Глава VI. Дедуктивные умозаключения

Логика

Москва, 2012

 

 

Завражин А.В. Логика: учебное пособие / А.В. Завражин. М.: МЭСИ, 2012. 104 с.

 

Учебное пособие подготовлено в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по курсу «Логика». В нем рассматриваются предмет логики как науки, ее основные категории, методы, законы, а также отношения между ними в процессе мыслительной познавательной деятельности.

Пособие предназначено для студентов высших учебных заведений всех направлений и специальностей, а также аспирантов, преподавателей и всех интересующихся проблемами логики.

 

СОдержание

Глава I. Предмет логики

§1. Становление логики и ее значение……………………….. 5

§2. Предмет логики…………………………………………….. 6

§3. Понятие логической формы……………………………….. 8

§4. Логическое следование и логическая истинность………. 9

Тесты по теме………………………………………………….. 10

 

Глава II. Логика и язык

§1. Язык как знаковая система………………………………... 12

§2. Смысл и значение знака. Виды знаков…………………… 12

§3. Естественные и искусственные языки…………………….14

§4. Семантические принципы………………………………….15

§5. Язык логики высказываний………………………………...17

§4. Основные законы логики…………………………………...19

§5. Логико-семантические парадоксы…………………………22

Тесты по теме……………………………………………………24

 

Глава III. Понятие

§1. Общая характеристика понятий. Виды понятий…………..29

§2. Булевы операции над понятиями…………………………...32

§3. Отношения между понятиями по объему………………….33

§4. Обобщение и ограничение понятий………………………..34

§5. Деление и классификация………………………………….. 35

Тесты по теме…………………………………………………… 37

 

Глава IV. Определение

§1. Определение и приемы, сходные с ним…………………… 39

§2. Явные и неявные определения……………………………...40

§3. Реальные и номинальные определения…………………….42

§4. Правила определения………………………………………..43

Тесты по теме…………………………………………………….44

 

Глава V. Суждение

§1. Простые суждения и их виды……………………………….46

§2. Сложные суждения и их виды………………………………49

§3. Отрицание суждения………………………………………...50

§4. Отношения между суждениями…………………………….51

Тесты по теме…………………………………………………….52

Глава VI. Дедуктивные умозаключения

§1. Умозаключение. Основные способы умозаключений…….55

§2. Классическое исчисление высказываний…………………..57

§3. Непосредственные умозаключения…………………………61

§4. Простой категорический силлогизм……………………… 65

§5. Антимемы и полисиллогизмы……………………………… 67

Тесты по теме……………………………………………………. 69

 

Глава VII. Индуктивные умозаключения

§1. Обобщающая индукция и ее виды………………………... 72

§2. Статистическая индукция……………………………………75

§3. Методы установления причинных зависимостей…………. 77

§4. Умозаключения по аналогии……………………………….. 79

Тесты по теме……………………………………………………. 81

Глава VIII. Логические основы аргументации

§1. Аргументация и доказательство…………………………… 83

§2. Опровержение и критика…………………………………... 85

§3. Основные правила аргументации…………………………. 90

Тесты по теме…………………………………………………….94

Словарь логических терминов …………………………………. 96

Литература и интернет – ресурсы …………………………….. 104

Глава I. Предмет логики

Становление логики и ее значение

Слово «логика» происходит от древнегреческого «lоgоz» что переводится как «разум», «мысль», «рассуждение». Логика является одной из самых древних наук на Земле. Она возникла как часть науки об ораторском искусстве – риторики, с целью построения правильной, последовательной и убедительной речи. Кроме этого логика широко использовалась в практике судопроизводства ибо от логической доказательности речи обвиняемого или обвинителя часто зависело решение суда – особенно в сложных и запутанных правовых ситуациях. Неумение четко и ясно формулировать свои мысли, изобличать подвохи и «ловушки» своих оппонентов могло стоить оратору очень дорого. Этим пользовались так называемые софисты – платные учителя мудрости. Непросвещенной публике они могли «доказать» что белое – это черное, а черное – это белое. В последующем этому искусству они обучали всех желающих, но уже за большие деньги.

Отсюда внешне правильное рассуждение, содержащее какую-то скрытую уловку, стало называться в логике софизмом. В процессе аргументации умение разоблачать софизмы необходимо, но все же недостаточно. Особенно если речь идет о научной аргументации, целью которой является не победа в споре, а отыскание истины.

В эпоху античности в логике особо нуждались естественные науки. В рамках физики, геометрии, биологии постепенно вырабатывались самые разнообразные познавательные приемы, которые необходимо было методологически обосновать, синтезировать.

