Дополнительно вводим колонку

.

Строим группированный статистический ряд.

	(α;β)	х
	(18;19)	18,5			0,03	0,03
	(19;20)	19,5			0,11	0,14
	(20;21)	20,5			0,27	0,41
	(21;22)	21,5			0,28	0,69
	(22;23)	22,5			0,19	0,88
	(23;24)	23,5			0,05	0,93
	(24;25)	24,5			0,03	0,96
	(25;26)	25,5			0,04	1,00

 

Задача 2. По данным задачи 1 необходимо:

а) построить полигон частот;

б) построить гистограмму частот;

в) построить кумулятивную кривую;

г) по кумулятивной кривой определить вероятность p (19,7<X<23,55) попадания случайной величины в интервал (19,7;23,55) (то есть долю и процентное отношение числа элементов, находящихся в указанном интервале, к объему выборки).

1. Полигон частот есть ломаная с вершинами в точках с координатами .

2. Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основания которых лежат на интервалах группировки, а площадь прямоугольников равна частоте соответствующего интервала. Исходя из определения заключаем: основание каждого из прямоугольников гистограммы равно b, а высота - .

3. Кумулятивная кривая (или полигон относительных накопленных частот или кумулята) определяется как ломаная с вершинами в точках с координатами .

4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (α;β) находится следующим образом:

,

где и - ординаты точек кумулятивной кривой, абсциссы которых раны β и α соответственно.

Строим полигон частот по колонкам 3 и 4 группированного статистического ряда (рисунок 4).

Рис.4

Строим гистограмму частот по колонкам 3 и 8 группированного статистического ряда из задачи 1 (рисунок 5).

Строим кумулятивную кривую по колонкам 3 и 7 группированного статистического ряда из задачи 1 (рисунок 6).

Используя определение и рисунок 6, получаем:

или 81%.

Итак, интервал (19,7;23,55) содержит около 81% элементов выборочной совокупности.

 

Задача 3. По данным задачи 1 найти а) моду, б) медиану, в) нижние и верхние квартили, децили, перцентили, г) сделать соответствующие выводы.

1. Модой называется значение признака, имеющее максимальную частоту. Интервал с нижней границей , длиной и частотой есть модальный (содержащий моду), если его частота – максимальна. Величина моды для группированного статистического ряда равна:

,

где и - частоты интервала, предшествующего и следующего за модальным соответственно.

Рис.5

2. Медианой группированного статистического ряда называется величина х, делящая вариационный ряд значений признака (то есть расположенных в порядке неубывания) на две равные по числу элементов части. Интервал с нижней границей , длиной и частотой - медианный (содержит медиану), если для него первый раз, начиная от первого интервала, величина разности между полусуммой частот и накопленной частотой становится отрицательным числом. Если - накопленная частота интервала, предшествующего медианному, то медиана равна:

.

3. Квартили, децили и перцентили делят выборочную совокупность на 4, 10 и 100 равных по числу элементов частей. Различают верхние и нижние такие параметры. Их расчет и поиск интервала, их содержащих, аналогичен нахождению медианы:

- нижний параметр;

- верхний параметр, р равно 0,25 (квартиль), 0,1 (дециль), 0,01 (перцентиль).

Рис. 6

Составляем расчетную таблицу. В ней выделяем первые отрицательные разности и по ним смотрим интервалы, содержащие искомые параметры. Также выделяем максимальную частоту, которой соответствует модальный интервал. Напомним, что в рассматриваемой задаче объем выборки равен 100, а длина каждого интервала группировки равна 1.

(α;β)	х			50-
25-	75-	10-	90-	1-	99-
(18;19)	18,5								-2
(19;20)	19,5						-4		-13
(20;21)	20,5				-16		-31		-40
(21;22)	21,5			-19	-44		-59		-68
(22;23)	22,5			-38	-63	-13	-78		-87
(23;24)	23,5			-43	-68	-18	-83	-3	-92
(24;25)	24,			-46	-71	-21	-86	-6	-95
(25;26)	25,5			-50	-75	-25	-90	-10	-99	-1

 

Получаем:

(мм);

(мм);

(мм), (мм);

(мм), (мм);

(мм), (мм).

Делаем выводы.

1. Наиболее часто встречающийся диаметр детали в выборочной совокупности составляет 21,1 мм.

2. В интервале (18;21,32) находится 50% деталей с минимальной величиной диаметра, а в интервале (23,32;26) – 50% деталей с максимальной величиной диаметра.

3. В интервалах (18;20,41), (18;19,64), (18;18,33) находятся соответственно 25%, 10% и 1% деталей с минимальным значением признака, а такая же доля деталей с максимальным значением признака принадлежит интервалам (22,32;26), (23,4;26), (25,75;26).

 

Задача 4. Для выборки из задачи 1 найти среднее значение и показатели вариации (среднее линейное отклонение, дисперсию, расчет которой произвести двумя способами, то есть по определению и по формуле разностей, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации, асимметрию и эксцесс).

Согласно соответствующим определениям, имеем: