом, і тому іноді їх називають безпошуковими. Керуюча дія у таких системах формується за допомогою аналізу різниці двох величин. Це й обумовило їх назву.

Функціональна схема диференціальної СЕК наведена на рис. 11.9, а). Керуюча дія u і збурення f прикладені не тільки до об’єкта керування, але й до двох його моделей М. Крім того, на ці моделі діють однакові й постійні за модулем, але різні за знаком додаткові керуючі дії D u, у результаті чого статичні екстремальні характеристики моделей I₁(u) і I₂(u) зміщуються у різні боки відносно характеристики об’єкта I(u) (рис. 11.9, б).

Нехай на вхід обох моделей і об’єкта подається керування u₁. Тоді вихідна величина першої моделі дорівнює І₁, другої – І₂, а різниця DІ=І₂ -І₁>0. Можна показати, що у разі параболічної залежності І(u) різниця DІ буде пропорційною відстані до екстремальної точки u^*. У точці екстремуму u^* ця різниця дорівнює нулю, а надалі при переході на праву частину характеристики вона змінює свій знак. Таким чином, формуючи змінювання керуючої дії u пропорційно різниці DІ (або відповідно до його знаку), можна забезпечити роботу системи в екстремальній точці. Оскільки на модель діють ті самі збурення, що і на об’єкт, дрейф характеристики об’єкта не змінює відносного розташування вихідних характеристик моделей і характеристики об’єкта, і не порушує працездатності системи.

 

Суттєвим обмежуючим моментом застосування диференціальних СЕК є необхідність апріорного знання моделі об’єкта, яка невідома для широкого класу об’єктів.

У разі, якщо функція I(u) має мінімум, то шляхом віднімання її від постійної величини А отримаємо криву, яка має максимум. Завдяки цьому екстремальний регулятор, призначений для пошуку максимуму функції I₁(u), можна використовувати і для пошуку мінімуму функції I(u) = А - I₁(u).

 

Розглянуті методи пошуку екстремуму стосуються одноканальних систем. Якщо показник екстремуму є функцією кількох керуючих параметрів І(u₁, u₂, …, u_m) (багатоканальні системи), то необхідною умовою досягнення екстремуму є рівність нулю частинних похідних показника якості зі всіх керуючих параметрів:

(11.2)

Методи пошуку екстремуму для таких систем поділяються на два види:

- детерміновані: метод градієнта, метод найшвидшого спуску, метод Гаусса-Зейделя;

- випадкові: метод випадкових сліпих пошуків, статистичного градієнта та статистичного найшвидшого спуску.

Метод градієнта

Градієнтом скалярної функції І(u₁, u₂, …, u_m) називається вектор з координатами тобто

(11.3)

де k ₁, k ₂, …, k _m – одиничні вектори, напрямки яких збігаються з напрямками осей u₁, u₂, …, u_m.

Цей вектор спрямований у бік найбільшого зростання функції І. У точці екстремуму grad I = 0.

Метод градієнта реалізується на основі дискретного або безперервного принципу роботи контуру адаптації.

При безперервному принципі роботи метод градієнта полягає у тому, що швидкості змінювання параметрів u_i беруть пропорційними відповідним компонентам миттєвого значення градієнта, тобто

(11.4)

де с_і – коефіцієнт пропорційності; с_і > 0 для випадку екстремуму-мінімуму; с_і<0 для екстремуму-максимуму.

При кроковому пошуку після вимірювання поточного градієнта виконується крок, складові якого за осями координат пропорційні відповідним компонентам градієнта у початковій точці пошуку:

(11.5)

Далі знову визначається градієнт, виконується наступний крок у напрямку вектора градієнта і т.д.

Залежності (11.4) і (11.5) використовують для формування робочих сигналів екстремальної системи, що забезпечують рух до екстремуму вихідної величини І.

Перевагою методу градієнта є плавний характер руху до точки екстремуму і у разі крокового пошуку відносно малий розмах коливань. До недоліків належить необхідність визначення градієнта в кожній точці фазової траєкторії, що збільшує час пошуку.