Этим занимались многие философы и мыслители Древней Греции. Однако как стройная научная теория логика впервые сформировалась в IV в. до н.э. в трудах выдающегося древнегреческого философа-энциклопедиста Аристотеля (384 г. до н.э. – 322 г. до н.э.). Логические трактаты Аристотеля – «Категории», «Об истолковании», Первая и Вторая «Аналитики», «Топика» и «О софистических рассуждениях» – были объединены его последователями под общим названием «Органон». Слово «органон» по-гречески означает «орудие», и для самого Аристотеля логика, прежде всего, выступает как орудие, инструмент рационального познания.

Аристотелевскую логику часто называют «каноном», то есть правилом, образцом. Она не только объясняет, как должна строиться любая наука, но и сама показывает пример строгой научности и рациональности.

Основной целью логики Аристотеля являлось изучение диалектики бытия и истины. Слово, взятое само по себе, – нейтрально. Оно не может быть ни истинным, ни ложным. Только при соединении (утверждении) или разъединении (отрицании) слов, когда образуются суждения и умозаключения, они приобретают характер истинности или ложности. По Аристотелю критерием истинности являются два: материальный и формальный. Под первым он понимал соответствие наших высказываний реальной действительности, окружающему миру. Это может быть проверено с помощью опыта. Формальный критерий истины означает соответствие принципов мышления основным законам логики. При этом он выделял три логических закона: тождества, противоречия, исключенного третьего.

С именем Аристотеля связана разработка основных категорий логики: понятие, суждение, определение, силлогизм, умозаключение, отношения между ними, роль индукции, которая по сравнению с дедукцией является более наглядным логическим методом и др.

Значение логики в познавательной, мыслительной деятельности будущих специалистов трудно переоценить. Умение логически мыслить, аргументировано отстаивать и обосновывать полученные теоретические знания позволяет им приобрести навыки, умения, выработать профессиональные компетенции, необходимые для предстоящей практической деятельности. Все это позволяет:

1.Логически верно, доказательно выражать свои мысли, правильно формулировать высказывания, предложения в быстро меняющейся информационной среде с использованием современных компьютерных технологий.

2.Критически относиться к получаемой информации, квалифицировать логические ошибки, умело и эффективно использовать получаемые знания, опираясь на логические законы, правила и операции в своей учебной и научно-исследовательской работе.

3.Правильно, логически обоснованно принимать решения для осуществления поставленной цели и выполнения учебных, исследовательских и профессиональных задач.

Это формирует логическую культуру познавательной и мыслительной деятельности выпускника высшего учебного заведения.

Предмет логики

В понятии «логика» в настоящее время выделяется несколько значений: объективная и субъективная логика. Если объективная логика изучает закономерности развития и взаимосвязи предметов и явлений окружающей нас действительности, то субъективная – законы человеческого мышления. Эта последняя характеристика логики как науки изучается в процессе мышления, познавательной мыслительной деятельности человека.

В мыслительной деятельности выделяют форму и содержание. Если содержание – информация о конкретном предмете, объекте познания, то форма – структура мысли, способы связи, раскрывающие эту информацию. В связи с этим предметом логики выступают логические формы как способы связи познавательной деятельности, представляющие ее содержание.

Важно подчеркнуть, что между мыслями существуют связи, которые зависят от их логических форм. Эти связи, обусловливающие истинность одной мысли по отношению к другой, называются формально-логическими законами. Подобная связь представляет собой логический закон. Законы логики – это нормы, в соответствии с которыми должны осуществляться рассуждения, высказывания.

Следовательно, логика – это нормативная наука о формах и приемах интеллектуальной познавательной деятельности, осуществляемой с помощью языка. Она включает в себя изучение познания как процесса.

Познание – это процесс отражения действительности в сознании человека в виде образов, целью которого является получение адекватных знаний о мире. В познании выделяются две ступени: чувственная и рациональная.

Чувственное познание осуществляется с помощью анализаторов (органов чувств). Его основные формы – ощущение, восприятие и представление – являются чувственными образами конкретных предметов и явлений реальной действительности.

Рациональное познание осуществляется на основе нашего разума. При этом его основными формами выступают: понятие, суждение, умозаключение. На этой ступени происходит анализ, обобщение и систематизация данных чувственного опыта. Именно эта ступень познания лежит в основе логики.

Понятие – это мысль, которая посредством указания на некоторый признак выделяет из универсума и собирает в класс (обобщает) предметы, обобщающие этим признаком. В языке понятия выражаются посредством описательных терминов, которым придан строго фиксированный смысл.

