Проверка значимости частных коэффициентов корреляции

(при уровне значимости применяемого статистического критерия α= 0,05)

Проверяемые гипотезы:

H0: ρxy/z=0

H0: ρxz/y=0

H0: ρyz/x=0

Наблюдаемые значения статистики критерия:

Нахождение t_кр - критического значения области отвержения гипотезы

Способы:

Ø или из статистической таблицы 2 (Значения функции , где случайная величина T распределена по закону Стьюдента с числом степеней свободы, равным ν) на основании уравнения:

,

Ø или с помощью статистической функции Microsoft Excel СТЬЮДРАСПОБР (вероятность; степени_свободы):

t_кр = СТЬЮДРАСПОБР (α; n-3 ).

В данном случае

t_кр=2,201.

Условие отвержения гипотезы о незначимости частного коэффициента корреляции

Результаты проверки гипотез:

v гипотеза H₀: ρ_xy/z =0 не отвергается, частный коэффициент корреляции между X и Y не значим;

v гипотеза H₀: ρ_xz/y=0 отвергается, частный коэффициент корреляции между X и Z значим;

v гипотеза H₀: ρ_yz/x=0 отвергается, частный коэффициент корреляции между Y и Z значим.

Интервальные оценки частных коэффициентов корреляции

(с надежностью доверительных интервалов γ=0,95)

► Прямое преобразование Фишера выборочных частных коэффициентов корреляции

Способы:

Ø или с помощью статистической таблицы 6 (Z-преобразования Фишера),

Ø или используя встроенную статистическую функцию Microsoft Excel ФИШЕР(x), где x - числовое значение, которое требуется преобразовать.

Для исходной выборки

arcth(rxy/z)= -0,2611

arcth(rxz/y)= -0,6426

arcth(ryz/x)= -0,6605

► Определение t_γ - квантили уровня (1+γ)/2 распределения Ν(0,1)

Способы:

Ø или из статистической таблицы 1 (Значения функции Лапласа , где Т имеет стандартное нормальное распределение), исходя из соотношения:

,

Ø или с помощью встроенной статистической функции Microsoft Excel НОРМСТОБР (вероятность), определяющей по уровню (1+γ)/2 значение соответствующей квантили:

t_γ = НОРМСТОБР ((1+γ)/2).

Для заданной надежности t_γ=1,96.

► Нахождение границ доверительных интервалов для математических ожиданий
arcth(r_xy/z), arcth(r_xz/y), arcth(r_yz/x)

Отправное неравенство: .

Результаты вычислений сведены в таблицу:

rxy/z	-0.8808	0.3587
rxz/y	-1.2623	-0.0228
ryz/x	-1.2803	-0.0407

► Установление границ доверительных интервалов для частных коэффициентов корреляции ρ_xy/z, ρ_xz/y, ρ_yz/x - обратное преобразование Фишера границ доверительных интервалов для M{arcth(r_xy/z)}, M{arcth(r_xz/y)}, M{arcth(r_yz/x)}

Способы:

Ø или с помощью статистической таблицы 6 (Z-преобразования Фишера),

Ø или используя статистическую функцию Microsoft Excel ФИШЕРОБР(y), где y -значение, для которого совершается обратное преобразование.

Отправное неравенство:

.

Отсюда

th(-0,8808)= -0,707< ρ_xy/z <0,3441 =th(0,3587);

th(-1,2623)= -0,852< ρ_xz/y <-0,023 =th(-0,0228);

th(-1,2803)= -0,857< ρ_yz/x <-0,041 =th(-0,0407).

Вывод

Доверительные интервалы для частных коэффициентов корреляции ρ_xz/y, ρ_yz/x не содержат нуля, что дополнительно подтверждает значимость этих коэффициентов.

Сопоставление частных и парных коэффициентов корреляции

Исходные статистические данные указывают на то, что между признаками X, Z и между Y, Z имеется существенная обратная умеренная корреляционная зависимость. Влияние третьей переменной (Y, соответственно X) приводит к усилению зависимости между отмеченными случайными величинами, не изменяя направления их связи.

Исследование множественных коэффициентов корреляции

Условие парной независимости признаков X, Y, Z есть необходимое, но не достаточное условие для обеспечения стохастической независимости этих случайных величин в совокупности, а именно, нулевые значения всех парных коэффициентов корреляции различных переменных данной совокупности не служат в общем случае основанием для вывода об их независимости в целом, что приводит к необходимости использования при корреляционном анализе помимо парных и частных коэффициентов корреляции также множественных коэффициентов корреляции.

Множественный коэффициент корреляции между каким-либо показателем (признаком объекта), включенным в анализ, и двумя другими показателями из числа рассматриваемых есть неотрицательная числовая характеристика силы взаимосвязи между данным показателем и совокупностью остальных показателей.