В частности, если тренд – линейный, то

.

Параметры a и b могут быть найдены методом наименьших квадратов путем решения системы нормальных уравнений:

.

Решая ее, получаем:

.

Все необходимые расчеты делаем в таблице:

			374,6	374,6
			245,5
			304,6	913,8
			171,1	684,4
			210,8
			321,3	1927,8
			244,7	1712,9
			345,6	2764,8
			495,4	4458,6
			523,2
			385,3	4238,3
			274,2	3290,4
			3896,3	27142,6

 

Получаем:

, .

Итак, уравнение функции тренда имеет вид:

.

Задача 13. Построить индексы сезонности за 2008 год и за 2006 – 2008 г.г. Результаты представить графически.

Помимо долговременных, на формирование значений уровней ряда динамики оказывают влияния сезонные факторы, определяющие периодическое изменение значений признака в определенные моменты времени (сезоны), причем эти изменения для каждого сезона можно считать постоянной величиной.

Самым простым способом учета сезонных факторов является расчет индексов сезонности, которые для одного года равны:

,

при этом - значение уровня ряда динамики в момент времени в данный момент времени (сезон) , а - среднее значение уровней ряда динамики.

С целью избежания влияния случайных факторов, на практике, расчет индексов сезонности производится не за один, а за лет. В этом случае

,

Где

- среднее значение уровней ряда динамики,

Соответствующих определенному сезону,

- среднее значение уровней ряда динамики за лет.

После того как значения индексов сезонности рассчитаны, результаты удобно представить графически в виде ломаной с вершинами в точках с координатами (; ). Также на координатной плоскости удобно изобразить линию . С ее помощью можно увидеть, в каких случаях мы имеем значения ряда динамики ниже среднего уровня, а в каких – выше.

Рассчитываем значения индексов сезонности в таблице (обратить внимание на расчет средних значений, ряд – моментный!):

 

	2006 г.	2007 г.	2008 г.
	401,3	412,5	374,6	1188,4	396,1333	1,1536	1,1648
	286,6	335,1	245,5	867,2	289,0667	0,7560	0,8500
	332,5	348,5	304,6	985,6	328,5333	0,9380	0,9660
	197,8	198,4	171,1	567,3	189,1000	0,5269	0,5560
	209,7	220,8	210,8	641,3	213,7667	0,6492	0,6286
	294,4		321,3	938,7	312,9000	0,9895	0,9201
		281,4	244,7	801,1	267,0333	0,7536	0,7852
	329,7		345,6	1074,3	358,1000	1,0643	1,0530
	476,5	531,8	495,4	1503,7	501,2333	1,5256	1,4738
	503,6		523,2	1577,8	525,9333	1,6112	1,5465
	408,7	428,1	385,3	1222,1	407,3667	1,1866	1,1978
	341,8		274,2		299,6667	0,8444	0,8812
	335,0955	360,4409	324,7182	1020,255	340,0848	-	-

t

Рис. 15

Точки, соответствующие индексам сезонности, рассчитанным по данным 2008 года, соединены пунктирной линией, а трем годам – сплошной.

Задача 14. По данным о реализации продукции в 2008 году (см. задачу 11) построить математическую модель указанного ряда динамики.

С учетом долговременных и сезонных факторов, математическая модель ряда динамики представляет собой композицию функцию тренда и индексов сезонности,

.

Используя результаты примера 12, имеем:

.

Задача 15. Смоделировать ряд динамики, характеризующий объем реализации продукции в 2008 году (см. задачу 11) в виде уравнения Фурье. Число гармоник взять равным 1, 2 и 3.

Аналитическим подходом к учету сезонной и долговременной составляющих в ряде динамики, является моделирование его в виде уравнения Фурье (тригонометрического ряда):

.

При этом m – степень точности гармоники тригонометрического ряда; для различных значений m уравнение Фурье выглядит так (на практике берется не более четырех гармоник):

m = 1:
m = 2:
m = 3:

Величина

.

Коэффициенты уравнения Фурье находятся по формулам:

, , .

Все необходимые вычисления осуществляем в таблицах 14, 15 и 16.

