Обобщение полюсного метода Ньютона на многомерный случай

 

Переложим вывод одномерного полюсного метода Ньютона (5.36) на векторную основу. Будем при этом руководствоваться геометрическими соображениями, опирающимися на рис. 5.12, и пользоваться теми же обозначениями.

Касательную к кривой в точке () зададим условием ортогональности текущего вектора этой прямой и ее нормального вектора, в качестве которого можно взять вектор . Уравнение прямой, проходящей через полюс и связанную с уже известным приближением точку (), получим из условия коллинеарности текущего вектора этой прямой и ее направляющего вектора . Таким образом, точку пересечения двух прямых, проекцию которой на ось абсцисс считаем новым приближением , находим из совокупности условий

(3.5.1)

Первое из этих условий означает равенство нулю скалярного произведения (n,u), второе — пропорциональность соответствующих координат векторов v и l или, иначе, равенство нулю составленного из них определителя. Следовательно, искомое приближение есть первая компонента вектора, служащего решением линейной системы

(3.5.2)

(вторая компонента — ордината точки пересечения указанных прямых — после вычисления значения может дать информацию об отклонении от функции в точке ее локальной аффинной модели, каковой является проведенная в точке касательная). Ясно, что получаемое из системы (3.5.2) значение тождественно его выражению по формуле (5.36).

Рассмотренный векторный подход к построению одномерного полюсного метода Ньютона служит ключом для его распространения на двумерный случай на основе таких же геометрических, но уже пространственных соображений.

Пусть требуется найти приближенное решение двумерной нелинейной системы (4.3.1) в предположении непрерывной дифференцируемости входящих в нее функций f(x, у) и g(x, у) в некоторой области G, содержащей искомое решение х* =(х*; у*) и приближения к нему k = 0,1,2,....

Будем считать, что уже найдено k-е приближение к решению х* и нужно получить правило перехода к (k+1)-му приближению. В сделанном предположении о гладкости функций f(x, у) и g(x, у) можно провести касательные плоскости в точке () определяемым ими поверхностям

z = f(x,y) и z = g(x,y). (3.5.3)

Эти плоскости задаются текущими векторами

и нормалями

соответственно, т.е. аналогично первому из условий (3.5.1) должно быть иначе,

. (3.5.4)

Пересечение двух касательных плоскостей, т.е. образ, определяемый уравнениями (3.5.4), есть прямая в трехмерном пространстве, общая точка которой с координатной плоскостью Оху является ньютоновским приближением к решению х* сиcтемы (4.3.1). Наша цель — построить третью плоскость, пересечение которой с упомянутой прямой (линией пересечения касательных плоскостей) давало бы точку в пространстве R₃ такую, проекция которой на плоскость Оху могла бы оказаться ближе к х*, чем .

Чтобы осуществить поставленную цель, зафиксируем в R₃ две несовпадающие между собой и с точки — полюсы и . Через указанные три точки можно провести единственную плоскость (которая здесь играет роль прямой, проходящей через полюс и точку (х_к; 0) в одномерной ситуации). Взяв текущую точку М(х; у; z) и образовав текущий вектор этой третьей плоскости, можно задать ее условием компланарности трех векторов- и (что служит аналогом второго из условий (3.5.1)).

Запишем совокупность всех трех описанных средствами векторной алгебры плоскостей в координатной форме. Имеем:

Первые две координаты вектора (x;y;z), служащего реше­нием полученной системы уравнений, считаем искомым приближением ().Введя поправки

, (3.5.5)

эту систему превращаем в систему уравнений относительно неизвестных и z:

(3.5.6)

Для исключения вспомогательной переменной z из линейной системы (3.5.6) выразим ее из третьего уравнения. Обозначив

, , (3.5.7)

раскрываем фигурирующий в (3.5.6) определитель по элементам первой строки:

Отсюда находим выражение

(3.5.8)

подставляя которое в первые два уравнения системы (3.5.6), приходим к двумерной линейной системе

(3.5.9)

Фактически эта система вместе с обозначениями (3.5.7) и определяет двумерный полюсный метод Ньютона для нелинейной системы (4.3.1). Надя их нее поправки , в соответствии с равенствами (3.5.5) получаем очередное приближение :

, .

Дельнейшее преобразование полюсного метода Ньютона, т. е. переход от размерности 2 к произвольной размерности, совершаем формально на основе предыдущего построения.

Пусть задана нелинейная система, функции (образующими вектор ) в точке , можно описать матрично-векторным уравнением

, (3.5.10)

где - n-мерный вектор, каждой компонентой которого служит вспомогательная переменная , входящая в уравнения гиперповерхностей .

Зададим n полюсов (i=1,2,…,n) так, чтобы они не принадлежали одной гиперплоскости пространства . Через все эти полюсы и точку (), определяемую известным приближением к решению системы, проводим гиперплоскость, уравнение которой аналогично двумерному случаю задаем условием равенство нулю определителя (n+1) порядка:

. (3.5.11)

Векторно-матричное уравнение (3.5.10) и скалярное уравнение (3.5.11), в принципе, уже определяют векторный n-полюсный метод Ньютона для построения приближенной к решению системы. Чтобы записать соответствующую линейную систему относительно поправок

(3.5.12)

(аналогичную схеме (3.5.9) двумерного случая), введем следующие обозначения. Положим

, ,

и образуем квадратную (n+1)-мерную матрицу следующей структуры:

.

Тогда на основе (3.5.10), (3.5.11) имеем (n +1)-мерную систему уравнений относительно неизвестных :

(3.5.13)

Как и в двумерном случае, из второго уравнения этой системы выражаем вспомогательную неизвестную :

(3.5.14)

где , а есть алгебраические дополнения к элементам первой строки матрицы (что через соответствующие миноры этой матрицы можно представить так: , ).

Заменив в (3.5.13) все компоненты вектора z найденным их значением (3.5.14), приходим к следующему линейному векторно матричному уравнению относительно вектора-поправки :

, (3.5.15)

где

. (3.5.16)

Уравнение (3.5.15) вместе со связью (3.5.12), согласно которой

, (3.5.17)

является неявной формой п -полюсного метода Ньютона для уравнения (2.1а).

Совокупности формул (3.5.15)-(3.5.17) можно придать другой вид:

, (3.5.18)

который удобно трактовать как явный метод Ньютона со своеобразной коррекцией матриц Якоби путем прибавления к ним формирующихся по заданному правилу матриц . Как и в одномерном случае, для ускорения сходимости последовательности приближений полюсы целесообразно изменять в такт с изменением значений функций, и в самом простом случае есть смысл фиксировать матрицу С, а вектор брать равным или -