Естественные и искусственные языки

 

Естественные языки возникли как средство общения между людьми. Их формирование и развитие представляет собой длительный исторический процесс и происходит в основном стихийно. В качестве знаков здесь используются произнесенные вслух или написанные слова и словосочетания. К числу естественных языков относятся такие разговорные языки как русский, английский, французский и т.п.

Искусственные языки сознательно создаются человеком для решения определенных задач. Здесь в качестве знаков используются специальные символы. Примерами искусственных языков являются музыкальные ноты, азбука Морзе, язык сурдоперевода и т.д. Логические теории также используют искусственные языки для выражения внутренней структуры суждений и умозаключений.

Естественный язык, прекрасно приспособленный для общения людей, с формальной точки зрения обладает рядом негативных свойств.

1) Многозначность: значение некоторых выражений можно понять только из контекста («замок», «ручка», «ключ», «коса» и т.п.).

2) Некомпозициональность: в естественном языке отсутствуют четкие правила, позволяющие определять значение сложного выражения, когда известны значения всех входящих в него слов («Он встретил ее на солнечной поляне с ромашками»).

3) Семантическая замкнутость: семантические атрибуты выражений естественного языка (смысл, значение, истинность и пр.) определяются в рамках самого этого языка.

Важной особенностью искусственных языков является то, что они позволяют не просто фиксировать информацию о мире, но фиксировать ее в максимально четкой и эффективной форме. Все современные научные теории либо создают свои формализованные языки, либо, как минимум, стремятся соблюдать простейшие семантические принципы, позволяющие избежать языковых «ловушек» и парадоксов.

 

Семантические принципы

 

Принцип однозначности: каждое имя должно иметь только одно значение (экстенсионал). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «подмена значения».

Существование Плутона было доказано астрономами.

Плутон – это бог.

Существование бога было доказано астрономами.

 

Здесь слово «Плутон» используется в двух значениях: в первой посылке имеется в виду планета Солнечной системы, во второй – божество из древнегреческой мифологии. Когда значения слова различаются столь явно, подмену заметить легко. Но если они хотя бы частично совпадают друг с другом, например одно является обычным, а другое – расширительным (или, наоборот, специализированным), ошибка может остаться незамеченной. Иногда подмена значения производится в несколько шагов, каждый из которых сам по себе не вызывает подозрения.

Принцип предметности: предложение должно говорить о предметах, обозначаемых входящими в него именами (а не о самих этих именах). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «автонимное употребление имен».

Сравните два предложения: 1) Стул – это предмет мебели, 2) Стул – это существительное. В первом слово "стул" употребляется правильно, поскольку речь идет о предмете, а во втором – автонимно, поскольку речь идет о самом этом слове. Чтобы избежать подобных ошибок, надо всегда использовать кавычки в тех случаях, когда требуется сказать что-то о выражениях языка. Предложение «"Стул" – это существительное» построено правильно. Если же пренебречь кавычками, мы рискуем получить довольно нелепый вывод:

Стул – это существительное.

Некоторые стулья имеют четыре ножки

Некоторые существительные имеют четыре ножки.

Принцип взаимозаменимости: при замене имен с одинаковым значением, предложение, в котором эта замена осуществляется, не должно изменять свое истинностное значение (истинное предложение должно оставаться истинным, а ложное – ложным).

Пусть дано предложение «Земля вращается вокруг Солнца». Заменим «Солнце» на «центральное тело Солнечной системы». Очевидно, что значения этих выражений совпадают. В результате такой замены из истинного предложения получаем другое истинное предложение: «Земля вращается вокруг центрального тела Солнечной системы».

Принцип взаимозаменимости кажется самоочевидным, однако существуют языковые контексты, в которых замена равного равным приводит к противоречию. Рассмотрим предложение «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли». Он считал, что это истинно. Проверим это. Заменим слово «Солнце» на выражение «центральное тело солнечной системы», имеющее то же значение. Получим заключение: «Птолемей считал, что центральное тело солнечной системы вращается вокруг Земли», которое является абсурдным.

В логике подобные ситуации известны как «антиномии отношения именования» – они возникают, когда некий объект известен (приятен, доступен и т.д.) субъекту в одном аспекте, и неизвестен (неприятен, недоступен и т.д.) в другом. Отсюда порой проистекает кажущаяся несовместимость двух обозначений одного и того же объекта.

Как же сохранить принцип взаимозаменимости и избежать антиномий? Следует различать два способа употребления языковых выражений. Первый – экстенсиональный, при котором выражения просто выделяют предметы. Второй – интенсиональный: предметы, обозначаемые выражениями, рассматриваются в определенном смысле, аспекте (показателем чего могут служить так называемые эпистемические операторы – слова «знает» «верит», «ищет», «думает» и т.п.). Если выражение употребляется в определенном аспекте, то его можно заменить другим выражением с тем же значением, только если во втором выражении предметы рассматриваются в том же аспекте.

