Токи при замыкании цепи и размыкании цепи.

По правилу Ленца дополнительные токи, возникающие в проводниках вследствие самоиндукции, всегда направлены так, чтобы воспрепятствовать изменениям тока, текущего в цепи. Это приводит к тому, что установление тока при замыкании цепи и убывание тока при размыкании цепи происходит не мгновенно, а постепенно.

Сначала найдем характер изменения тока при размыкании цепи (рис. 3).

Рис. 3

Пусть в цепь с независящей от I индуктивностью L и сопротивлением R включен источник тока, имеющий ЭДС . Под действием этой ЭДС в цепи будет течь постоянный ток: . В момент времени t=0 отключим ЭДС, переведем переключатель П в положение 2.Как только сила тока в цепи станет убывать возникает ЭДС самоиндукции. Закон Ома:

IR= =L .

Перепишем это выражение следующим образом:

.

Это линейное однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка. Его легко проинтегрировать, разделив переменные:

, откуда .

Потенцирование этого соотношения дает:

.

Это выражение является общим решением дифференциального уравнения первого порядка. При t=0, сила тока равна:

, следовательно, const = I₀, тогда .

Отсюда видно, что сила тока убывает по экспоненте (рис. 4).

Рассмотрим случай замыкания цепи. После подключения к источнику тока до тех пор, пока сила тока не примет установившегося значения, в цепи кроме ЭДС будет действовать ЭДС самоиндукции. В соответствии с законом Ома можно написать, что IR= + = -L .

После преобразования приходим к линейному неоднородному уравнению:

.

Общее решение этого уравнения можно получить, прибавив любое его частное решение к общему решению однородного уравнения.

.

В момент времени t=0, I=0. Отсюда, для сonst получается значение сonst = - I₀.

То есть ,(см. рис. 4).

Если цепь содержит катушку с железным сердечником, ЭДС самоиндукции будет определяться

.

В этом случае за счет слагаемого ЭДСсамоиндукции может достигать очень больших значений, и сила тока может значительно превзойти I₀.

 

Энергия магнитного поля. Энергия магнитного поля контура с током. Энергия магнитного поля соленоида, плотность энергии магнитного поля.

ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ТОКА

Вокруг проводника с током существует магнитное поле, которое обладает энергией.

В момент замыкания эл.цепи источник тока расходует часть своей энергии на преодоление действия возникающей ЭДС самоиндукции. Эта часть энергии, называемая собственной энергией тока, и идет на образование магнитного поля.
Энергия магнитного поля равна собственной энергии тока.
Собственная энергия тока численно равна работе, которую должен совершить источник тока для преодоления ЭДС самоиндукции, чтобы создать ток в цепи.

Энергия магнитного поля, созданного током, прямо пропорциональна квадрату силы тока.

Энергия магнитного поля контура с током:

Рассмотрим случай, о котором мы уже говорили (рис. 5.6).

Рис. 5.6

Сначала замкнем соленоид L на источник ЭДС , в нем будет протекать ток . Затем в момент времени переключим ключ в положение 2 – замкнем соленоид на сопротивление R. В цепи будет течь убывающий ток I. При этом будет совершена работа: , или

,

(5.5.1)

Эта работа пойдет на нагревание проводников. Но откуда взялась эта энергия? Поскольку других изменений, кроме исчезновения магнитного поля в окружном пространстве, не произошло, остается заключить, что энергия была локализована в магнитном поле. Значит, проводник с индуктивностью L, по которой течет ток I, обладает энергией

,

(5.5.3)

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для соленоида:

.

; отсюда

Подставим эти значения в формулу (5.5.3):

Обозначим w – плотность энергии, или энергия в объеме V, тогда

,

(5.5.5)

но т.к. , то

или

(5.5.6)

Энергия однородного магнитного поля в длинном соленоиде может быть рассчитана по формуле

,

(5.5.7)

а плотность энергии

(5.5.8)

Плотность энергии магнитного поля в соленоиде с сердечником будет складываться из энергии поля в вакууме и в магнетике сердечника:

, отсюда .

Т.к. в вакууме , имеем