Перемножение двузначных чисел в уме

На первый взгляд кажется, что какое бы то ни было перемножение — это чистая математика, но на самом деле это один из наиболее мощных способов комплексной тренировки мозга и применения на практике сложного искусства забывать. Это правда: осваивая быстрое перемножение двузначных чисел в уме при помощи моего остроумного алгоритма, вы волей- неволей должны будете забывать на пути к ответу определенную часть информации. Это упражнение, помимо всего прочего, демонстрирует еще один аспект забывания, о котором мы еще не говорили: иногда нам нужно быстро проработать какую-то информацию, а затем выбросить ее из головы, чтобы освободить пространство для новой информации. Перемножение двузначных чисел в уме чудесно иллюстрирует этот навык, и вы скоро сами это поймете, когда пройдете все шаги. Это умение применимо в самых разных ситуациях, не только в математике, потому что нам каждый день нужно стирать в мозгу устаревшие ненужные «файлы», чтобы записать на их место новые.

Изобретение этого метода когда-то стало поворотным пунктом в моей жизни. Я учился тогда в шестом классе, а в восьмом классе математику вел Арни Бенсон, славившийся необычайно быстрым умом и невероятной способностью работать с числами. Это был первый встреченный мной в жизни человек, который по-настоящему хорошо умел работать с числами (не считая, конечно, моего отца и его братьев). Я смотрел на Арни снизу вверх и мечтал когда-нибудь сравняться с ним и, может быть, даже превзойти его. Когда по школе прошел слух о том, что я мог бы потягаться с ним в умножении однозначного числа на двузначное, он вызвал меня на состязание. И я победил. После этого Арни сказал мне: «Майк, в следующий раз проделаем то же самое с двузначными числами». Он и не подозревал, что у меня нет коротких алгоритмов для умножения двузначного числа на двузначное. Умножать однозначные числа на двузначные я был готов хоть с утра до вечера, но перемножать двузначные? Я понятия не имел, как буду выходить из сложившейся ситуации. И тогда я сел и поклялся себе придумать такой алгоритм, который позволил бы мне вновь победить учителя.

Мне повезло, и вторая встреча между нами не состоялась. Но я все-таки придумал формулу для устных вычислений такого рода, и эта формула подтолкнула меня к придумыванию новых формул и алгоритмов. Как только до меня дошло, что задачи, как правило, можно решать не одним, а несколькими способами, я понял, что этот принцип приложим в жизни практически к любой задаче. Мне уже не нужно было полагаться целиком и полностью на правила и алгоритмы, которые приводились в учебнике или предлагались кем-то другим. Я мог как угодно прокладывать курс в море чисел, слов и других закономерностей, мог выбирать необычный путь, но достигать того же самого верного ответа.

Арни сейчас живет в Далласе (штат Техас) и умен по-прежнему. Мы до сих пор поддерживаем с ним отношения, ведь его влияние на меня и время, проведенное на его уроках, стали определяющими моментами моей жизни; именно тогда передо мной будто распахнулась дверь и я стал с неослабным интересом придумывать алгоритмы вычислений, чтобы быть впереди всех. Присутствие Арни давало мне дополнительный стимул; мне очень не хотелось опять столкнуться с кем-то, кто вызовет меня на поединок, который я не смогу выиграть! До сего дня одна мысль о том, что мне предстоит испытание или дуэль с сильнейшим противником, заставляет меня без конца выдумывать новые уловки и обходные пути.

Я призываю вас попробовать это упражнение, даже если вы всей душой ненавидите числа и математику. Обещаю, что, как только вы уловите суть этого приема, вам захочется проделывать его снова и снова и демонстрировать свое тайное умение приятелям.

Для начала позвольте показать вам пошагово, как выполняются эти вычисления; затем я дам вам несколько примеров для самостоятельной работы. Если вам удобнее в первые один- два раза пользоваться бумагой и карандашом, не стесняйтесь. Но я хочу, чтобы в какой-то момент вы отказались от любых вспомогательных устройств и далее полагались в вычислениях исключительно на свои мыслительные способности; ваш мозг должен привыкнуть к этим фокусам, научиться подхватывать нужную информацию и отбрасывать ненужную. Этот метод работает как волшебное заклинание всякий раз, когда вам нужно перемножить между собой два двузначных числа; кстати говоря, этот алгоритм — одно из моих собственных изобретений. Поначалу он может показаться длинным и нудным, особенно если попытаться впервые проделать все необходимые действия в голове, но когда шаги уложатся в памяти и вы немного попрактикуетесь, все станет происходить автоматически.

