Защита контрольной работы и сдача зачета

Контрольная работа сдается для проверки на кафедру “Прикладная математика” и после допуска к защите - защищается в процессе собеседования студента с преподавателем, проверяющим работу. При этом студенту задаются любые вопросы по содержанию контрольной работы.

После защиты контрольной работы студент допускается к сдаче зачета. Вопросы к зачету соответствуют контрольным вопросам данных методических указаний. Зачет принимает лектор данной дисциплины.

При подготовке к защите контрольной работы и зачету следует использовать рекомендуемую литературу и данные методические указания.

Методические указания к решению задач

Задача 1. Требуется построить для данных своего варианта (см. задания к работе 1 данных методических указаний) уравнение интерполяционного многочлена Лагранжа (по первым трем узловым точкам) и определить его значение в любой промежуточной точке. Кроме того, получить аппроксимирующую функцию с помощью метода наименьших квадратов и методом построения линии тренда. Содержание, последовательность решения, краткие сведения из теории и компьютерной технологии приведены в работе 1.

Задачи 2-6. Требуетсярешить систему линейных алгебраических уравнений своего варианта (см. задания к работе 2 данных методических указаний). Содержание, последовательность решения, краткие сведения из теории и компьютерной технологии приведены в работе 2.

 

Задачи 7-9. Требуетсярешить обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка своего варианта (см. задания к работе 3 данных методических указаний) заданным методом. Содержание, последовательность решения, краткие сведения из теории и компьютерной технологии приведены в работе 3.

Задача 10. Требуется определить оптимальный производственный план предприятия для данных своего варианта (см. задания к работе 4 данных методических указаний) графическим методом и с помощью надстройки «Поиск решения». Содержание, последовательность решения задачи, краткие сведения из теории, компьютерной технологии приведены в работе 4.

Задача 11. Требуется определить оптимальный план перевозок для своего варианта (см. задания к работе 5 данных методических указаний) методом потенциалов и с помощью надстройки «Поиск решения». Содержание, последовательность решения, краткие сведения из теории приведены в работе 5.

 

Работа 1. ИНТЕРПОЛЯЦИЯ И АППРОКСИМАЦИЯ

ТАБЛИЧНО ЗАДАННЫХ ФУНКЦИЙ

Цель работы:

¨ Ознакомиться с различными способами приближения функций (интерполяция, сплайн-интерполяция, аппроксимация).

¨ Практическиосвоить метод наименьших квадратов (МНК) и технологию работы с надстройкой «Поиск решения».

¨ Изучить технологию построения линий тренда.

Содержание и порядок выполнения работы

1. Изучить постановку задачи интерполяции таблично заданных функций и ее решение с помощью многочлена Лагранжа.

2. Изучить постановку задачи аппроксимации таблично заданных функций и ее решение с помощью метода наименьших квадратов.

3. Из заданий к данной работе записать таблицу исходных данных своего варианта.

4. Подготовить размещение информации на рабочем листе электронных таблиц (ЭТ) для определения коэффициентов интерполяционного многочлена Лагранжа по первым трем узловым точкам заданной таблицы.

5. В среде ЭТ ввести исходные данные, расчетные формулы, получить значения коэффициентов многочлена Лагранжа и определить значение функции для произвольного значения внутри отрезка интерполяции.

6. Записать интерполяционный многочлен Лагранжа с конкретными значениями коэффициентов и полученное значение функции .

7. Подготовить размещение информации на рабочем листе электронных таблиц (ЭТ) для определения коэффициентов аппроксимирующей функции с помощью метода наименьших квадратов.

8. В среде ЭТ реализовать МНК с помощью надстройки «Поиск решения» и вычислить среднеквадратическую погрешность аппроксимации.

9. Записать аппроксимирующую функцию с полученными параметрами.

10. С помощью мастера диаграмм построить точечную диаграмму функции и линию тренда.

11. Записать аппроксимирующую функцию, полученную путем построения линии тренда.

12. Выполнить анализ результатов расчета на основе сравнения выражений аппроксимирующих функций, полученных в пунктах 9 и 11.

13. Оформить и защитить отчет.

 

Краткие сведения из теории

 

Большинство численных методов основано на замене сложных объектов, уравнений и функций более простыми. Наиболее удобной функцией является алгебраический многочлен. Для его задания требуется конечное число коэффициентов, его легко дифференцировать, интегрировать и просто вычислять значения многочлена. Поэтому алгебраические многочлены широко применяются для приближения функций.

Пусть известны значения некоторой функции в различных точках которые обозначим в виде:

Эти значения могут быть получены из эксперимента или найдены путем достаточно сложных вычислений.

