С помощью значений дельта – коэффициента и среднего коэффициента эластичности можно исключить из модели самый незначимый признак. Им признается тот, у которого одновременно

, .

Решаем задачу. Вначале, запишем эмпирические данные (объем выборки n =10) в виде таблицы:

 

	Y

Все необходимые расчеты осуществлены в таблице 12. Под таблицей рассчитаем средние значения, дисперсии (по формуле разностей) и средние квадратические отклонения каждого из признаков.

 

Таблица 12

у

Y: , ,

, .

: , ,

, .

: , ,

, .

: , ,

, .

Теперь найдем средние значения произведений признаков:

;

;

;

;

;

;

.

Вычисляем межфакторные и парные коэффициенты линейной корреляции:

,

;

,

;

,

;

,

;

,

;

,

.

Займемся отбором факторных признаков в модель.

Сначала с вероятностью 0,95 оценим статистическую значимость каждого из имеющихся факторных признаков. Согласно таблице 3 приложения критическое значение критерия Стьюдента для уровня значимости

α = 1 - 0,95 = 0,05 и числа степеней свободы ν =10 – 2 = 8 равно

.

Вычислим наблюдаемые значения:

: ;

: ;

: .

Видим, что только для признака выполняется правило проверки гипотезы. Следовательно, он однозначно включается в модель.

Между признаками и нарушается принцип отсутствия автокорреляции, , связь между ними тесная. Поэтому, один из этих признаков подлежит исключению. Поскольку > , то признак исключается из рассмотрения, а признак - остается.

Множественный коэффициент корреляции равен:

Найденное значение указывает на высокую степень тесноты и линейности корреляционной зависимости.

С вероятностью 0,95 выдвинем гипотезу о статистической значимости эмпирических данных. Поскольку n = 10, k =2, то α =1-0,95 = 0,05 , . Согласно таблице 4

.

Наблюдаемое значение равно:

.

Правило проверки гипотезы выполнено. Поэтому с вероятностью 0,95 гипотеза о статистической значимости эмпирических данных принимается, корреляционная модель может быть построена.

Общий индекс детерминации равен

.

Следовательно, факторные признаки, отобранные в модель, влияют на

результативный в пределах 59,43%. Это не очень сильное влияние. Согласно закону Парето степень влияния должна быть не меньше 80%.

Линейная модель, описывающая корреляционную зависимость, имеет следующий общий вид:

.

Используя таблицу 12, получаем систему нормальных уравнений:

;
.

Решая систему, получаем:

, , .

Итак, искомое уравнение регрессии имеет вид:

.

Найдем параметры уравнения регрессии упрощенным способом:

,

.

Найдем среднюю ошибку аппроксимации. Для этого, подставив значения факторных признаков, соответствующих данному значению y в модель, получаем теоретические значения y*. Вычисления производим в таблице:

у
			6672,0838	0,3347
			7708,8693	0,1126
			7824,4743	0,1337
			8461,0588	0,1620
			6644,8366	0,1793
			12009,5096	0,0804
			6574,3001	0,3472
			6894,8649	0,0626
			8339,5446	0,1715
			8642,1934	0,0962
	-	-	-	1,6801

 

 

Итак, значение средней ошибки аппроксимации равно

,

что говорит о низкой точности модели.

Определим значения дельта – коэффициентов. Имеем:

или 91,54%,

или 8,46%.

Сумма дельта – коэффициентов равна 1, следовательно, есть все основания полагать, что вычисления произведены верно. Итак, признак влияет на признак Y в пределах 91,54%, а степень влияния признака равна 8,46%.

Найдем величины средних коэффициентов эластичности:

или 47,82%,

или 12,23%.

Таким образом, изменение признака на 1% влечет за собой изменение признака Y на 47,82%, а вследствие изменения признака , изменение признака Y составит 12,23%

Перейдем к модели с парной регрессией. Поскольку одновременно минимум дельта – коэффициента и среднего коэффициента эластичности соответствует признаку ,

,

,

то он исключается из модели. Итак, общий вид уравнения парной регрессии следующий:

.

Так как , то согласно выводам задачи 9 связь признается линейной и тесной. Уравнение прямой линии регрессии найдем упрощенным способом (смотри п. 6 задачи 9): ;

;

;

.

 

Для заметок

 

 

Тема 4. «Ряды динамики»

Задача 11. Реализацияпродукции магазином (тыс. руб.) в 2006 – 2008 годах характеризовалось следующими данными (на конец месяца):

 

Месяц	Реализацияпродукции (на конец месяца, тыс. руб.)
Январь	401,3	412,5	374,6
Февраль	286,6	335,1	245,5
Март	332,5	348,5	304,6
Апрель	197,8	198,4	171,1
Май	209,7	220,8	210,8
Июнь	294,4	323,0	321,3
Июль	275,0	281,4	244,7
Август	329,7	399,0	345,6
Сентябрь	476,5	531,8	495,4
Октябрь	503,6	551,0	523,2
Ноябрь	408,7	428,1	385,3
Декабрь	341,8	283,0	274,2

 

По данным 2008 года необходимо:

а) определить тип ряда динамики;

б) произвести анализ уровней ряда динамики цепным и базисным способами (за базисный принять уровень января 2008 года);

в) найти средние значения уровней ряда динамики и его числовых характеристик.

