Тема 2. «Проверка статистических гипотез»

Задача 8. С вероятностью 0,95 проверить гипотезу о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена по нормальному (Гауссову) закону распределения случайной величины.

Гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, с доверительной вероятностью γ проверяется с помощью - критерия согласия Пирсона (критерия хи - квадрат). Приведем алгоритм проверки гипотезы с помощью этого критерия.

Сравниваем полигон частот выборочной совокупности с графиком функции плотности

идеального нормального распределения (рисунок 7). Если они похожи, то переходим к следующему пункту алгоритма. В противном случае утверждаем, что с помощью имеющейся совокупности проверить гипотезу невозможно.

Сравниваем кумулятивную кривую с графиком интегральной функции

идеального нормального распределения (рисунок 8). Выводы аналогичны пункту 1 алгоритма.

 

Рис. 7

 

Рис. 8

По знаку асимметрии и эксцесса устанавливаем вид распределения (см. таблицу 9).

Таблица 9

as es	<0	>0
Правостороннее	Левостороннее
<0	Туповершинное	правостороннее туповершинное	левостороннее туповершинное
>0	Островершинное	правостороннее островершинное	левостороннее островершинное

 

4. По величине асимметрии и эксцесса устанавливаем тип распределения:

а) если as = es =0 – идеальное нормальное распределение;

б) если | as |<0,1,| es |<1 - нормальное распределение;

в) если | as |<0,5, | es |<0,5 – распределение, близкое к нормальному;

г) если | as |<1, | es |<1 – распределение нормального типа.

5. Производим частот теоретических частот каждого из интервалов группировки (α;β), рассчитанных в предположении, что выборочная совокупность распределена по нормальному закону распределения:

,

, ,

где - функция Лапласа, значения которой приведены в таблице 1 Приложения. Заметим, что функция Лапласа – нечетная, то есть .

6. Чтобы убедиться, что теоретические частоты адекватно описывают эмпирические данные, на одном чертеже строим кривую нормального распределения и полигон частот.

7. Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле:

.

8. С вероятностью γ выдвигаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит выборка. Для этого по таблице 2 Приложения критических значений критерия Пирсона определяем критическое значение

, α = 1- γ, ν = k -3,

k – число интервалов группировки. Выводы производятся на основании следующего утверждения: если

,

То гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности, которой принадлежит исследуемая выборка, принимается с указанной вероятностью. В противном случае гипотеза отвергается с той же вероятностью.

Сравнивая рисунки 4 и 7, делаем вывод об их похожести.

Сравнивая рисунки 6 и 8, делаем вывод об их похожести.

Согласно задаче 4 (или 5)

, ,

следовательно (см. таблицу 9) рассматриваемое распределение является левосторонним островершинным.

Так как одновременно

, ,

то наше распределение имеет нормальный тип.

Используем результаты решения задач 4 и 5:

n = 100, , .

Тогда, теоретические частоты рассчитываются так:

,

, .

Находим их в расчетной таблице:

 

(α;β)
(18;19)	18,5		-1,63	-0,8969	-2,29	-0,9780	4,055
(19;20)	19,5		-0,97	-0,6679	-1,63	-0,8969	11,450
(20;21)	20,5		-0,30	-0,2358	-0,97	-0,6679	21,605
(21;22)	21,5		0,36	0,2812	-0,30	-0,2358	25,850
(22;23)	22,5		1,02	0,6923	0,36	0,2812	20,555
(23;24)	23,5		1,68	0,9070	1,02	0,6923	10,735
(24;25)	24,5		2,35	0,9812	1,68	0,9070	3,710
(25;26)	25,5		3,01	0,9974	2,35	0,9812	0,810

 

На одном графике (рисунок 9) строим кривую теоретических частот (сплошная линия) и полигон частот (пунктирная линия).

Рис. 9

Сравнение графиков наглядно показывает, что найденные результаты расчетов адекватно описывают эмпирические данные.

Находим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Расчеты производим в таблице:

 

18,5		4,055	-1,055	1,113025	0,3710
19,5		11,450	-0,450	0,202500	0,0184
20,5		21,605	5,395	29,106025	1,0780
21,5		25,850	2,150	4,622500	0,1651
22,5		20,555	-1,555	2,418025	0,1273
23,5		10,735	-5,735	32,890225	6,5780
24,5		3,710	-0,710	0,504100	0,1680
25,5		0,810	3,190	10,176100	2,5440
	-	-	-	-	11,0499

 

Итак,

.

Доверительная вероятность γ = 0,95, отсюда уровень значимости

α = 1-0,95 = 0,05. Число интервалов группировки k = 8, тогда ν = 8 -3 = 5. Отсюда, критическое значение согласно таблице 2 Приложения равно

.

Так как

11,0499<11,1,

то гипотеза о том, что генеральная совокупность, которой принадлежит выборка из задачи 1, распределена нормально, принимается с вероятностью 0,95.

Для заметок