Оптимальное управление. Цель и задачи оптимального управления. Критерии качества. Формулировка задачи оптимального управления.

U(t) – вектор управления

X(t) – вектор задающего воздействия

Предположим, что в момент времени t₀ этот момент соответствует началу управления объектом, т.е. в этот момент поступает управляющее воздействие . Из-за энергетических, конструктивных и других особенностей объекта на его вход не могут подаваться произвольные управления. В силу этого реального управления должны быть внесены некоторые ограничения. C_i=const, i=1,m

Формирование области возможных значений управляющих воздействий. Обозначают эту область Ω(U) и назовём её областью допустимых управлений.

В этом случае управление называется допустимым. Допустимое управление, как правило, является кусочно-непрерывной функцией. Аналогичные компоненты вектора состояния Y(t) в общем случае так же должны удовлетворять определённым ограничениям, т.е. вектор Y(t) в пространстве состояний объекта не должен выходить за пределы некоторой области. Эту область называют областью допустимых состояний.

Пусть в области допустимых состояний Q можно выделить некоторую подобласть Q₁, нахождение значения Y, которой по некоторым причинам является желательным.

Цель управления заключается в том, чтобы перевести объект из состояния Y(t₀) в котором он находился в конечное состояние Y(t_k) принадлежащей к подобному состояния Q₁ (допустимое состояние). Примечание: отметим, что момент времени t=t_k соответствует моменту попадания объекта в желаемое состояние, может быть неизменным. Для достижения цели управления на вход объекта необходимо подать соответствующее управление.

Задача управления заключается в том, чтобы в области допустимого управления (1) подобрать такое управление, при котором будет достигнута цель управления. Другими словами требуется отыскать такое допустимое управление, определённое на интервале (t₀-t_k) при котором управление объектом управления при заданном начальном состоянии и известном векторе возмущения имея решение удовлетворяющих ограничению (2) при всех t из заданного интервала и конечному условию .

Качество управления можно представить следующим образом:

1) В форме совокупности показателей качества (значение перерегулирования, времени регулирования, устойчивости, ошибки при отработке типового воздействия и т.д.)

2) В форме некоторого обобщённого показателя, который определяется всеми процессами в системе , X(t).

При этом при каждом управлении, на котором достигается цель управления качество будет принимать определённое значение. Наиболее часто обобщённый показатель качества представляет собой функционал. Этот функционал можно описать следующим интегральным соотношением:

Здесь G определяет конкретный физический смысл показателя качества. Введение такого показателя позволяет сформулировать задачу оптимального управления следующим образом: в области допустимого управления следует найти такое допустимое управление на котором показатель качества (3), при заданных векторах достигал extr значения, а объект управления переводился из начального состояния , в конечное состояние оставаясь в области допустимых состояний при всех значениях .