Тема 2. «Проверка статистических гипотез» 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Тема 2. «Проверка статистических гипотез»



Задача 8. С вероятностью 0,95 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена по нормальному (Гауссову) закону распределения случайной величины.

Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, с доверительной вероятностью γ проверяется с помощью - критерия согласия Пирсона (критерия хи - квадрат). Приведем алгоритм проверки гипотезы с помощью этого критерия.

Сравниваем полигон частот выборочной совокупности с графиком функции плотности

идеального нормального распределения (рисунок 7). Если они похожи, то переходим к следующему пункту алгоритма. В противном случае утверждаем, что с помощью имеющейся совокупности проверить гипотезу невозможно.

Сравниваем кумулятивную кривую с графиком интегральной функции

идеального нормального распределения (рисунок 8). Выводы аналогичны пункту 1 алгоритма.

 

 
 

 
 

Рис. 7

 

 
 

 
 
 
 


 
 

 
 
 

Рис. 8

По знаку асимметрии и эксцесса устанавливаем вид распределения (см. таблицу 9).

Таблица 9

as es <0 >0
Правостороннее Левостороннее
<0 Туповершинное правостороннее туповершинное левостороннее туповершинное
>0 Островершинное правостороннее островершинное левостороннее островершинное

 

4. По величине асимметрии и эксцесса устанавливаем тип распределения:

а) если as = es =0 – идеальное нормальное распределение;

б) если | as |<0,1,| es |<1 - нормальное распределение;

в) если | as |<0,5, | es |<0,5 – распределение, близкое к нормальному;

г) если | as |<1, | es |<1 – распределение нормального типа.

5. Производим частот теоретических частот каждого из интервалов группировки (α;β), рассчитанных в предположении, что выборочная совокупность распределена по нормальному закону распределения:

,

, ,

где - функция Лапласа, значения которой приведены в таблице 1 Приложения. Заметим, что функция Лапласа – нечетная, то есть .

6. Чтобы убедиться, что теоретические частоты адекватно описывают эмпирические данные, на одном чертеже строим кривую нормального распределения и полигон частот.

7. Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:

.

8. С вероятностью γ выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит выборка. Для этого по таблице 2 Приложения критических значений критерия Пирсона определяем критическое значение

, α = 1- γ, ν = k -3,

k – число интервалов группировки. Выводы производятся на основании следующего утверждения: если

,

То гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, принимается с указанной вероятностью. В противном случае гипотеза отвергается с той же вероятностью.

Сравнивая рисунки 4 и 7, делаем вывод об их похожести.

Сравнивая рисунки 6 и 8, делаем вывод об их похожести.

Согласно задаче 4 (или 5)

, ,

следовательно (см. таблицу 9) рассматриваемое распределение является левосторонним островершинным.

Так как одновременно

, ,

то наше распределение имеет нормальный тип.

Используем результаты решения задач 4 и 5:

n = 100, , .

Тогда, теоретические частоты рассчитываются так:

,

, .

Находим их в расчетной таблице:

 

(α;β)
(18;19) 18,5   -1,63 -0,8969 -2,29 -0,9780 4,055
(19;20) 19,5   -0,97 -0,6679 -1,63 -0,8969 11,450
(20;21) 20,5   -0,30 -0,2358 -0,97 -0,6679 21,605
(21;22) 21,5   0,36 0,2812 -0,30 -0,2358 25,850
(22;23) 22,5   1,02 0,6923 0,36 0,2812 20,555
(23;24) 23,5   1,68 0,9070 1,02 0,6923 10,735
(24;25) 24,5   2,35 0,9812 1,68 0,9070 3,710
(25;26) 25,5   3,01 0,9974 2,35 0,9812 0,810

 

На одном графике (рисунок 9) строим кривую теоретических частот (сплошная линия) и полигон частот (пунктирная линия).

Рис. 9

Сравнение графиков наглядно показывает, что найденные результаты расчетов адекватно описывают эмпирические данные.

Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Расчеты производим в таблице:

 

18,5   4,055 -1,055 1,113025 0,3710
19,5   11,450 -0,450 0,202500 0,0184
20,5   21,605 5,395 29,106025 1,0780
21,5   25,850 2,150 4,622500 0,1651
22,5   20,555 -1,555 2,418025 0,1273
23,5   10,735 -5,735 32,890225 6,5780
24,5   3,710 -0,710 0,504100 0,1680
25,5   0,810 3,190 10,176100 2,5440
- - - - 11,0499

 

Итак,

.

Доверительная вероятность γ = 0,95, отсюда уровень значимости

α = 1-0,95 = 0,05. Число интервалов группировки k = 8, тогда ν = 8 -3 = 5. Отсюда, критическое значение согласно таблице 2 Приложения равно

.

Так как

11,0499<11,1,

то гипотеза о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена нормально, принимается с вероятностью 0,95.

Для заметок

 


 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-12-09; просмотров: 290; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 44.192.129.85 (0.014 с.)