Импликация. Необходимое и достаточное условия.

Вопросы на зачет по логике.

1. Виды и правила определения.

Виды и правила деления.

Импликация. Необходимое и достаточное условия.

Структура, виды и правила доказательства.

Структура, виды и правила опровержения.

Законы тождества и достаточного основания.

Законы непротиворечия и исключённого третьего.

ПКС

1. Виды и правила определения.

Определение (или дефиниция) понятия есть логическая опера­ция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина. С помощью определения понятий мы в явной форме указыва­ем на сущность отражаемых в понятии предметов, раскрываем содержание понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других предметов.

1. Явные и неявные определения.

В явном определении понятие, содержание которого надо раскрыть, называется определяемым понятием [ definiendum (дефиниендум), сокращенно Dfd ], а то понятие, посредством которого оно определяется, называется определяющим понятием [ definience (дефиниенс), сокращенно — Dfn ].

Вотличие от явных определений, имеющих структуру в неявных определениях просто на место Dfn подставляется контекст, или набор аксиом, или описание способа постро­ения определяемого объекта. Бывают еще индуктивные неявные определения. Они характеризуются тем, что определя­емый термин используется в выражении понятия, которое ему приписывается в качестве его смысла

2. Реальные и номинальные определения

Если определяется понятие, то определение будет реальным. Если определяется термин, обозначающий понятие, то определе­ние будет номинальным.

С помощью номинальных определений вводятся также новые термины, краткие имена взамен более сложных описаний пред­метов, знаки, заменя­ющие термины, раскрывается этимоло­гия того или иного термина. Для номинальных определений характерно присутствие в их составе слова «называют(ся)».

Правила явного определения. Ошибки, возможные в определении

1. Определение должно быть соразмерным, т. е. объем опре­деляющего понятия должен быть равен объему определяемого понятия. Это правило часто нарушается, в результате, чего возникают логические ошибки в определении. Их типы:

а) широкое определение, когда Dfd<Dfn. Такая ошибка содер­жится в определении: «Лошадь — млекопитающее и позвоночное животное». (Здесь понятие «лошадь» нельзя от­личить от понятий «корова» или «коза».)

б) узкое определение, когда Dfd>Dfh. Например, «Совесть — это осознание человеком ответственности перед самим собой за свои действия и поступки» (а перед обществом?).

в) определение в одном отношениии широкое, в другом — уз­кое. В этих неправильных определениях Dfd>Dfn и Dfd<Dfn (в разных отношениях). Например, «Бочка — сосуд для хранения жидкостей». С одной стороны, это широкое определение, так как сосудом для хранения жидкостей может быть и чайник, и ведро, и т. д.; с другой стороны, это узкое определение, так как бочка пригодна для хранения и твердых тел, а не только жидкостей.

2. Определение не должно содержать круга. Круг возникает тогда, когда Dfd определяется через Dfn, a Dfn был определен через Dfd. В определении «Вращение есть движение вокруг своей оси» будет допущен круг, если до этого понятие «ось» было определено через понятие «вращение» («ось — это прямая, вок­руг которой происходит вращение»).

Круг возникает и тогда, когда определяемое понятие харак­теризуется через него же, лишь выраженное иными словами, или когда определяемое понятие включается в определяющее поня­тие в качестве его части. Такие определения носят название тавтологий.

Тавтологичны такие определения: «Халатность заключается в том, что человек халатно относится к своим обязанностям».

3. Определение должно быть четким, ясным. Это правило означает, что смысл и объем понятий, входящих в Dfn, должен быть ясным и определенным. Определения понятий должны быть свободными от двусмысленности; не допускается подмена их - метафорами, сравнениями и т. д.

Виды и правила деления.

Деление — это логическая операция, посредством которой объем делимого понятия (множество) распределяется на ряд подмножеств с помощью избранного основания деления.

Если с по­мощью определения понятия раскрывается его содержание, то с помощью деления понятия раскрывается его объем.