Возникает задача приближенного восстановления функции в произвольной точке Часто для решения этой задачи строится алгебраический многочлен степени который в точках принимает заданные значения, т.е.

и называется интерполяционным. Точки называются узлами интерполяции. Следовательно, задача интерполяции ставится в следующей форме: найти алгебраический многочлен степени не выше значения которого в точках совпадают со значениями данной функции, т.е.

(1)

Геометрически это означает, что нужно подобрать алгебраический многочлен график которого проходит через заданную систему точек (рис.1).

Приближенное восстановление функции по формуле называется интерполяцией функции с помощью алгебраического многочлена. Если точка находится внутри отрезка то операция замены функции называется интерполированием в узком смысле. Экстраполированием функции называют операцию в случае, если точка находится вне отрезка

Рис.1. Геометрический смысл интерполяции

 

Приведем способ конструирования и вид многочлена Лагранжа для случая трех узлов интерполяции. Многочлен Лагранжа имеет степень не выше двух и вид:

.

Легко видеть, что при Сомножителем перед является дробь, в числителе которой находится многочлен из произведения разностей В знаменателе находится многочлен числителя, рассчитанный в точке Дроби эти называются коэффициентами Лагранжа и обозначаются

Пример 1. Найти многочлен Лагранжа, принимающий в данных точках заданные значения (таблица 1).

 

Таблица 1. Узловые точки

 

	1,14	1,36	1,45
	5,65	4,15	3,14

Решение. Так как имеем три узла интерполяции, то общий вид многочлена Лагранжа соответствует записи . Более общий вид записи многочлена Лагранжа:

(2)

где

Расчет коэффициентов выполним в среде ЭТ. Размещение информации представлено в таблице 2, расчетные формулы приведены в таблице 3.

 

Таблица 2. Размещение информации на рабочем листе ЭТ

 

 

Таблица 3. Расчетные формулы

 

Адрес ячейки	Формула	Адрес ячейки	Формула
A9	=-a4	B9	=a4-a5
A11	=a5-a4	B11	=-a5
A13	=a6-a4	B13	=a6-a5
C9	=a4-a6	F10	=a5+a6
C11	=a5-a6	F11	=a4+a6
C13	=-a6	F12	=a4+a5
H10	=a5*a6	C15	=b9*c9
H11	=a4*a6	C16	=a11*c11
H12	=a4*a5	C17	=a13*b13
F15	=b4/c15	F16	=b5/c16
F17	=b6/c17	H15	=СУММ(f15:f17)
H16	=-СУММПРОИЗВ(f10:f12;f15:f17)
H17	=СУММПРОИЗВ(h10:h12;f15:f17)
C4	=$h$17+$h$16*a4+$h$15*a4^2 копировать в ячейки C5, C6.

 

В результате расчетов получили алгебраический многочлен Лагранжа значения которого совпадают со значениями заданной функции в узловых точках.

Пример 2. Используя полученную в примере 1 формулу, найти значение функции для

Решение. В соответствии с методом интерполяции восстанавливаемая функция В таблице 2 выполнен расчет следовательно,

В ячейку F4 записана формула =$h$17+$h$16*e4+$h$15*e4^2.

С ростом числа узлов интерполяции и соответственно степени интерполяционного многочлена увеличивается погрешность, поэтому используют способ приближения функций с помощью сплайнов (гладких функций, составленных из конечного числа алгебраических многочленов).

Сплайном называется функция, которая вместе с несколькими производными непрерывна на всем заданном отрезке а на каждом элементарном отрезке в отдельности является некоторым алгебраическим многочленом. На рис.2 изображен график линейной сплайн-интерполяции. Сплайн задается в виде:

(3)

Таким образом, при сплайн-интерполяции определяется алгебраический многочлен для каждого элементарного отрезка в отличие от интерполяции, когда задается алгебраический многочлен для всего отрезка

Рис.2. Линейная сплайн-интерполяция

 

На практике наиболее распространены сплайны третьей степени, т.е. кубическая сплайн-интерполяция. Кубический сплайн имеет непрерывную кривизну, что исключает разрыв первой производной в узлах интерполяции. Точность приближения функции кубическим сплайном управляется выбором длины элементарных отрезков.

Основной недостаток интерполяционных многочленов – наличие большого числа экстремумов и точек перегибов.

Если представить таблично заданные значения функции как сумму теоретического значения и погрешности, то, приняв определенную меру погрешности, можно подобрать теоретическую кривую , близко расположенную к заданному множеству табличных точек.