Итак, вот первый пример:

Напоминание. В этом упражнении, объясняя шаги, я буду использовать такие понятия, как «число в разряде десятков» и «число в разряде единиц», или просто «число десятков» и «число единиц». Это помогает мне точно указывать, какое число в данном случае имеется в виду. В предыдущих главах вы уже сталкивались с этими понятиями и должны свободно в них ориентироваться, но на всякий случай вот шпаргалка:

 

В числе 23 «3» — число единиц в этом числе, а «2» — число десятков.

Шаг 1. Перемножьте между собой число десятков в первом и втором числах: 3x5 = 15. Запомните это число.

Шаг 2. Второй и третий шаги — самые трудные. Сначала перемножьте цифры двух чисел крест-накрест: 5x2 = = 10 и 3 х 1 = 3; затем сложите результаты: 10 + 3 = = 13. Запомните это число.

Шаг 3. Теперь прибавьте число десятков во втором числе к первому числу, хранящемуся в вашей памяти (15 + + 1 = 16), и припишите справа к результату число единиц во втором числе: 163. Получилось новое число, которое вам следует запомнить. Выкиньте все остальные числа из головы, сохранив только 163.

Шаг 4. Наконец, перемножьте число единиц в первоначальных числах: 1 х 2 = 2 и припишите результат справа к числу, хранящемуся в вашей памяти (163).

То, что получилось, и есть искомый ответ: 1632.

Запутались? Чувствуете себя обманутым? Давайте проделаем это упражнение еще раз с новыми числами. Еще раз, если вам

нужны карандаш и бумага, чтобы записать каждый шаг и получить мысленный образ процесса в целом, не стесняйтесь. Итак, давайте попробуем:

 

Шаг 1. Перемножьте десятки: 6x4 = 24. Запомните число 24.

Шаг 2. Перемножьте цифры по диагонали: 6x5 = 30; 2 х х 4 = 8 и сложите результаты: 30 + 8 = 38. Запомните число 38.

Шаг 3. Вспомните, что с первого шага у вас в памяти хранится число 24; теперь следует модифицировать его при помощи нового числа 38. Возьмите 3 и прибавьте к 24, получите 27. Возьмите 8 и припишите справа к 27, получается 278. Запомните это число и выбросьте из головы все остальные. Повторите несколько раз вслух: два-семь-восемь, два-семь-восемь. Теперь это число хранится у вас в голове и никуда не денется.

Шаг 4. Вернитесь к первоначальному выражению 62 х 45 и перемножьте единицы обоих чисел: 2 х 5 = 10. Ого, в прошлый раз при этой операции наш результат не был двузначным. Что же делать? Мы не можем просто приписать 10 справа к 278. Нужно сделать еще один крохотный шажок, аналогичный тому, что проделывали раньше. Мы добавляем первую цифру числа 10 (в данном случае 1) к 278, получаем 279. Вот теперь мы можем приписать справа вторую цифру этого числа — 0.

Ответ получен: 2790.

Все понятно? Или голова идет кругом? Не стоит впадать в панику, если вы до сих пор еще не все поняли. Это нормально; требуется некоторое время, чтобы алгоритм улегся в голове, а тем более —

запомнился. Если вы еще не разобрались и не чувствуете полной уверенности в себе, вернитесь к началу раздела и еще раз просмотрите пошагово оба примера, включив на полную мощность внимание и концентрацию. Позаботьтесь о том, чтобы ничто вас не отвлекало и не мешало восприятию этого систематического процесса. Когда будете готовы, придет время попробовать проделать те же вычисления самостоятельно и в уме.

Ниже следуют еще два выражения. Попробуйте проделать все необходимые операции без карандаша и бумаги (и без калькулятора!). Осваивая методику, не спешите и не тревожьтесь, если первые несколько раз вычисления дадутся вам с трудом. Ответы к этим примерам вы, как обычно, найдете в конце главы.