Признак, по которому производится деление объема понятия, называется основанием деления. Подмножества, на которые раз­делен объем понятия, называются членами деления. Делимое понятие — это родовое, а его члены деления — это виды данного рода, соподчиненные между собой, т. е. не пересекающиеся по своему объему (не имеющие общих членов). Объем понятия можно делить по различным основаниям деления в зависимости от цели деления, от практических задач. Но при каждом делении на некотором его уровне должно браться лишь одно основание.

Правила деления понятий

1. Соразмерность деления: объем делимого понятия должен быть равен сумме объемов членов деления. Например, Электрический ток делится на постоянный и переменный.

Нарушение этого правила ведет к ошибкам двух видов:

а) неполное деление, когда перечисляются не все виды данного родового понятия. «Энергия делится на механическую и химическую» (здесь нет, например, указания на электрическую энергию, атомную энергию).

б) деление с лишними членами. Пример этого ошибочного деления: «Химические элементы делятся на металлы, неметаллы и сплавы». Лишний член («сплавы»), а сумма объемов понятий «металл» и «неметалл» исчерпывает объем понятия «химический элемент».

2. Деление должно проводиться только по одному основанию. Это означает, что нельзя брать два или большее число призна­ков, по которым бы производилось деление.

Если будет нарушено это правило, то произойдет перекрещи­вание объемов понятий, которые появились в результате деления. (ошибка – подмена основания).

3. Члены деления должны исключать друг друга, т. е. не иметь общих элементов, быть соподчиненными понятиями, объемы которых не пересекаются.

4. Деление должно быть непрерывным, т. е. нельзя делать скачки в делении. Будет допущена ошибка, если мы скажем: «Сказуемые делятся на простые, на составные глагольные и составные именные». Правильным будет сначала разделить сказуемые на простые и составные, а затем уже составные сказуемые разделить на составные глагольные и составные именные.

Классификация

Классификация является разновидностью деления понятия, представляет собой вид последовательного деления и образует развернутую систему, в которой каждый ее член (вид) делится на подвиды и т. д. От обычного деления классификация отличается относительно устойчивым характером. Если классификация науч­на, то она сохраняется весьма длительное время.

Классификация может производиться по существенным при­знакам (естественная) и по несущественным признакам (вспомо­гательная).

 

Определения как аргументы доказательства.

3. Аксиомы и постулаты. В математике, механике, теоретичес­кой физике, математической логике и других науках кроме опре­делений вводят аксиомы. Аксиомы — это суждения, которые принимаются в качестве аргументов без доказательства.

ПОНЯТИЕ ОПРОВЕРЖЕНИЯ

 

Опровержение — логическая операция установления ложно­сти или необоснованности ранее выдвинутого тезиса.

Опровержение должно показать, что: 1) неправильно постро­ено само доказательство (аргументы или демонстрация); 2) вы­двинутый тезис ложен или не доказан.

Суждение, которое надо опровергнуть, называется тезисом опровержения. Суждения, с помощью которых опровергается тезис, называются аргументами опровержения.

Существуют три способа опровержения: 1) опровержение те­зиса (прямое и косвенное); 2) критика аргументов; 3) выявление несостоятельности демонстрации.

 

II. Критика аргументов

Подвергаются критике аргументы, которые были выдвинуты оппонентом в обоснование его тезиса. Доказывается ложность или несостоятельность этих аргументов.

Ложность аргументов не означает ложности тезиса: тезис может оставаться истинным.

Нельзя достоверно умозаключать от отрицания основания к отрицанию следствия. Но достаточно бывает показать, что тезис не доказан. Иногда бывает, что тезис истинен, но человек не может подобрать для его доказательства истинные аргументы.

 

Закон тождества

Закон тождества является одним из законов правильного мышления, соблюдение этого закона гарантирует определен­ность и ясность мышления. Закон формулируется так: «В процес­се определенного рассуждения всякое понятие и суждение должны быть тождественны самим себе». В математической логике за­кон тождества выражается следующими формулами:

(в логике высказываний) и (в логике классов, в которой классы отождествляются с объемами понятий).

Схема закона тождества: . Если в нее вместо подставляются высказывания, то будет а если подставляются понятия, то будет

.

В мышлении закон тождества выступает в качестве норматив­ного правила (принципа). Он означает, что в процессе рассужде­ния нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различ­ные — за тождественные.