 

Метод найшвидшого спуску

За цим методом напрямок градієнта визначається у початковій точці, а потім здійснюється рух у цьому напрямку доти, доки похідна вздовж цього напрямку dI/dt не дорівнюватиме нулю. Потім знову визначається напрямок градієнта і здійснюється рух за новим напрямком до наступного нульового значення похідної і т.д.

Метод найшвидшого спуску характеризується відносно малим часом досягнення екстремуму при великих кроках на початковому етапі пошуків.

Приклад 11.1 Задано показник екстремуму:

(11.6)

Визначити мінімум функції I(u₁, u₂) методом найшвидшого спуску з початкової точки u₁₀ = 4; u₂₀ = 6.

Функції I(u₁, u₂) відповідає сім’я еліпсів для різних I = const (рис. 11.10). Початковий стан визначається точкою М₁.

Знайдемо напрямок градієнта у початковій точці. Частинні похідні для цієї точки:

(11.7)

Через те, що відшукуємо мінімум функції І, будемо рухатись у напрямку, зворотному до градієнта, і визначимо координати u₁₁, u₂₁ наступної точки:

(11.8)

де L – поки ще невідомий крок переходу з точки (u₁₀, u₂₀) до точки (u₁₁, u₂₁).

Для визначення кроку L підставимо знайдені значення u₁₁, u₂₁ у вираз (11.6):

Прирівняємо до нуля похідну і отримаємо:

звідки L = 0,334.

Підставимо це значення у вираз (11.8) і визначимо координати u₁₁ і u₂₁:

u₁₁ = -0,68; u₂₁ = 0,65 (точка М₁₂ на рис. 11.10).

Виконавши аналогічні обчислення для наступного кроку за умови, що вихідним станом системи є стан, у який вона прийшла у кінці першого кроку, дістанемо: u₁₂ = 0,0229; u₂₂ = 0,0362. Отже, практично за два кроки система опиняється у точці, досить близькій до точки мінімуму.

 

Метод Гаусса-Зейделя (метод почергового змінювання параметрів)

За цим методом рух уздовж кожної координати відбувається по черзі. Спочатку здійснюється рух уздовж координати u₁, а решта координат u₂, u₃, … залишаються незмінними. Цей рух триває доти, доки похідна функції І по координаті u₁ не дорівнюватиме нулю, тобто . З останньої умови визначається u₁. Після цього значення u₁ і решта координат, крім u₂, залишаються незмінними, а координата u₂ змінюється доти, доки не буде виконана умова . З цієї умови визначається u₂. Потім змінюється координата u₃ і т.д. У такій спосіб визначаються частинні екстремуми по всіх координатах. Після цього виконується повторний цикл змінювання координат по черзі, починаючи з u₁. Процес пошуку триває, доки всі частинні похідні не дорівнюватимуть нулю (доки всі похідні не будуть меншими за поріг чутливості системи).

Приклад 11.2 Розв’язати задачу (приклад 11.1) методом Гаусса-Зейделя.

Початковий стан об’єкта визначається точкою М₁ (рис. 11.10). Починаємо пошук, змінюючи координату u₁ при u₂ = 6. Тоді

Визначимо частинну похідну даної функції за u₁ і прирівняємо її до нуля:

звідки для першого частинного екстремуму u₁ = -3. Йому відповідає точка М₂ з координатами u₁ = -3, u₂ = 6.

Фіксуємо параметр u₁ = -3 і змінюємо координату u₂:

u₂ = 1,5.

Цьому значенню координати u₂ відповідає точка М₃.

Повторимо обчислення для координати u₁ при u₂ = 1,5:

u₁ = -0,75.

Отримали точку М₄(-0,75;1,5).

Наступний цикл:

u₂ = 0,375.

Цьому циклу відповідає точка М₅.

Отже, пошукові рухи становлять ламану лінію, яка складається з взаємно перпендикулярних відрізків. Точки зламу є точками дотику цих відрізків до кривих I(u₁,u₂)=const.

 

Метод змінювання параметрів зручний тим, що для його реалізації можна застосовувати відомі типи однопараметричних екстремальних систем, якщо додати пристрій, що перемикає канали параметрів u₁, u₂, …, u_m. Проте, як видно з рис. 11.10, рух системи до екстремуму відбувається далеко не найкоротшим шляхом.