В математике замена истинной зависимости некоторой приближенной , при которой отклонение от на рассматриваемом отрезке было бы возможно малым, называется аппроксимацией. Функция называется аппроксимирующей функцией. В качестве аппроксимирующей функции на практике обычно используется алгебраический многочлен второго порядка:

(4)

Возникает задача определения коэффициентов этого многочлена наилучшим образом, т.е. установления таких значений параметров , при которых кривая, построенная по формуле (4), имела бы минимальные отклонения от всех таблично заданных точек. Для этой цели используют метод наименьших квадратов. Суть метода заключается в следующем:

¨ на плоскости графически изображаются таблично заданные точки и аппроксимирующая функция;

¨ записывается разность между значениями аппроксимирующей функции и таблично заданной функции для каждого таблично заданного (рис.3): называемая отклонением аппроксимирующей функции от соответствующего табличного значения;

Рис.3. Геометрический смысл аппроксимации

 

¨ в методе наименьших квадратов минимизируют сумму квадратов отклонений по всем таблично заданным , т.е. где - количество таблично заданных точек;

¨ так как известны (заданы таблицей), то сумма квадратов отклонений есть функция параметров . Эта функция положительна и имеет минимум. Обозначим ее через Тогда математическая запись метода наименьших квадратов имеет вид: (5)

¨ имеем функцию многих переменных. Необходимое условие минимума такой функции заключается в равенстве нулю всех ее первых частных производных, т.е.

¨ точность аппроксимации определяется среднеквадратичной погрешностью (6)

Примечание. Условие минимума суммы самих отклонений, а не их квадратов, не решает проблемы, так как сумма отклонений может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.

Таким образом, в задаче аппроксимации требуется определить такие значения и , при которых функция достигает минимума. Это обычная задача определения экстремума функции трех переменных без ограничений и может быть решена средствами надстройки Excel «Поиск решения».

В терминах программы «Поиск решения» функция является функцией цели, а ее адрес в Excel - целевая ячейка. Адреса параметров и - изменяемые ячейки. Ограничений нет. Задача состоит в установлении в целевой ячейке минимального значения функции . В результате решения задачи в ячейках, отведенных под и , запишутся их значения, при которых функция достигает минимума, а в целевой ячейке - минимальное значение функции .

Пример 3. Найти аппроксимирующую функцию по таблично заданным значениям :

	83,7	72,9	63,2	54,7	47,5	41,4	36,3

Решение. С помощью мастера диаграмм строим точечную диаграмму (рис.4). По расположению точек на плоскости можно предположить параболическую зависимость между (квадратная парабола). Запишем общий вид аппроксимирующей функции:

Коэффициенты определим с помощью надстройки «Поиск решения», приняв в качестве целевой функции математическую запись метода наименьших квадратов

 

 

Рис.4. График таблично заданной функции

В таблице 4 представлено размещение информации и результаты решения, в таблице 5 приведены расчетные формулы.

 

Таблица 4. Результаты решения

 

 

Таблица 5. Расчетные формулы

 

Адрес ячейки	Математическая запись	Запись на языке ЭТ
C4		=b4^2
E4		=СУММПРОИЗВ(a4:c4;$a$2:$c$2)
F4		=e4-d4
G4		=f4^2
G11		=СУММ(g4:g10)
G12		=КОРЕНЬ(g11/n); n=7
F2		=СУММКВРАЗН(e4:e10;d4:d10)

 

Чтобы использовать надстройку «Поиск решения» для решения этой задачи, необходимо предварительно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на рабочем листе ЭТ ячейки, в которых будут размещены исходные данные и результаты решения задачи (см. таблицу 4). Как видно, исходные данные расположены в ячейках: значения аргумента - в ячейках B4:B10; значения функции - в ячейках D4:D10; значения коэффициентов аппроксимирующего многочлена - в ячейках A2:C2 (до применения метода оптимизации эти ячейки будут пустыми); значение целевой функции в ячейке F2 (до применения метода оптимизации в этой ячейке будет ); среднеквадратическая погрешность - в ячейке G12. Кроме того, на рабочем листе отведены ячейки для вспомогательных величин: ячейки C4:C10 - для значений ; ячейки E4:E10 - для значений аппроксимирующей функции в точках ; ячейки F4:F10 - для отклонений значений аппроксимирующей функции от табличных значений ; ячейки G4:G10 - для квадратов этих отклонений.

2. Ввести в выбранные ячейки исходные данные и расчетные формулы согласно таблице 5.

3. Если для формулы указан диапазон ячеек, то формулу после записи следует скопировать в остальные ячейки этого диапазона.

Примечание. Размещение информации на рабочем листе зависит от автора решаемой задачи и оно может отличаться от приведенного выше.