Нарушение закона тождества приводит к двусмысленности, что можно видеть, например, в следующих рассуждениях: «Ноздрев был в некотором отношении исторический человек. Ни на одном собрании, где он был, не обходилось без истории» (Н. В. Гоголь).

Иногда в ходе дискуссий спор по существу подменяют спором о словах. Иногда люди говорят о разных вещах, думая, что они имеют в виду одного и того же человека либо одну и ту же вещь или событие. Логические ошибки часто совершают при употреб­лении омонимов, т. е. слов, имеющих два значения («следствие», «материя», «содержание» и др.). В резуль­тате отождествления различных понятий возникает логическая ошибка, называемая подменой понятия.

При нарушении закона тождества возникает и другая ошибка, называемая подменой тезиса. В ходе доказательства или опровер­жения выдвинутый тезис часто умышленно или неосознанно под­меняется другим. В научных и иных дискуссиях это проявляется в приписывании оппоненту того, чего он не говорил. Такие приемы ведения дискуссий недопустимы.

Равенства обладают свойствами рефлексивности (а = а), сим­метричности (если а = b, то b = а)и транзитивности (если а = b и b = с, то а = с). К равенствам применимо правило замены равно­го равным.

Различие также имеет свои виды и модификации: неравенство, неэквивалентность (неравномощность) множеств и т.д.; в теории алгоритмов — различие букв, неравенство конкретных слов (на­пример, пустого и непустого слова) и др.

Закон непротиворечия

Если предмет А обладает определенным свойством, то в суждениях об А люди должны утверждать это свойство, а не отрицать его. Если же человек, утверждая что-либо, отрицает то же самое или утверждает нечто несовместимое с первым, налицо логическое противоречие. Формально-логические противоречия — это противоречия путаного, неправильного рассуждения. Такие противоречия затрудняют познание мира.

Нельзя смешивать формально-логические противоречия с диалектическими. Закон единства и борьбы противоположно­стей действует всюду, поэтому диалектические противоречия свойственны природе, обществу и мышлению. Борьба проти­воположностей — движущая сила развития природы, общества и мышления.

Аристотель считал «са­мым достоверным из всех начал» следующее: «...невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении»². Тем самым Аристотель дал логическую формулировку закона непротиворе­чия: «Невозможно что-либо вместе утверждать и отрицать»³. Эта формулировка указывает на необходимость не допускать в своем мышлении и речи формально-противоречивые высказывания, в противном случае мышление будет неправильным.

Мысль противоречива, если мы об одном и том же предмете в одно и то же время и в одном и том же отношении нечто и утверждаем, и отрицаем. Например, «Кама — приток Волги» и «Кама не является притоком Волги».

Противоречия не будет, если мы говорим о разных предметах или об одном и том же предмете, взятом в разное время или в разном отношении. Противоречия не будет, если мы скажем: «Осенью дождь полезен для грибов» и «Осенью дождь не полезен для уборки урожая»

Не могут быть одновременно истинными следующие четыре типа простых суждений:

1. «Данное S есть Р» и «Данное S не есть Р».

2. «Ни одно S не есть Р» и «Все S есть Р».

3. «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».

4. «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р».

При этом вторая пара суждений такова, что оба суждения могут быть ложными, например: «Ни один студент не является спортсменом» и «Все студенты являются спортсменами».

Формально-логическое противоречие чаще всего определяется как конъюнкция суждения и его отрицания (а и не-а). Но логичес­кое противоречие может быть выражено и без отрицания; оно имеет место между несовместимыми утвердительными суждени­ями⁴. эмпириокритиками, с дру­гой стороны, научными утверждениями естествоиспытателей.

