Запишіть формулу прямого та оберненого перетворення Фур’є. Який фізичний смисл має перетворення Фур’є? 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Запишіть формулу прямого та оберненого перетворення Фур’є. Який фізичний смисл має перетворення Фур’є?



Запишіть формулу прямого та оберненого перетворення Фур’є. Який фізичний смисл має перетворення Фур’є?

Перетворення Фур’є – це операція, яка описує коефіцієнти (так звані «амплітуди») при розкладенні початкової функції на елементарні складові – гармонічні коливання з різними частотами.

Перетворення Фур’є функції f дійсної змінної являється інтегральним та задається наступною формулою:

. (4.1)

Формула обернення:

(4.3)

є справедливою, якщо інтеграл у правій частині має смисл.

Ця формула пояснює фізичний смисл перетворення Фур’є: права частина – це нескінченна сума комплексних гармонічних коливань з частотами ω, амплітудами та фазовими зсувами , відповідно. Функція що описує коливання являється комплексною функцією.

 

Наведіть рівність Парсеваля та поясніть її фізичний смисл.

Справедливою є рівність Парсеваля: при певних широких умовах перетворення Фур’є зберігає так звану L 2 норму:

(4.2)

З фізичного смислу це означає, що енергія зберігається. L 2 норму можна трактувати як закон зберігання енергії.

 


Запишіть формули перетворення Фур’є як перетворення функції часу у функцію частоти та розкладання часової функції на гармонічні складові з різними частотами.

Формули перетворення Фур’є у термінах часу та частоти. У області обробки сигналів перетворення Фур’є бере представлення функції сигналу у вигляді часових рядів (якщо замінити x на t) і відображає його у частотний спектр, де ω, – кутова частота.

. (4.4)

Тобто воно перетворює функцію часу у функцію частоти. А обернена формула є розкладанням часової функції на гармонічні складові з різними частотами. Іншими словами, перетворення Фур’є це декомпозиція сигналу на частоти та амплітуди, тобто є оборотним переходом від часового простору до частотного простору.

Коли функція f являється функцією часу та представляє фізичний сигнал, перетворення має стандартну інтерпретацію як спектр сигналу. Абсолютна величина, яка утворюється в результаті перетворення комплексної функції F представляє амплітуди відповідних частот (ω), а фазові зсуви отримують як аргумент цієї комплексної функції.

 


Як виглядає віконне перетворення Фур’є та поясніть його застосування у сучасних цифрових осцилографах і аналізаторах спектру.

Віконне перетворення. Класичне перетворення Фур’є має справу із спектром сигналу, взятим у всьому діапазоні існування змінної. Коли інтерес представляє тільки локальний розподіл частот, який концентрується у певному проміжку, то застосовують так зване віконне перетворення Фур’є. Спершу обирають деяку віконну функцію W. Тоді віконне перетворення виглядає як:

,. (4.5)

де F (t, ω) дає дещо спотворений розподіл частот частини оригінального сигналу f (t) в околиці часу t.

Спектральний аналіз реалізовано в сучасних цифрових осцилографах і аналізаторах спектру. Використовується, як правило, вибір вікна з декількох (від 3 до 10) типів вікон. Застосування вікон принципово необхідне, оскільки в реальних приладах досліджується завжди деякий часовий відрізок з досліджуваного сигналу. При цьому розриви сигналу унаслідок вирізки різко спотворюють спектр через накладення спектрів стрибків на спектр сигналу. Знаходження оптимального виду вікна для віконного перетворення продовжує залишатись науковою проблемою.

Деякі аналізатори спектру використовують швидке (або короткочасне) віконне перетворення. При ньому сигнал заданої тривалості розбивається на ряд інтервалів за допомогою ковзаючого вікна того або іншого типу. Це дозволяє отримувати, досліджувати і будувати у вигляді спектрограм динамічні спектри й аналізувати їх поведінку в часі. Спектрограма будується в трьох координатах - частота, час і амплітуда. Подібні аналізатори спектру називають аналізаторами спектру реального часу. Основним їх виробником є корпорація Tektronix (США). Частотний діапазон досліджуваних ними сигналів досягає сотень гігагерц. Розроблено та експлуатуються вітчизняні аналоги.


Які обчислення виконуються перш за все над прийнятим сигналом у спектральному аналізаторі? Наведіть формули для розрахунку значення максимальної амплітуди, усередненої амплітуди послідовності імпульсів.

 

Попередні обчислення прийнятих сигналів. Важливим питанням при прийомі та передачі сигналів є процес узгодження характеристик джерела/приймача сигналу з середовищем передачі. Одним з методів такого узгодження є застосування модуляції – процесу зміни одного чи декількох параметрів носійного коливання за законом інформаційного сигналу.

Як носійні можуть бути використані коливання різної форми (прямокутні, трикутні тощо), проте найчастіше застосовуються гармонійні коливання. Залежно від того, який з параметрів носійного коливання змінюється, розрізняють вид модуляції (амплітудна (рис. 4.7.а), фазова (рис. 4.7.б), частотна (рис. 4.7.в) тощо). Модуляція дискретним сигналом (може приймати лише кінцеве число значень) називається цифровою модуляцією або маніпуляцією.