1. Рядом динамики называется способ записи случайной величины (признака, фактора) Y, при котором ее значения (уровни) приведены в зависимости от времени . Если - интервал времени (например, месяц, квартал, год и т. д.), то ряд динамики есть интервальный. Если же значения уровней приведены на определенную дату (например, начало месяца, конец квартала, начало года и т. д.), то ряд динамики есть моментный. Различают также ряды динамики с равноотстоящими и неравноотстоящими по времени уровнями. Ряд динамики принято представлять в виде таблицы:

 

			…
			…

 

2. Сравнение уровней ряда динамики производится двумя способами: цепным и базисным. При первом способе данный уровень сравнивается с предыдущем ему уровнем . Во втором случае выбирается базисный уровень (не обязательно первый) и все остальные уровни сравниваются с ним. Имеют место следующие

основные показатели, характеризующие изменения уровней ряда динамики: абсолютный прирост, коэффициент роста, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста (расчет этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе). Их расчетные формулы приведены в таблице:

Показатель	Обозначение	Расчетная формула
Цепной способ сравнения	Базисный способ сравнения
Абсолютный прирост
Коэффициент роста
Темп роста
Темп прироста
Абсолютное значение одного процента прироста	|%|	или	-

3. В зависимости от типа ряда динамики среднее значение его уровней подсчитывается по формуле:

- если ряд динамики интервальный с равностоящими уровнями;

- если ряд динамики интервальный с неравноотстоящими уровнями,

- временная разность между данным и следующим уровнем, ;

- если ряд динамики моментный с равноотстоящими уровнями;

- если ряд динамики моментный с неравноотстоящими уровнями,

- временная разность между данным и следующим уровнем.

Среднее значение абсолютного прироста равно:

.

Величина среднего значения коэффициента роста равна:

.

Среднее значение темпов роста подсчитывается по формуле:

.

Наконец, среднее значение темпов прироста рассчитывается следующим образом:

.

Переходим к решению задачи. Так как значения уровней приведены на определенную дату (конец месяца), временная разность между уровнями постоянная (1 месяц), то рассматриваемый ряд динамики является моментным с равноотстоящими уровнями.

Найдем числовые характеристики уровня ряда динамики. Результаты расчетов помещены в таблицу 13.

В качестве примера произведем анализ строки таблицы 13, соответствующей октябрю месяцу. В октябре 2008 года магазин реализовал продукции на 523,2 тыс. руб., что на 27,8 тыс. руб. больше по сравнению с сентябрем и на 148,6 тыс. руб. больше по сравнению с январем 2008 года. Следовательно, реализация продукции в октябре увеличилась в 1,0561 раза по сравнению с октябрем и в 1,3967 раза по сравнению с январем. Уровень реализации в октябре составил 105,6116% от сентябрьского и 139,669% от январского уровня реализации. Таким образом, продукции в октябре реализовано на 5,6116% больше по сравнению с сентябрем и на 39,669% больше по сравнению с январем месяцем. Величина абсолютной величины одного процента прироста составила 4,954 тыс. руб.

 

Таблица 13

		, тыс. руб.		, %	, %	|%|, тыс. руб.
С пред. месяцем	С январем 2008 г.	С пред. месяцем	С январем 2008 г.	С пред. месяцем	С январем 2008 г.	С пред. месяцем	С январем 2008 г.
	374,6	-		-		-		-		-
	245,5	-129,1	-129,1	0,6554	0,6554	65,5366	65,5366	-34,4634	-34,4634	3,746
	304,6	59,1	-70	1,2407	0,8131	124,0733	81,3134	24,0733	-18,6866	2,455
	171,1	-133,5	-203,5	0,5617	0,4568	56,1720	45,6754	-43,8280	-54,3246	3,046
	210,8	39,7	-163,8	1,2320	0,5627	123,2028	56,2734	23,2028	-43,7266	1,711
	321,3	110,5	-53,3	1,5242	0,8577	152,4194	85,7715	52,4194	-14,2285	2,108
	244,7	-76,6	-129,9	0,7616	0,6532	76,1594	65,3230	-23,8406	-34,6770	3,213
	345,6	100,9	-29	1,4123	0,9226	141,2342	92,2584	41,2342	-7,7416	2,447
	495,4	149,8	120,8	1,4334	1,3225	143,3449	132,2477	43,3449	32,2477	3,456
	523,2	27,8	148,6	1,0561	1,3967	105,6116	139,6690	5,6116	39,6690	4,954
	385,3	-137,9	10,7	0,7364	1,0286	73,6430	102,8564	-26,3570	2,8564	5,232
	274,2	-111,1	-100,4	0,7117	0,7320	71,1653	73,1981	-28,8347	-26,8019	3,853

 

Найдем среднее значение уровней ряда динамики. Имеем: среднемесячный объем реализации продукции магазином составил в 2008 году

324,7 (тыс. руб.).

Так как

,

то заключаем, что ежемесячное падение объемов реализации продукции в 2008 году составляло в среднем 9,1 тыс. руб.

Среднее значение коэффициента роста равно

.

Это означает, что месячный уровень объема реализации составляет в среднем 0,972 от предыдущего месяца или (согласно формуле среднего значения темпов роста)

.

Итак, в среднем в месяц, объем продаж сокращался на 2,8% по сравнению с предыдущим месяцем, так как

.

Задача 12. По данным задачи 11 (рассмотреть данные 2008 года) построить уравнение линейной функции тренда.

На формирование значение уровней ряда динамики основное влияние оказывают долговременные факторы, формирующие общую, в длительной перспективе тенденцию развития признака. Результат действия этих факторов моделируется в виде функции тренда

.