Формально-логическое противоречие возникает тогда, когда пытаются считать истинными два или несколько утвердительных суждений, не совместимых между собой. Не менее распрост­раненной является форма логического противоречия, когда одно­временно утверждается и отрицается одно и то же суждение, т. е. допускается конъюнкция а и не-а. Таким образом, в традицион­ной формальной логике противоречием считается утверждение двух противоположных (как контрарных, так и контрадиктор­ных) суждений об одном и том же предмете, взятом в одно и то же время и в одном и том же отношении. В исчислении высказы­ваний классической двузначной логики закон непротиворечия записывается в виде формулы так:

Закон непротиворечия читается так: «Два противоположных суждения не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении». К противоположным суждениям относятся: 1) противные (контрарные) суждения А и Е, которые оба могут быть ложными, поэтому не являются отрицающими друг друга и их нельзя обозначить как а и 2) противоречащие (контрадикторные) суждения А и О, Е и /, а также единичные суждения «Это S есть Р» и «Это S не есть Р», которые являются отрицающими, так как если одно из них истинно, то другое обязательно ложно, поэтому их обозначают а и а.

Формула закона непротиворечия в двузначной классической логике отражает лишь часть содержательного аристотелевс­кого закона непротиворечия, так как она относится только к проти­воречащим суждениям (а и не-а) и не распространяется на против­ные (контрарные) суждения. Поэтому формула неадекватно, не полностью представляет содержательный закон непротиворе­чия. Следуя традиции, мы сохраняем за формулой название «закон непротиворечия», хотя оно значительно шире, чем формула. Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально­-логическое противоречие, то такое мышление считается непра­вильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, от­рицается и считается ложным. Поэтому в полемике при опровер­жении мнения оппонента широко используется метод «приведе­ния к абсурду».

 

Закон исключенного третьего

В двузначной традиционной логике закон исключенного третьего формулируется так: «Из двух противоречащих суждений одно истинно, другое ложно, а третьего не дано». Противореча­щими (контрадикторными) называются такие два суждения, в од­ном из которых что-либо утверждается о предмете, а в другом то же самое об этом же предмете отрицается, поэтому они не могут быть оба истинными или оба ложными; одно из них истинно, а другое обязательно ложно. Такие суждения называются от­рицающими друг друга. Если одно из противоречащих суждений обозначить переменной а, то другое следует обозначить а.

Отрицающими являются следующие пары суждений:

 

1. «Это S есть Р» и «Это S не есть Р» (единичные суждения).

2. «Все S есть Р» и «Некоторые S не есть Р» (суждения А и О).

3. «Ни одно S не есть Р» и «Некоторые S есть Р» (суждения Е и I).

 

В отношении противоречащих (контрадикторных) суждений (А и О, Е и I) действует как закон исключенного третьего, так и закон непротиворечия — в этом одно из сходств данных законов.

Различие в областях определения (применения) этих законов в том, что в отношении противных (контрарных) суждений А и Е (например, «Все грибы — съедобны» и «Ни один гриб не является съедобным»), которые не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными, действует лишь закон непротиворечия и не действует закон исключенного третьего. Поэтому сфера действия содержательного закона непротиворечия (контрарные и контрадикторные суждения) шире, чем сфера действия содер­жательного закона исключенного третьего (лишь контрадиктор­ные суждения, т. е. суждения типа а и не-а). Действительно, истинно одно из двух суждений: «Все дома в данной деревне электрифицированы» или «Некоторые дома в данной деревне не; являются электрифицированными»; третьего не дано.

Закон исключенного третьего и в содержательном, и в фор­мализованном виде охватывает один и тот же круг суждений — противоречащие, т. е. отрицающие друг друга суждения.

Содержательные аристотелевские законы непротиворечия и исключенного третьего невыводимы один из другого, так как области определения суждений, к которым они применимы, различны. В силу того что в формализованных законах непротиворечия и исключенного третьего, т. е. в формулах области определения пропозициональных переменных (т. е. переменных, обозначающих суждение и его отрицание: оказываются одними и теми же (берутся лишь противоречащие суждения), на основании закона де Моргана, т. е. формулы закона снятия двойного отрицания, т. е. и закона коммуникативности дизъюнкции, т. е. формулы в двузначной классической логике путем элементарных эквивалентных преоб­разований из закона непротиворечия можно вывести закон ис­ключенного третьего (и наоборот)

В мышлении закон исключенного третьего предполагает чет­кий выбор одной из двух взаимоисключающих альтернатив.

 

Категорический силлогизм — это вид дедуктивного умозак­лючения, в котором из двух истинных категорических суждений, где S и Р связаны средним термином, при соблюдении правил необходимо следует заключение.

