Расчет на прочность вращающегося диска методом конечных разностей.

 

Исходными уравнениями являются уравнения равновесия и совмест­ности деформации:

,

(5.1)

где σ_r и σ_θ - радиальные и окружные напряжения в диске; μ - коэффици­ент Пуассона; Е - модуль упругости материала; α - коэффициент линейно­го расширения материала.

Расчет диска методом конечных разностей основан на приближенном решении системы дифференциальных уравнений (5.1) путем замены диф­ференциалов конечными разностями.

Для расчета диск разбивают рядом концентричных сечений и нуме­руют их от 0 до к (рис. 3.1).

Замена дифференциалов на конечные разности производится по формулам:

(5.2)

Индекс п указывает номер кольцевого сечения диска.

Рис. 3.1. К расчету диска методом конечных разностей

 

Для установления связи между напряжениями в п-м и (п - 1)-м сечениях подставим уравнения (5.2) в уравнения (5.1).

При этом для величин σ_r, σ_θ, r, b, Е и (αt), входящих в уравнение (5.1) без индексов, принимаются их значения на внутреннем (n - 1) сечении кольцевого участка, то есть им приписывают индекс (п - 1). После выполнения необходимых преобразований получаем:

(5.3)

Для сокращения записей введем обозначения:

(5.4)

Подставим обозначения (5.4) в (5.3), получим:

(5.5)

Выразим напряжения и для каждого расчетного сечения че­рез напряжение в нулевом сечении. Нулевое сечение для диска с централь­ным отверстием проводится на радиусе центрального отверстия. Если кром­ка центрального отверстия не нагружена, то =0; для диска, напрессованного на вал = σ_{r посадки}.

Величина окружного напряжения в нулевом сечении = σ₀.

Для сплошного диска нулевое сечение проводится вблизи центра диска, где принимают - = σ₀.

Найдем значения радиальных и окружных напряжений в сечениях диска без центрального отверстия, для чего используем уравнения (5.5). Для первого сечения

где для сокращения записей принимаем

A₁=V₁+ξ₁; В₁= – С₁V₁; N₁=φ₁+λ₁; Q₁= – μC₁V₁-ψ₁.

Для второго сечения

Подставим сюда значения напряжений и выраженные через σ₀, получаем

где A₂=A₁ξ₂+N₁V₂; В₂=В₁ξ₂+(Q₂-C₂)V₂; N₂=N₁φ₂+А₁λ₂; Q₂=Q₁φ₂+B₁λ₂-μC₂V₂ -ψ₂

Очевидно, что для любого n -го сечения

(5.6)

где

An=An-1ξn+Nn-1Vn; Bn=Bn-1ξn+(Qn-1-Cn)Vn; Nn=Nn-1φn+An-1λn; Qn=Qn-1φn+Bn-1λn-μCnVn-ψn.

(5.7)

В нулевом сечении формулы (5.6) принимают вид:

- для сплошного диска ;

- для диска с центральным отверстием .

Значения коэффициентов выбираются из условия обращения послед­них уравнений в тождества, удовлетворяющиеся для любых значений σ₀.

Для сплошного диска: А₀=1, B₀=0, N₀=1, Q₀=0

Для диска с центральным отверстием, свободным от нагрузки:

A₀=0, В₀=0, N₀=1, Q₀=0.

Неизвестное напряжение в нулевом сечении диска σ₀ вычисляется по известному радиальному напряжению в к-мсечении диска, которое равно напряжению σ_rл (рис. 3.1)

= σ_rл=А_кσ₀+В_к,

откуда

(5.8)

Напряжение σ_{r л} от центробежных сил лопаток и замковой части определяется по формуле:

srл=(z*(Pцл+Рцд))/(2*p*rk*br)

(5.9)

Порядок определения напряжений во вращающемся неравномерно нагретом диске следующий:

1. Для каждого сечения вычисляются вспомогательные величины V_n, ξ_n, C_n, φ_n, λ_n, ψ_n.