Совет. Работая над примерами, сосредоточьтесь на забывании. Внимательно следите за тем, какие числа надо удерживать в памяти, и когда доберетесь до места, где необходимо мысленно отбросить какое-то число и запомнить новое, постарайтесь очень осознанно и внимательно отследить процесс замены. Точка, где нужно «отбросить и подобрать», — самое опасное место. Если внимание ослабеет, вы можете потерять логическую нить, совершить фатальную ошибку — и получить неверный ответ. В чем-то выполнение этого алгоритма напоминает работу на сборочном конвейере, где из цифр собирается ответ. Каждое поступающее число необходимо быстро обработать и отправить по конвейеру дальше, чтобы взяться за следующее. Если на какое-то число вы потратите слишком много времени, все движение на линии может застопориться. Не допустите этого, фокусируйтесь на текущей задаче. Цикл «найти и забыть» должен повторяться в вашей голове до получения окончательного ответа.

Самопроверка 1

 

Самопроверка 2

 

Теперь обратимся к следующему упражнению, которое поможет вам проработать еще один аспект искусства забывать; речь идет об оценке информации и немедленном отбрасывании избыточной или устаревшей. Этот урок тоже будет связан с числами, но тренировка мозга при помощи подобных упражнений научит вас «забывать» автоматически и в других ситуациях, включая различные повседневные задачи. Вы научитесь мгновенно схватывать основные идеи длинной статьи, презентаций или важных переговоров. Данное конкретное упражнение станет испытанием для вашего умения слушать, так что будьте внимательны!

Секретное число

Для этой игры необходимо по меньшей мере два человека, а лучше всего играть в нее группой из трех и более человек. Суть в следующем: один человек выбирает любое число от 100 до 1000. Другие игроки должны догадаться, что это за число, а тот, кто загадал число, в ответ на их предположения говорит «больше» или «меньше». Выигрывает тот, кому для угадывания числа потребуется наименьшее число попыток.

Как эта игра помогает отточить навыки забывания, спросите вы. Каждый раз, высказывая новые предположения и сужая диапазон возможных значений, игрок должен держать в голове текущий диапазон и отбрасывать все предыдущие числа, лежащие вне его. Так, к примеру, если вы задумали 437, а кто-то говорит 500, вы отвечаете «меньше»; если следующее предположение будет 300, вы должны будете ответить «больше». Теперь

диапазон возможных значений — от 300 до 500, и дальнейшие догадки будут еще больше его сужать. Ход игры вынуждает игроков постоянно держать в уме определенный набор чисел и забывать остальные. Если вы попытаетесь держать в голове все числа без исключения, вы быстро потеряете фокус и не сможете следить за ходом событий. Отбрасывание и забывание ненужных чисел — ключевой фактор успеха в этой динамичной игре. Дополнительный бонус игры — тренировка у всех участников умения слушать. Выигрывает в ней часто не тот, кто лучше всех и быстрее всех думает, а тот, кто способен полностью сосредоточиться на «активных» числах и сконцентрировать внимание на указаниях, которые дает загадавший число («больше» или «меньше»), — тот, кто сумеет удержаться в русле постоянно меняющихся чисел. Все это требует умения не только забывать, но и внимательно слушать.

Вы можете добавить в игру дополнительные правила, которые сделают ее более сложной и интересной. Можно, к примеру, исключать из игры или наказывать тех, кто после слов «больше» или «меньше» идет не в ту сторону. Если вы играете вдвоем, ваша цель — добраться до задуманного числа как можно быстрее с меньшим числом попыток (быстрее, чем сделает это в свою очередь ваш противник).

Начав регулярно играть в эту игру, вы почувствуете, что ваш мозг начинает работать все интенсивнее и интенсивнее. С этой игрой можно превосходно скоротать время в машине или в любом другом месте. Быстрое движение постоянно меняющейся информации, часть которой вам необходимо запомнить, а часть — забыть, прекрасно тренирует мозг. Подобно тому как во время интенсивной тренировки у вас «горят» мышцы, вы и здесь будете ощущать «горение» в виде учащенного дыхания, мелькающих в голове цифр и высокого уровня возбуждения.

