Магнитное поле как релятивистская поправка к магнитному.

Эксперименты с движущимися электрическими зарядами показывают, что заряд является релятивистским инвариантом, т. е. его величина не зависит от того, как движутся заряженные частицы. Это свойство заряда приводит к тому, что электрическое поле должно преобразовываться определенным образом при изменении системы отсчета.

Рассмотрим в системе отсчета К две неподвижные, расположенные параллельно плоскости xOy, равномерно заряженные пластины с поверхностными плотностями заряда +s и -s. Пусть пластины имеют форму квадрата со стороной а и удалены друг от друга на расстояние d << а (см. рис. 5.1.1). Такие пластины создают электрическое поле напряженностью

Рис 5.1.1

Е _z=s/e₀. (5.1.1)

Какое значение напряженности поля зарегистрирует наблюдатель, в системе отсчета К', движущейся параллельно оси Ox со скоростью V? Для такого наблюдателя сторона квадрата вдоль оси Ox сокращается до величины . Но величина полного заряда пластин сохраняется. Поэтому поверхностная плотность заряда в системе К' увеличивается до величины

. (5.1.2)

Применяя теорему Гаусса, наблюдатель в К' получит или с учетом соотношений (5.1.1), (5.1.2)

. (5.1.3)

Если пластины расположить перпендикулярно оси Ox, то в системе К' плотность заряда пластин будет такой же как в системе К. При такой ориентации пластин произойдет релятивистское сокращение расстояния между ними, но электрическое поле между пластинами от d не зависит. В этом случае и , и

. (5.1.4)

Наши рассуждения сделаны для простейшего распределения зарядов. Но если понятие электрического поля в данной пространственно-временной области (в локальной точке, в какой-то момент времени в системе К) имеет однозначный смысл, то наблюдатель в К, измеривший электромагнитное поле в некоторый момент времени в окрестности данной точки должен только на основании этих измерений быть в состоянии предсказать, что будет зарегистрировано в этой же пространственно-временной точке в других системах отсчета. Поэтому не удивительно, что равенства находят опытное подтверждение для других конфигурации зарядов – источников исследуемого электрического поля. Заметим, что соотношения (5.1.3), (5.1.4) были получены для случая, когда в системе К заряды были неподвижны и в этой системе они не создавали магнитного поля.

Рассмотрим (рис. 5.1.2) два неподвижных в некоторой инерциальной системе отсчета К электрических заряда q ₁ и q ₂. В этой системе отсчета между ними действует обычная кулоновская сила. Определим силу, действующую на второй заряд. Её компоненты равны соответственно

(5.1.5)

где (5.1.6)

– напряженность, созданная первым зарядом в месте расположения второго. Перейдем в систему отсчета К', которая движется относительно К (см. рис. 5.1.2) с постоянной скоростью V, направленной перпендикулярно отрезку между зарядами (в направлении оси Оx). Для того чтобы найти силу, действующую на второй заряд в новой системе отсчета, воспользуемся известными формулами релятивистских преобразований для компонент силы:

Рис. 5.1.2

(5.1.6)

 

Здесь v = 0 - скорость заряда в К -системе, поэтому

(5.1.7)

Подставляя во второе уравнение выражение для силы через напряженность (5.1.5) и выражая E _1z через E' _1z’ с помощью (5.1.3), получим следующее соотношение:

(5.1.8)

Второе слагаемое в этой формуле для малых скоростей V<<c является малой добавкой по отношению к первому. При его вычислении в первом приближении можно пренебречь малым отличием E' _1z’ от E _1z , вычисляемого по формуле (5.1.5).

Таким образом, с точностью до малых следующего порядка получаем

(5.1.9)

Учитывая известное соотношение

, (5.1.10)

можно показать, что второе слагаемое в (5.1.9) есть не что иное, как проекция на ось z магнитная сила F _м2, действующей на второй заряд со стороны магнитной индукции B ₁ поля, создаваемого первым зарядом. Покажите это, используя формулы для магнитной силы:

и магнитной индукции медленно движущегося заряда:

.

Мы видим, что из релятивистских соотношений с неизбежностью следует, что в системе отсчета, движущейся относительно источника электрического поля (заряда q ₁), на движущийся заряд (q ₂) кроме электрической силы действует дополнительные сила, которая фактически связана с магнитным полем, появляющимся в системе К'.