Суждение – это мысль, содержащая утверждение о наличии или отсутствии в действительности некоторых свойств в предметах и явлениях. Суждения выражаются в логике с помощью повествовательных высказываний, которые можно оценить как истинные или ложные знания.

Умозаключение – это логическая форма получения нового знания (вывода) из мыслительной связи нескольких истинных суждений.

Гипотеза - это такое знание, истинность или ложность которого необходимо установить. Научная гипотеза всегда должна соответствовать принципам научного подхода к объяснению окружающей действительности. Учитывать установленные наукой факты и закономерности. Обладать способностью к проверке ее на практике.

Итогом процесса познания выступает теория как особая форма научного знания, в которой содержится обобщенное знание об окружающем мире.

Необходимо отметить, что с точки зрения логики научная теория должна обладать двумя важными свойствами: полнотой и непротиворечивостью. Теория называется непротиворечивой, если в ней можно доказать только те утверждения, которые являются истинными на данной предметной области. Теория называются полной, если в ней можно доказать все утверждения, которые являются истинными для данной сферы.

 

 

Понятие логической формы

Логика не только описывает различные приемы познания, но и формулирует критерии их правильности. Какие рассуждения можно считать правильными? Каким требованиям должны удовлетворять определение, вопрос, классификация и т.д.?

Ответ на эти вопросы должен быть достаточно общим, чтобы охватить все осуществляемые человеком познавательные операции, независимо от их содержания. Это возможно лишь в том случае, если при изучении человеческого мышления исследовать не его содержание, а форму – то есть наиболее общее и существенное.

Поскольку мышление всегда осуществляется в языке, выявление логической формы начинается с анализа того или иного языкового контекста. В качестве такового могут выступать отдельное словосочетание, простое или сложное предложение, а также рассуждение, строящееся из набора простых или сложных предложений.

Логической формой некоторого языкового контекста называют способ связи содержаний его частей. Выявить логическую форму понятия, суждения, умозаключения – значит раскрыть его внутреннюю структуру, которая остается в результате отвлечения от содержания нелогических (дескриптивных) выражений, входящих в его состав.

Отметим, что логическую форму контекста можно выявлять по-разному, на более или менее глубоком уровне анализа. Способ выявления логической формы обусловлен тем, какие типы языковых выражений считаются логически важными, существенными, а какие – нет. Несущественные с точки зрения логики выражения заменяются при анализе специальными буквами – параметрами.

Отвлекаясь от смысла входящих в это рассуждение простых высказываний и обозначая их буквами А, В, С, мы получаем:

Либо А, либо В.

Если А, то С.

Если В, то С.

С

 

Этого достаточно, чтобы увидеть правильность сделанного вывода. Действительно, при любых А, В и С подобная структура рассуждения гарантирует истинность заключения при условии истинности посылок.

Однако, порой приходится осуществлять более глубокий анализ, вникая во внутреннюю структуру простых высказывания и учитывая смысл таких слов как «все», «некоторые», «являются», «не являются», «необходимо», «возможно», «разрешено», «запрещено» и т.д. Таким образом, логическая форма – понятие относительное. Какая часть содержания языкового контекста является логически существенной, а какая нет, мы определяем исходя из стоящих перед нами познавательных задач.

В практике повседневных рассуждений часто бывает так, что логически важная информация упоминается лишь вскользь, между строк, а второстепенная – наоборот, подчеркивается и выдвигается на первый план. Поэтому надо уметь не только видеть существенное, но и отвлекаться от несущественного.

Понятие логической формы является фундаментальным для логики. Через него определяются понятия логического следования, логической истинности, логического закона и др.

 

Глава II. Логика и язык

 

Язык как знаковая система

 

Язык – это система знаков, предназначенная для фиксации, хранения, переработки и передачи информации.

Знак – это объект, используемый интерпретатором в процессе познания или общения в качестве представителя какого-либо другого объекта.

Роль знаков в познании исследовал еще Аристотель. Этой проблемой занимались Лейбниц и другие ученые. В XIX веке, в связи с запросами логики и лингвистики возникает специальная наука о знаках – семиотика, основы которой заложил Чарльз Сандерс Пирс (1839-1914). Предметом этой науки является знаковая ситуация (семиозис), состоящая из трех элементов: знак, обозначаемое, интерпретатор.

В качестве «знаков» могут выступать произнесенные вслух или написанные слова и словосочетания, графические символы, жесты, сигналы и т.п. Например, словосочетание «основатель теории атомизма» служит знаком Демокрита, символ «+» в языке арифметики – знаком операции сложения, краный сигнал светофора – знаком того, что движение запрещено.