 

 

Язык логики высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:

 

1) пропозициональные переменные – p, q, r, s,...

2) пропозициональные связки – Ø, &, Ú, Ú, É, º

3) скобки – (…)

4) запятая -,

 

Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:

 

Ø – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)

Ú – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

Ú – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

É – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

º – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

 

Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если А и В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, А Ú В, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.

 

Упражнение 1. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r

б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r

 

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

 

– «Иван-царевич храбрый и любит Марью» s & p

– «Неверно, что Марья некрасивая

или Иван-царевич ее не любит» Ø(Ør Ú Øp)

– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,

то они любят друг друга» (r&s) É (p&q)

 

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

 

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

 

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:

 

p	q	Øp	p&q	pÚq	p Ú q	pÉq	pºq

 

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) É Ø(ØpÚØq).

 

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2ⁿ, где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

 

p	q	Øp	Øq	p&q	ØpÚØq	Ø(ØpÚØq)	(p&q) É Ø(ØpÚØq)

 

В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:

а) Ø(p & q) º (Øp & Øq)

б) (p É q) É (Øq É Øp)

в) (p º q) & (p Ú q)

 

Основные законы логики

 

Законом логики называется сложное логическое высказывание, истинность которого не зависит от составляющих его логических отношений. Они составляют основу мыслительного процесса и обусловливают правильность рассуждений. Правильно размышлять означает рассуждать в соответствии с законами логики.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ:

 

1) Закон тождества

А É А

Если высказывание истинно, то оно истинно. Например, «Все профессора есть профессора».

2) Закон непротиворечия

Ø(А &ØА)

Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Например, «Небо - голубое» и «Неверно, что небо голубое».

 

3) Закон исключенного третьего

А Ú ØА

Из двух противоречащих друг другу высказываний по крайней мере одно истинно. Например, «Экзамен по логике можно сдать или не сдать». То есть третьего не дано.

 

4) Закон двойного отрицания

ØØА É А

Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению.

Например, «Он не может не знать логику». Значит – он знает логику.

 

5) Закон достаточного основания

А есть потому, что есть В

Всякая мысль может быть признана истинной только тогда, когда

она имеет достаточное основание. Например, «Это вещество

является электропроводным, потому что оно – металл».

 

6) Закон утверждения консеквента

А É (В É А)

Заведомо истинное высказывание вытекает из чего угодно. Например, «Солнце всходит на востоке, а заходит на западе – так говорила мне бабушка».

 

7) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота)

ØА É (А É В)

Из заведомо ложного высказывания вытекает что угодно.

Например, «Если он миллиардер, тогда я арабский шейх».

 

8) Законы Де Моргана

Ø(А & В) É ØАÚØВ

Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.

Например, «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро» означает «Сегодня холодно или сыро».

Ø(А Ú В) É ØА & ØВ

Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

Например, «Неверно, что идет дождь или идет снег» означает «Сегодня нет дождя и нет снега».

9) Закон контрапозиции

(A É В) É (ØВ É ØА)

Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого. Например, «Если вода замерзла, то на улице – морозно» и «Если на улице не морозно, то и вода не замерзла».

 

10) Закон транзитивности импликации

((AÉВ) & (ВÉС)) É (АÉС)

Если из одного высказывания вытекает второе, а из него – третье, то и из первого высказывания вытекает третье. Например, «С наступлением весны днем становится солнечнее и теплей. Когда днем становится солнечнее и теплей тает снег. Следовательно, можно сказать, что с наступлением весны тает снег».

 

11) Законы дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот

А Ú (В & С) É (А Ú В) & (А Ú c)

А & (В Ú С) É (А & В) Ú (А & c)

Они позволяют пронести дизъюнкцию внутрь конъюнктивной формулы, а конъюнкцию – внутрь дизъюнктивной формулы, т.е. одну логическую связь относительно другой. Например, распределениедизъюнкции относительно конъюнкции: «Завтра тепло или послезавтра будет холодно и дождь, тогда и только тогда, когда завтра будет тепло или послезавтра будет холодно и завтра будет тепло или послезавтра будет дождь». При распределении конъюнкции относительно дизъюнкции: «Сегодня идет дождь и завтра тепло и послезавтра тепло в том и только в том случае, когда сегодня идет дождь и завтра тепло или сегодня идет дождь и послезавтра тепло».

 

12) Закон Клавия

(ØА É A) É A

Если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Например, необходимо доказать утверждение «Квадрат – это правильный четырехугольник, у которого все углы прямые». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что квадрат – это правильный четырехугольник, у которого все углы прямые». Если из этого отрицания следует само утверждение, то это будет означать, что оно истинно.