ААВИРССТТЬ ОП ААВИЛТУФ

Вы поняли? Давайте слегка изменим курс и рассмотрим еще одно упражнение; оно тоже полезно для развития искусства забывания, но основано на работе с буквами и словами, а не с цифрами. Буквы в заголовке раздела — это буквы слов «расставить по алфавиту», упорядоченные по алфавиту. Как вы уже знаете из главы 2, это одно из моих любимых развлечений, и я готов заниматься этим весь день напролет — за рулем, во время разбора электронной почты или даже просто на улице, когда слышу разговоры людей. (Признаюсь, мне нравится подсчитывать буквы во фразах, которые произносят люди, но это уже другая игра, о которой мы поговорим позже.)

Однако в той главе я не упоминал о том, что это упражнение (расстановка букв в алфавитном порядке) очень полезно для тренировки навыков забывания. Почему? Здесь, как и в предыдущих заданиях, вы работаете с постоянно меняющейся информацией и сосредоточиваетесь на значимых данных, чтобы прийти к правильному решению; кроме того, в процессе работы нужно рационально распределять мысленное пространство. Расставляя буквы слова по алфавиту (без ручки и бумаги!), ваше сознание должно постоянно «забывать», какие буквы уже поставлены на свои места, а какие еще только предстоит обработать. Возьмем, к примеру, слово РАССТАВИТЬ. Начать здесь несложно, поскольку уже на втором месте в слове стоит первая буква алфавита; ее достаточно вытащить на первую позицию. Но в этом слове две буквы А, и вторую А мы тоже должны перетащить в начало и поставить рядом с первой. После этого ваше сознание должно «забыть» о буквах А и двигаться дальше в поисках следующих по алфавиту букв. Помимо двух А, в этом слове есть В, затем И, Р, две Т, две С и Ь. Заметим, что присутствие в конце слова Ь — одной из последних букв алфавита — тоже слегка облегчает задачу алфавитизации. Вообще, при взгляде на слово РАССТАВИТЬ как на единое целое глаза, контактируя

с мозгом, мгновенно определяют, что в начале слова присутствует А, а в конце — Ь, что соответствует алфавитному порядку букв. Но средние буквы алфавита расставлять по местам намного труднее, не правда ли? В частности, речь идет о буквах Р, С и Т. Может быть, вы даже не заметили, что при перечислении букв я ошибся, поставив Т перед С?

Оказывается, некоторые части алфавита в нашей голове как бы сливаются и расставлять эти буквы в правильном порядке намного труднее, чем другие. Как правило, нам непросто с налету сообразить, М стоит в алфавите раньше Н или наоборот, после Л стоит М или К. Довольно забавно сознавать, что определение точного порядка букв в алфавите может представлять проблему — ведь букв всего 33, и мы умеем складывать из них сложные слова и предложения, лирические стихи и убедительные рассказы. Есть такая маленькая слабость у сложного человеческого мозга.

Существует три особенности, из-за которых некоторые слова легче других поддаются алфавитизации.

1. Большинству людей проще расставить по порядку буквы двух коротких слов, чем одного длинного, даже если в том и в другом случае задействовано равное число букв. Так, буквы в двух словах ИНДУСТРИЯ и ПОЗИЦИЯ расставить по алфавиту проще, чем в одном — ИНДУСТРИАЛИЗАЦИЯ, хотя число букв одинаково. Дело явно в том, что при работе с длинным словом приходится одновременно удерживать в сознании больше букв.

2. Слова, в которых одни и те же буквы повторяются два, а то и три раза, алфавитизировать проще, чем те, где каждая буква встречается только раз. Так что в слове ПАРАШЮТНЫЙ расставить по порядку буквы проще, чем в слове МУРАВЕЙНИК.

3. Слова, в которых не содержатся буквы, стоящие в алфавите подряд (три или больше), алфавитизировать обычно проще. Исключение составляют слова, где такие три или более букв находятся в самом начале алфавита (АБВ, БВГ, АБВГ). Так что слово СПОРТСМЕН вызывает у большинства людей затруднения, поскольку содержит целых семь соседствующих в алфавите букв от М до Т. Его алфавитизация дает ЕМНОПРССТ. С другой стороны, слово БАРВИНОК содержит А, Б и В, и никто с ним не путается: АБВИКНОР.