«Обозначаемым» в логике называют все, что мы можем мыслить, все, что может стать объектом нашего рассмотрения – конкретные материальные индивиды, абстрактные объекты, свойства, отношения, функции, множества, процессы, явления, события, состояния и т.п.

В качестве «интерпретатора» может выступать отдельное лицо, группа людей или общество в целом. Иногда этот термин трактуют расширительно, допуская, что интерпретацию могут осуществлять не только люди, но также животные, роботы и т.п.

Язык как знаковую систему можно рассматривать в трех аспектах, каждый из которых исследуется в специальном разделе семиотики.

1) Синтаксис изучает отношения между самими знаками (правила построения и преобразования выражений языка и т.д.)

2) Семантика исследует отношения знаков к представляемым ими объектам (правила придания смысла и значения правильно построенным выражениям языка).

3) Прагматика изучает отношение интерпретатора к знакам, а также отношения между интерпретаторами в процессе языкового общения (правила и приемы практического использования знаков людьми).

 

Семантические принципы

 

Принцип однозначности: каждое имя должно иметь только одно значение (экстенсионал). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «подмена значения».

Существование Плутона было доказано астрономами.

Плутон – это бог.

Существование бога было доказано астрономами.

 

Здесь слово «Плутон» используется в двух значениях: в первой посылке имеется в виду планета Солнечной системы, во второй – божество из древнегреческой мифологии. Когда значения слова различаются столь явно, подмену заметить легко. Но если они хотя бы частично совпадают друг с другом, например одно является обычным, а другое – расширительным (или, наоборот, специализированным), ошибка может остаться незамеченной. Иногда подмена значения производится в несколько шагов, каждый из которых сам по себе не вызывает подозрения.

Принцип предметности: предложение должно говорить о предметах, обозначаемых входящими в него именами (а не о самих этих именах). С нарушением этого принципа связана ошибка, которую называют «автонимное употребление имен».

Сравните два предложения: 1) Стул – это предмет мебели, 2) Стул – это существительное. В первом слово "стул" употребляется правильно, поскольку речь идет о предмете, а во втором – автонимно, поскольку речь идет о самом этом слове. Чтобы избежать подобных ошибок, надо всегда использовать кавычки в тех случаях, когда требуется сказать что-то о выражениях языка. Предложение «"Стул" – это существительное» построено правильно. Если же пренебречь кавычками, мы рискуем получить довольно нелепый вывод:

Стул – это существительное.

Некоторые стулья имеют четыре ножки

Некоторые существительные имеют четыре ножки.

Принцип взаимозаменимости: при замене имен с одинаковым значением, предложение, в котором эта замена осуществляется, не должно изменять свое истинностное значение (истинное предложение должно оставаться истинным, а ложное – ложным).

Пусть дано предложение «Земля вращается вокруг Солнца». Заменим «Солнце» на «центральное тело Солнечной системы». Очевидно, что значения этих выражений совпадают. В результате такой замены из истинного предложения получаем другое истинное предложение: «Земля вращается вокруг центрального тела Солнечной системы».

Принцип взаимозаменимости кажется самоочевидным, однако существуют языковые контексты, в которых замена равного равным приводит к противоречию. Рассмотрим предложение «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли». Он считал, что это истинно. Проверим это. Заменим слово «Солнце» на выражение «центральное тело солнечной системы», имеющее то же значение. Получим заключение: «Птолемей считал, что центральное тело солнечной системы вращается вокруг Земли», которое является абсурдным.

В логике подобные ситуации известны как «антиномии отношения именования» – они возникают, когда некий объект известен (приятен, доступен и т.д.) субъекту в одном аспекте, и неизвестен (неприятен, недоступен и т.д.) в другом. Отсюда порой проистекает кажущаяся несовместимость двух обозначений одного и того же объекта.

Как же сохранить принцип взаимозаменимости и избежать антиномий? Следует различать два способа употребления языковых выражений. Первый – экстенсиональный, при котором выражения просто выделяют предметы. Второй – интенсиональный: предметы, обозначаемые выражениями, рассматриваются в определенном смысле, аспекте (показателем чего могут служить так называемые эпистемические операторы – слова «знает» «верит», «ищет», «думает» и т.п.). Если выражение употребляется в определенном аспекте, то его можно заменить другим выражением с тем же значением, только если во втором выражении предметы рассматриваются в том же аспекте.

