Среднее значение (средняя арифметическая)

;

Среднее линейное отклонение

;

Дисперсия, рассчитанная по определению

;

Дисперсия, рассчитанная по формуле разностей

,

Где

;

Среднее квадратическое отклонение

;

Коэффициент вариации

;

Асимметрия

;

Эксцесс

.

Среднее значение, среднее линейное отклонение и среднее квадратическое отклонение являются именованными величинами. Дисперсия, асимметрия и эксцесс – неименованные величины. Если коэффициент вариации меньше 33%, то выборочная совокупность явялется плотной, однородной и по ней можно делать выводы, осуществлять прогнозы, выдвигать гипотезы.

Расчеты удобно производить в следующей таблице:

 

18,5		55,5	1026,75	-2,96	8,88	26,2848	-77,8030	230,2969
19,5		214,5	4182,75	-1,96	21,56	42,2576	-82,8249	162,3368
20,5		553,5	11346,75	-0,96	25,92	24,8832	-23,8879	22,9324
21,5		602,0	12943,00	0,04	1,12	0,0448	0,0018	0,0001
22,5		427,5	9618,75	1,04	19,76	20,5504	21,3274	22,2273
23,5		117,5	2761,75	2,04	10,20	20,808	42,4483	86,5946
24,5		73,5	1800,75	3,04	9,12	27,7248	84,2834	256,2215
25,5			2601,00	4,04	16,16	65,2864	263,7571	1065,5785
				-	112,72	227,84	227,3472	1846,1880

 

Получаем:

(мм);

(мм);

;

,

;

(мм);

;

;

.

 

Задача 5. Для выборки из задачи 1 методом моментов найти среднее значение дисперсию, асимметрию и эксцесс.

1. Находим шаг варьирования , то есть разность между любыми двумя соседними значениями случайной величины. Предполагается, что выборочной совокупности - постоянная величина.

2. Величина ложного нуля определяется как значение случайной величины, имеющее максимальную частоту.

3. Для каждого значения х определяем условные варианты

.

4. Вычисляем условные моменты:

; ; ; .

5. Искомые значения рассчитываются по формулам:

;

;
;

.

Из группированного статистического ряда (см задачу 1) заключаем, что

= 1.

Так как максимальной частоте ряда 28 соответствует значение случайной величины 21,5 (см. группированный статистический ряд, задача 1), то

=21,5.

Отсюда, условный вариант

.

Нахождение условных моментов удобно производить в таблице:

 

18,5		-3	-9		-81
19,5		-2	-22		-88
20,5		-1	-27		-27
21,5
22,5
23,5
24,5
25,5
		-	-4

 

Тогда, условные варианты соответственно равны:

; ; ; .

Итак, требуемые величины соответственно равны:

;

; ;

.

 

Задача 6. Для выборки из задачи 1 с вероятностью γ = 0,95 определить границы интервала, в котором заключено математическое ожидание а (генеральная средняя или среднее значение генеральной совокупности) и сделать соответствующие выводы. Задачу решить в предположении а) повторного, б) бесповторного отбора из генеральной совокупности объема

N = 1500.

С доверительной вероятностью γ утверждается, что математическое ожидание а принадлежит интервалу:

,

где - выборочная средняя (среднее значение признака, рассчитанное по выборке), δ – предельная ошибка, равная

,

причем t – постоянная величина, значение которой определяется в зависимости от γ, в частности

t = 3, если γ =0,99,

t = 2, если γ =0,95,

t = 1, если γ =0,63,

μ – средняя ошибка выборки, равная

- если отбор случайный – повторный,

- если отбор случайный – бесповторный.

Имеем (см. задачу 4):

, , n = 100, N = 1500, t = 2.

Средняя ошибка выборки равна:

,

,

Если отбор повторный или бесповторный соответственно. Тогда, в зависимости от типа отбора, предельная ошибка выборки равна:

или .

Получаем: нижняя граница доверительного интервала:

;

верхняя граница доверительного интервала:

.

Итак, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что средний диаметр детали, изготавливаемой предприятием находится в пределах от 21,1582 до 21,7618 мм (если выборка организована методом случайного повторного отбора) и от 21,1684 до 21,7516 мм (если выборка случайная, бесповторная).

 

Задача 7. Для выборки из задачи 1 с вероятностью γ = 0,99 определить границы интервала, в котором заключена генеральная доля признака р – диаметр детали, находящийся в пределах от 20 до 23 мм включительно и сделать соответствующие выводы. Задачу решить в предположении бесповторного отбора из генеральной совокупности объема N = 2000.

С доверительной вероятностью γ утверждается, что математическое ожидание р принадлежит интервалу:

,

где - выборочная доля ( m – количество элементов выборочной совокупности, обладающих интересующим нас признаком, n – объем выборочной совокупности), – предельная ошибка доли, равная

,

причем t – постоянная величина, значение которой определяется в зависимости от γ также, как и в задаче 6, – средняя ошибка доли, равная

- если отбор случайный – повторный,

- если отбор случайный – бесповторный.

В выборке интересующий нас диаметр детали (от 20 до 23 мм) принадлежит интервалам (см. задачу 1) (20;21), (21;22) и (22;23), частоты которых соответственно равны 27, 28 и 19. Следовательно, выборочная доля

.

Согласно условию задачи находим предельную ошибку доли:

.

Имеем: нижняя граница доверительного интервала:

;

верхняя граница доверительного интервала:

.

Итак, с вероятностью 0,99 утверждается, что среди 2000 деталей доля деталей диаметра от 20 до 23 мм находится в пределах от 0,6117 до 0,8683 (от 61,17% до 86,83%).

Для заметок