Существует ли какой-нибудь фокус или алгоритм, позволяющий автоматически расставлять буквы слова по алфавиту? К сожалению, такого алгоритма нет. Вам придется самому подбирать для себя способ, который лучше всего подходит именно вам. Если нужно, можете использовать руки. Многим помогает подсчет букв на пальцах: А — левый мизинец, и так далее, слева направо, с переходом на правую руку. Каждый палец может представлять одну букву, а можно назначить на один палец и целую группу букв. Так, ваш левый мизинец может обозначать буквы от А до Е и т. д.

Еще одна стратегия — сначала оценить количество букв в слове, которое вы собираетесь алфавитизировать. Пусть таким словом будет ВАШИНГТОН. Всего в нем 9 букв, так что пальцев на руках хватит. Продвигаясь по алфавиту и отбрасывая буквы, уже вставшие на свои места, вы можете по пальцам следить, как продвигается дело и не пропустили ли вы что-нибудь.

Еще одна методика, похоже, прекрасно подходит представителям более молодого поколения, привыкшим набирать на клавиатуре телефона буквы, отражающие определенные цифры. Так, буквы А, Б, В, Г соответствуют на клавиатуре телефона цифре 2. Чем меньше цифры, тем ближе к началу алфавита они находятся, и наоборот — чем больше, тем ближе к концу. Людям постарше, у которых нет привычки манипулировать кнопками на мобильнике, я бы не советовал пробовать этот метод. Для него нужен некоторый «встроенный» опыт, и лучше его оставить тем, чьи пальцы более проворны.

Скажу еще об одной тонкости: не нужно думать о слове, с буквами которого вы мысленно работаете. Если это слово —

АВТОМОБИЛЬ, то не нужно проговаривать А-В-Т-О-М-О-Б-И-Л-Ь по буквам всякий раз, когда ваше сознание возвращается к слову и вылавливает оттуда оставшиеся буквы. Смотрите на слово как на набор букв, стоящих в определенном порядке. А вам нужно расставить в нужном порядке.

Готовы попробовать? Вот список из десяти восьмибуквенных слов разной сложности с точки зрения их расстановки по алфавиту. Проверьте, за какое время вы сможете разобраться с каждым из этих слов. Проделывайте эту операцию как можно чаще в обычной жизни. Встретив в пути дорожный знак или, предположим, ресторанное меню, постарайтесь расставить буквы по порядку как можно быстрее, пока слово не исчезло из поля вашего зрения. Стоя в очереди в кассу супермаркета, выхватывайте взглядом названия продуктов и упорядочивайте их, пока не подошла ваша очередь.

Самопроверка 3

1. ПАРАПЛАН

2. ДОКУМЕНТ

3. ПРИСТАНЬ

4. ЛЕСТНИЦА

5. ПОДСОБКА

6. СТАРОВЕР

7. ПЕРИСКОП

8. СТРАНИЦА

9. ЩЕЛКОПЕР

10. АРГУМЕНТ

Вот несколько дополнительных заданий, превосходящих по сложности предыдущие: ^[8]

• Расставьте по алфавиту буквы в названиях первых шести месяцев года, написанные подряд:

ЯНВАРЬФЕВРАЛЬМАРТАПРЕЛЬМАЙИЮНЬ

• Расставьте по алфавиту буквы в названиях великих сибирских рек:

ОБЬИРТЫШЕНИСЕЙАНГАРАЛЕНАИНДИГИРКАКОЛЫМА

• Возьмите целый газетный заголовок, слейте слова и попробуйте алфавитизировать то, что получилось! Или попробуйте расставить буквы слова в обратном порядке, от Я до А.

Если вы еще не поняли сами, скажу еще раз: эти упражнения заставляют вас стараться организовать свое мышление эффективно. Выполняя их, вы постоянно переходите от одних данных к другим, работаете с информацией, которая еще не обработана и ждет своей очереди. Именно поэтому такая умственная гимнастика — прекрасная тренировка для того, кто хочет научиться делать заметки и усваивать информацию. Но что может быть общего между перемножением двузначных чисел и расстановкой букв по алфавиту и искусством конспектировать и учиться? Ответ: все!