У процесі прийому та аналізу сигнал проходить дискретизацію, тобто перетворення із аналогового (неперервного) у сигнал з конечним числом його значень (рис. 4.7.г). При цьому для вибору інтервалу чи частоти дискретизації використовується теорема Котельникова:

(4.29)

Представлення сигналу у вигляді дискретних відліків, які, у свою чергу, квантуються та оцифровуються, дає можливість обробки сигналів цифровими способами.

Оскільки на прийомі не відомі початкові параметри сигналу, що приймається, то для виключення похибки над прийнятим сигналом виконують ряд додаткових обчислень:

- розраховують два добутки X та Y між прийнятими коливаннями Uс(t) та косинусоїдальним , й синусоїдальним сигналами, тобто

(4.30)

- отримують квадрат набутих значень X та Y, знаходять їх суму й обчислюють квадратний корінь.

. (4.31)

З формули (4.31) видно, що значення функції Z(t) не залежить від початкової фази сигналу і при нормуванні дорівнює його амплітуді, тобто

(4.32)

Після проведення даних операцій можливе визначення амплітудних характеристик аналізованих сигналів:

- значення максимальної амплітуди (Максимальная амплитуда используется для измерения максимального значения из импульсной последовательности сигналов);

- значення усередненої амплітуди (див. рис. 4.7.д):

(4.33)

де n – кількість імпульсів в аналізованій послідовності;

– поточні значення амплітуд імпульсів.

 


Які функції перетворення прийнятих сигналів виконують перетворювач радіочастот (ПРЧ), блок панорамного обзору (БПО), блок аналого-цифрового сигнального процесора (АЦСП) та персональний комп’ютер (ПЕОМ)?

 

Апаратура, що входить в комплекс, забезпечує виконання наступних функцій. Перетворювач радіочастот (ПРЧ) забезпечує прийом сигналів в діапазоні частот 0.01 - 3000 Мгц і перетворює їх в другу проміжну частоту 10.7 Мгц із смугою пропускання не менше 4 Мгц.

Крім того, ПРЧ забезпечує детектування сигналів, що приймаються, для прослуховування.

Блок панорамного огляду БПО проводить оптимальну обробку квадратури сигналів в смугах частот 4 MHz (режим свіпування) і 44.1 KHz (режим вузко смугового аналізу);

Блок АЦСП з БПО синтезує частоти в смузі 4 Мгц з кроком 20 кГц і перетворюють сигнал з другою проміжною частотою у форму квадратури забезпечують швидкість сканування 200 Мгц/с, тим самим забезпечуючи переглядання робочого діапазону вимірника (з урахуванням часу перемикання БПРЧ через 4 Мгц) із швидкістю 80 Мгц/с в діапазоні частот 30…3000 Мгц.

В діапазонах частот 0.01…12.5 Мгц і 12.5…44 Мгц крок перебудови складає 30 і 200 кГц, відповідно.

Даний блок забезпечує також третє перетворення частоти в «нульову», фільтрацію сигналу і формування двох каналів квадратури і забезпечує обчислення двох функцій взаємної кореляції X та Y між прийнятими коливаннями і формованими блоком косинусоїдальним і синусоїдальним сигналами.

Перетворення частоти в «нульову» означає перетворення у смугу низькочастотного діапазону від 0 Гц до верхньої частоти цієї смуги.

Блок аналого-цифрового сигнального процесора (АЦСП) проводить фільтрацію і перетворення аналогових сигналів, що поступають двома каналами X та Y, в цифрову форму з тактовою частотою 156 кГц і управляє всіма пристроями, вбудованими в ЦБК.

Персональний комп’ютер (ПЕОМ) виконує наступні функції:

а) обробляє оцифровані сигнали X та Y, таким чином, реалізуючи оптимальний виявляч, вимірювання амплітуд безперервних і імпульсних сигналів і шумів. Значення амплітуди Z (t) виводиться у вікні програми Аналіз/Амплітуда в Головному вікні програми, вид якої наведено на рис. 4.9

 

 

Рисунок 4.9 – Вид вхідного сигналу у вікні Амплітуда

 

б) управляє апаратурою вимірника, обробляє сигнали за допомогою спеціального програмного і математичного забезпечення, проводить розрахунок вимірюваних параметрів сигналів, ухвалює логічні рішення при роботі вимірника в автоматичному режимі, відображає сигнальну і іншу інформацію, протоколює одержані результати.

 


Запишіть формулу прямого та оберненого перетворення Фур’є. Який фізичний смисл має перетворення Фур’є?

Перетворення Фур’є – це операція, яка описує коефіцієнти (так звані «амплітуди») при розкладенні початкової функції на елементарні складові – гармонічні коливання з різними частотами.

Перетворення Фур’є функції f дійсної змінної являється інтегральним та задається наступною формулою:

. (4.1)

Формула обернення:

(4.3)

є справедливою, якщо інтеграл у правій частині має смисл.

Ця формула пояснює фізичний смисл перетворення Фур’є: права частина – це нескінченна сума комплексних гармонічних коливань з частотами ω, амплітудами та фазовими зсувами , відповідно. Функція що описує коливання являється комплексною функцією.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2016-08-16; просмотров: 537; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.204.196.206 (0.097 с.)