Кинетическая энергия при вращательном и плоском движениях

Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг закрепленной оси представляет собой алгебраическую сумму кинетических энергий отдельных его точек:

Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела:

(8)

В случае, если центр масс тела движется поступательно со скоростью , а все остальные точки этого тела вращаются вокруг оси, проходящей через центр масс, то можно говорить о плоском движении. Полная кинетическая энергия тела:

(9)

где – момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (точка С), перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 5)

- скорость центра масс.

Пример.

Плоское движение – это движение, при котором все точки твердого тела движутся в параллельных плоскостях. Поэтому достаточно рассмотреть движение какого-либо сечения тела в одной плоскости. Рассмотрим скатывание цилиндра с наклонной плоскости. Будем считать, что скатывание происходит без скольжения (рис. 6).

Рис. 6

Уравнение движения для точки С (центр масс цилиндра):

. (10)

На цилиндр действуют три силы:

- сила тяжести ,

- сила нормальной реакции опоры ,

- сила трения .

Однако, поскольку сила нормальной реакции опоры и сила тяжести приложены к центру масс (точка С), то их моменты относительно оси, проходящей через центр масс, равены нулю, а значит уравнение вращательного движения имеет вид:

(11)

Момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через точку С:

.

Связь углового и линейного ускорений:

.

Момент силы трения:

.

Подставим в уравнение вращательного движения (11) выражения для момента инерции, момента силы трения и заменим угловое ускорение линенйным a.

Получим:

,

Таким образом:

.

Подставляя выражение для силы трения в уравнение (10):

. (11)

Таким образом, центр инерции цилиндра (т. С) движется с постоянным ускорением а, зависящим только от угла наклона плоскости α.

Работа внешних сил при вращательном движении

Для получения формулы для работы внешних сил при вращательном движении рассмотрим вначале случай действия на элементарную массу касательной силы , которая вызывает ее перемещение по дуге .

Рис. 7

Элементарная работа:

или для всего тела:

,

где М – суммарный момент внешних сил.

Если момент силы сонаправлен с угловым перемещением, то работа положительна (A >0). Если момент силы противоположен по направлению вектору углового перемещения, то работа отрицательна (A <0).

Таким образом:

. (12)

Работа внешних сил при вращательном движении затрачивается на изменение кинетической энергии:

, (13)

где – момент инерции тела относительно неподвижной оси вращения, - начальная и конечная угловые скорости тела.