2. Последовательным расчетом, используя формулы (5.7), определя­ются для каждого сечения коэффициенты А_n, В_n, N_n, Q_n.

3. По формуле (5.8) определяются напряжения в нулевом сечении по известной величине напряжения от лопаточного венца σ_rл и коэффициен­тами А_к и В_к,

4. Для каждого сечения определяются и по формулам (5.6).

Точность расчета зависит от числа и расположения выбранных сечений. Обычно назначается не менее десяти сечений.

В местах с резким изменением толщины диска сечения выбираются на меньшем расстоянии друг от друга, при этом одно из сечений обязатель­но должно проходить на радиусе минимальной толщины r_{b min}.

Поскольку в диске имеет место плоское напряженное состояние, то за критерий прочности принимается эквивалентное напряжение:

По величине запаса прочности производится прочностная оценка диска:

В качестве предельно допустимого напряжения σ_пред для дисков турбины принимается предел длительной прочности ; для дисков компрессоров - предел текучести σ_0,2 или предел прочности σ_в.

 

Полный расчёт,на прочность вращающегося диска методом конечных разностей, сведём в таблицу 11.

 

№	Величина	Разме рность	0-0	I-I	II-II	III-III	IV-IV	V-V	VI-VI	VII-VII	VIII-VIII
	r	м	0,16	0,21	0,25	0,29	0,30	0,33	0,36	0,39	0,407
	b	м	0,05	0,042	0,042	0,042	0,042	0,042	0,044	0,051	0,076
	Tд	К
	E*10^-5	Па
	α*10^-6	1/град
	rn/rn-1	-	-	1,3125	1,190476	1,16	1,034	1,1	1,091	1,083	1,044
	Vn	-	-	0,3125	0,190476	0,16	0,034	0,1	0,091	0,083	0,044
	En/En-1	-	-
	φn	-	-	0,6875	0,809524	0,84	0,966	0,9	0,909091	0,916667	0,95641
	bn/bn-1	-	-	0,840	1,000		1,000		1,048	1,159091	1,490196
	ξn	-	-	0,848	0,810	0,84	0,966	0,9	0,861	0,758	0,466
	λn	-	-	0,361	0,190	0,160	0,034	0,100	0,077	0,036	-0,103
	r^2	м^2		0,044	0,063	0,084	0,090	0,109	0,130	0,152	0,166
	Cn	МПа		39,978	68,868	97,602	131,333	140,547	170,061	202,387	237,524
	α*t*10^-6	-	232,265	276,410	311,726	347,042	355,871	382,358	408,845	435,333	450,342
	ψn	МПа	-	88,290	70,632	70,632	17,658	52,974	52,974	52,974	30,019
	An	-		1,160	1,139	1,128	1,126	1,122	1,065	0,896	0,462
	Bn	МПа		-12,493	-40,762	-74,089	-83,272	-111,342	-135,614	-145,313	-93,168
	Nn	-		1,048	1,069	1,080	1,082	1,086	1,074	1,022	0,885
	Qn	МПа		-92,038	-151,454	-209,061	-223,423	-266,599	-308,506	-345,660	-348,682
	σr	МПа	270,838	301,679	267,632	231,301	221,677	192,419	152,817	97,427	32,067
	σθ	МПа	270,838	191,800	138,162	83,560	69,638	27,651	-17,731	-68,846	-109,051
	σэкв	МПа	270,838	264,453	231,817	202,866	196,350	180,192	162,410	144,704	128,130
	σпред	МПа
	К		3,3	3,4	3,9	4,4	4,6	5,0	5,5	6,2	7,0

Рисунок 13. График, изменения радиальных и окружных напряжений по длине диска.

Рисунок 14. График, изменения предельных и эквивалентных напряжений по длине диска.

 

 

Рисунок 15. График, изменения коэффициента запаса прочности по длине диска.