Силлогизм происходит от греческого syllogismos (сосчитывание, выведение следствия).

В составе категорического силлогизма имеются две посылки и заключение.

 

Все металлы (М) электропроводны (Р) — большая посылка.

Медь ( S) есть металл (М) — меньшая посылка.

Медь (S) электропроводна (Р) — заключение.

 

Понятия, входящие в состав силлогизма, называются тер­минами силлогизма. В приведенном примере терминами являют­ся: Р («электропроводник») — больший термин, это предикат заключения; S («медь») — меньший термин, это субъект заклю­чения; М («металл») — средний термин, служащий в посылках для связывания S и Р и отсутствующий в заключении (рис. 43).

 

Посылка, содержащая предикат заключения (т. е. больший термин), называется большей посылкой. Посылка, содержащая субъект заключения (т. е. меньший термин), называется меньшей посылкой.

В основе вывода по категорическому силлогизму лежит акси­ома силлогизма.

 

Особые правила фигур

I фигура. Большая посылка должна быть общей, меньшая — утвердительной.

II фигура. Большая посылка общая и одна из посылок, а также заключение отрицательные.

III фигура. Меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение — частное.

IV фигура. Общеутвердительных заключений не дает.

 

I. Правила терминов

1. В каждом силлогизме должно быть только три термина (S, Р, М). Ошибка называется «учетверение терминов». Ошибочное умозаключение:

 

Движение вечно.

Хождение в институт — движение.

------------------------------------------

Хождение в институт вечно.

 

Здесь «движение» трактуется в разном смысле — в философс­ком и обыденном.

2. Средний термин должен быть распределен по крайней мере в одной из посылок.

 

Некоторые растения (М) ядовиты (Р).

Белые грибы (S) — растения (М).

------------------------------------------

Белые грибы (S) —- ядовиты (Р).

 

Здесь средний термин «растение» не распределен ни в одной из посылок, поэтому заключение ложное.

3. Термин распределен в заключении, если и только если он распределен в посылке. Иначе в терминах заключения говорилось бы больше, чем в терминах посылок.

 

Во всех городах за полярным кругом бывают белые ночи.

Санкт-Петербург не находится за полярным кругом.

-------------------------------------------

В Санкт-Петербурге не бывает белых ночей.

 

Заключение ложное, так как нарушено данное правило. Пре­дикат вывода в заключении распределен, а в посылке он не распределен, следовательно, произошло расширение большего термина.

II. Правила посылок

4. Из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого заключения.

Например:

 

Дельфины не рыбы.

Щуки не дельфины.

------------------------------------

?

 

5. Если одна из посылок отрицательная, то и заключение должно быть отрицательным.

 

Все моржи — ластоногие.

Это животное не является ластоногим.

-------------------------------------

Это животное не является моржом.

 

6. Из двух частных посылок нельзя сделать заключение.

Некоторые животные — пресмыкающиеся.

 

Некоторые живые организмы — животные.

-----------------------------------------------

?

 

7. Если одна из посылок частная, то заключение должно быть частным.

 

Все спекулянты подлежат наказанию.

Некоторые люди — спекулянты.

------------------------------------------------

Некоторые люди подлежат наказанию.

 

Наиболее распространенные ошибки при умозаключении по категорическому силлогизму такие:

1. Заключение делается по I фигуре с меньшей отрицательной посылкой. Приведем два примера.

 

Все классные комнаты нуждаются в проветривании.

Эта комната — не классная.

----------------------------------------

Эта комната не нуждается в проветривании.

 

Все студенты сдают экзамены.

Смирнов не является студентом.

----------------------------------------

Смирнов не сдает экзамены.

 

Заключение не следует с необходимостью из посылок, так как вторая посылка должна быть утвердительной.

2. Заключение делается по II фигуре с двумя утвердитель­ными посылками.

 

Все зебры полосатые.

Это животное полосатое.

--------------------------------

Это животное — зебра.

 

Заключение не следует с необходимостью из этих посылок, так как одна из посылок и заключение должны быть отрицатель­ными суждениями.

 

Вопросы на зачет по логике.

1. Виды и правила определения.

Виды и правила деления.

Импликация. Необходимое и достаточное условия.