Таблица 14

		m = 1
	374,6				374,6
	245,5		0,866	0,5	212,6092	122,75
	304,6		0,5	0,866	152,3	263,7913
	171,1					171,1
	210,8		-0,5	0,866	-105,4	182,5582
	321,3		-0,866	0,5	-278,254	160,65
	244,7		-1		-244,7
	345,6		-0,866	-0,5	-299,2984	-172,8
	495,4		-0,5	-0,866	-247,7	-429,029
	523,2			-1		-523,2
	385,3		0,5	-0,866	192,65	-333,6796
	274,2		0,866	-0,5	237,4642	-137,1
	3896,3	-	-	-	-5,7289	-694,9591

 

 

Таблица 15

		m = 2
	374,6				374,6
	245,5		0,5	0,866	122,75	212,6092
	304,6		-0,5	0,866	-152,3	263,7913
	171,1		-1		-171,1
	210,8		-0,5	-0,866	-105,4	-182,5582
	321,3		0,5	-0,866	160,65	-278,2540
	244,7				244,7
	345,6		0,5	0,866	172,8	299,2984
	495,4		-0,5	0,866	-247,7	429,029
	523,2		-1		-523,2
	385,3		-0,5	-0,866	-192,65	-333,6796
	274,2		0,5	-0,866	137,1	-237,4642
	3896,3	-	-	-	-179,75	172,7721

Таблица 16

		m = 3
	374,6				374,6
	245,5					245,5
	304,6		-1		-304,6
	171,1			-1		-171,1
	210,8				210,8
	321,3					321,3
	244,7		-1		-244,7
	345,6			-1		-345,6
	495,4				495,4
	523,2					523,2
	385,3		-1		-385,3
	274,2			-1		-274,2
	3896,3	-	-	-	146,2	299,1

 

Получаем:

,

, , ,

, , .

Итак, уравнение Фурье в зависимости от числа гармоник имеет следующий вид:

 

m = 1:
m = 2:	-
m = 3:	-
	+

 

Задача 16. Результаты задач 14 и 15 изобразить графически. По чертежу определить модель ряда динамики, по которой возможно построить наиболее точный прогноз.

Для того чтобы построить график функции тренда, необходимо подставить в ее уравнения значения t = 1,2, …,12. Тем самым, для каждого месяца получаем значения . Строим полученную прямую.

Чтобы получить модель ряда динамики, необходимо каждое полученное ранее значение умножить на соответствующий индекс сезонности . Получаем ломаную с вершинами в точках с координатами (t; ), .

Для построения графика уравнения Фурье, необходимо для каждого значения t по таблицам 14 – 16 найти значения , и , которые затем подставляем в уравнение. Получаем . Соединяем отрезками прямых точки с координатами (t; ). Тем самым получаем искомую ломаную.

Все необходимые вычисления удобно производить в таблице 17. Строим чертеж (рисунок 16).

Из рисунка следует, что наиболее точно описывает эмпирические данные модель Фурье, m = 3. Следовательно, по ней возможен наиболее точный прогноз.

 

 

Таблица 17

		Линейная модель	Уравнение Фурье
			m = 1	m = 2	m = 3
	374,6	254,8205	1,1536	293,9650	323,7368	293,7785	318,1452
	245,5	267,5244	0,7560	202,2592	265,9515	275,9098	325,7598
	304,6	280,2282	0,9380	262,8664	223,9056	263,8222	239,4556
	171,1	292,9321	0,5269	154,3513	208,8652	238,8235	188,9735
	210,8	305,6359	0,6492	198,4122	224,8604	214,9020	239,2687
	321,3	318,3397	0,9895	314,9887	267,6053	227,6886	277,5386
	244,7	331,0436	0,7536	249,4667	325,6465	295,6882	271,3215
	345,6	343,7474	1,0643	365,8530	383,4318	393,3902	343,5402
	495,4	356,4513	1,5256	543,8130	425,4778	465,3944	489,7611
	523,2	369,1551	1,6112	594,7987	440,5182	470,4765	520,3265
	385,3	381,8590	1,1866	453,1014	424,5230	414,5646	390,1980
	274,2	394,5628	0,8444	333,1785	381,7780	341,8614	292,0114

 

f(t)

t

Рис. 16

Задача 17. По полученным моделям ряда динамики произвести прогноз реализации продукции в магазине на январь февраль и март 2009 года.

Для того чтобы осуществить прогноз по модели ряда динамики необходимо:

1. определить для прогнозируемого месяца порядковый номер периода от начала отсчета;
2. подставив значение в функцию тренда, найти ;
3. по таблице индексов сезонности, найти , соответствующий данному месяцу;
4. умножив на , получить искомый прогноз.