Векторная запись нелинейных систем.

 

Пусть требуется решить систему уравнений

(2.1)

где — заданные, вообще говоря, нелинейные (среди них могут быть и линейные) вещественнозначные функции п вещественных переменных Обозначив

, ,

данную систему (2.1) можно записать одним уравнением

(2.1а)

относительно векторной функции F векторного аргумента х. Таким образом, исходную задачу можно рассматривать как зада­чу о нулях нелинейного отображения В этой постановке она является прямым обобщением основной задачи предыдущей главы — задачи построения методов нахождения нулей одномерных нелинейных отображений. Фактически это та же задача, только в пространствах большей размерности. Поэтому можно как заново строить методы ее решения на основе разработанных выше подходов, так и осуществлять формальный перенос выведенных для скалярного случая расчетных формул. В любом случае следует позаботиться о правомочности тех или иных операций над векторными переменными и векторными функциями, а также о сходимости получаемых таким способом итерационных процессов. Часто теоремы сходимости для этих процессов являются тривиальными обобщениями соответствующих результатов, полученных для методов решения скалярных уравнений. Однако не все результаты и не все методы можно перенести со случая п = 1 на случай п ≥2. Например, здесь уже не будут работать методы дихотомии, поскольку множество векторов не упорядочено. В то же время, переход от n = 1 до n≥ 2 вносит в задачу нахождения нулей нелинейного отображения свою специфику, учет которой приводит к новым методам и к различным модификациям уже имеющихся. В частности, большая вариативность методов решения нелинейных систем связана с разнообразием способов, которыми можно решать линейные алгебраические задачи, возникающие при пошаговой линеаризации данной нелинейной вектор-функции F(x).

МЕТОД НЬЮТОНА, ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ И МОДИФИКАЦИИ

 

МЕТОД НЬЮТОНА

Пусть () — некоторая последовательность невырожденных вещественных n x n-матриц. Тогда, очевидно, последовательность задач

, k = 0,1,2,...

имеет те же решения, что и исходное уравнение (2.1а), и для приближенного нахождения этих решений можно формально записать итерационный процесс

, k = 0,1,2,... (3.1.1)

имеющий вид метода простых итераций (4.2.1b) при . В случае - это действительно МПИ с линейной сходимостью последовательности () Если же различны при разных k, то формула (3.1.1) определяет большое семейство итерационных методов с матричными параметрами . Рассмотрим некоторые из методов этого семейства.

Положим , где

— матрица Якоби вектор-функции F(x). Подставив это в (3.1.1), получаем явную формулу метода Ньютона

, (3.1.2)

обобщающего на многомерный случай скалярный метод Ньютона (5.14). Эту формулу, требующую обращения матриц на каждой итерации, можно переписать в неявном виде:

. (3.1.3)

Применение (3.1.3) предполагает при каждом k = 0,1,2,... решение линейной алгебраической системы

относительно векторной поправки , а затем прибавление этой поправки к текущему приближению для получения следующего:

.

К решению таких линейных систем можно привлекать самые разные методы как прямые, так и итерационные в зависимости от размерности n решаемой задачи и специфики матриц Якоби (например, можно учитывать их симметричность, разреженность и т.п.).

Сравнивая (3.1.3) с формальным разложением F(x) в ряд Тейлора

,

видим, что последовательность () в методе Ньютона получается в результате подмены при каждом k=0,1,2,... нелинейного уравнения F(x) = 0 или, что то же (при достаточной гладкости F(x)), уравнения

линейным уравнением

т. е. с пошаговой линеаризацией. Как следствие этого факта, можно рассчитывать, что при достаточной гладкости F(x) и достаточно хорошем начальном приближении сходимость порождаемой методом Ньютона последовательности () к решению будет квадратичной и в многомерном случае. Имеется ряд теорем, устанавливающих это при тех или иных предположениях. В частности, одна из таких теорем приводится ниже.

Новым, по сравнению со скалярным случаем, фактором, осложняющим применение метода Ньютона к решению n-мерных систем, является необходимость решения n-мерных линейных задач на каждой итерации (обращения матриц в (3.1.2) или решения СЛАУ в (3.1.3)), вычислительные затраты на которые растут с ростом n, вообще говоря, непропорционально быстро. Уменьшение таких затрат — одно из направлений модификации метода Ньютона.