 

 

Язык логики высказываний

Логика высказываний (пропозициональная логика) – это раздел логики, изучающий способы построения и логическую структуру высказываний, отношения между ними и выводы, полученные с помощью логических операций конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквиваленции, отрицания и т.д. Часто в логике это обозначается КЛВ – классическая логика высказываний. Алфавит логики высказываний включает в себя четыре вида символов:

 

1) пропозициональные переменные – p, q, r, s,...

2) пропозициональные связки – Ø, &, Ú, Ú, É, º

3) скобки – (…)

4) запятая -,

 

Пропозициональные переменные замещают собой простые высказывания. Например, высказывание «идет снег» можно обозначить символом p, высказывание «метет метель» – символом q, и т.д. Пропозициональные связки предназначены для того, чтобы объединять простые высказывания в более сложные. К ним относятся:

 

Ø – отрицание («не»; «неверно, что», «неправда, что» и т.п.)

& – конъюнкция («и», «а», «но», «хотя», и т.п.)

Ú – дизъюнкция («или», «по крайней мере одно из двух» и т.п.)

Ú – строгая дизъюнкция («либо-либо», «только одно из двух» и т.п.)

É – импликация («если, то», «значит», «вытекает» и т.п.)

º – эквиваленция («если и только если», «равнозначно» и т.п.)

 

Формулами в языке КЛВ называютзначимые выражения. Пропозициональные переменные сами по себе уже являются (атомарными) формулами. Более сложные формулы получаются из атомарных с использованием связок.

Определение формулы. (1) Пропозициональные переменные являются формулами. (2) Если А и В – формулы, то ØА, А&В, АÚВ, А Ú В, АÉВ, АºВ – тоже формулы. (3) Ничто другое не является формулой.

 

Упражнение 1. Расставьте пропущенные скобки в следующих формулах:

а) p Ú Ø q & r É s & q Ú Ø p º Øs É q Ú r

б) p & q º r & s Ú q Ú Ø p É Øs Ú q & r

 

Переводить высказывания с обычного языка на естественный не трудно. Пусть, например, р означает «Иван-царевич любит Марью», q – «Марья любит Ивана-царевича», r – «Марья красивая», s – «Иван-царевич храбрый». Тогда переводом следующих высказываний будут формулы:

 

– «Иван-царевич храбрый и любит Марью» s & p

– «Неверно, что Марья некрасивая

или Иван-царевич ее не любит» Ø(Ør Ú Øp)

– «Если Марья красива, а Иван-царевич храбр,

то они любят друг друга» (r&s) É (p&q)

 

Семантика языка КЛВ основана на двух принципах:

 

1) Принцип бивалентности. Каждая пропозициональная переменная, замещающая собой простое предложение, может быть либо истинной, либо ложной. Истинность будем обозначать как 1, ложность – как 0.

2) Принцип композициональности. Истинностное значение сложной формулы есть функция от истинностных значений входящих в нее переменных.

 

Таким образом, каждая пропозициональная связка трактуется как истинностно-истинностная функция. Для наглядности воспользуемся таблицей истинности:

 

p	q	Øp	p&q	pÚq	p Ú q	pÉq	pºq

 

Рассмотрим на примере, как строится таблица истинности для произвольной формулы. Пусть нам дано высказывание: «Если Иван-царевич и Марья любят друга, то неверно, что по крайней мере один из них не любит другого». Его переводом на язык КЛВ будет формула: (p&q) É Ø(ØpÚØq).

 

Алгоритм построения таблицы истинности:

1) Определить число строк (оно вычисляется по формуле k = 2ⁿ, где k – количество строк, а n – число различных пропозициональных переменных, входящих в формулу).

2) Задать все комбинации совместной истинности/ложности пропозициональных переменных[1].

3) Вычислить (построчно) значение каждой подформулы и формулы в целом (используя данное выше табличное определение пропозициональных связок).

 

p	q	Øp	Øq	p&q	ØpÚØq	Ø(ØpÚØq)	(p&q) É Ø(ØpÚØq)

 

В данной таблице всего четыре строки, поскольку формула содержит лишь две переменные – p и q. Первые два столбца задают все возможные комбинации совместной истинности и ложности этих переменных. Следующие пять столбцов показывают, каким будет значение каждой подформулы в той или иной строчке. Последний (результирующий) столбец показывает значение всей формулы в целом.

В зависимости от того, каким является результирующий столбец таблицы, выделяют три вида формул: тождественно-истинные, тождественно-ложные и логически случайные.

Тождественно-истинной (общезначимой) называется формула, принимающая значение «1» во всех строках таблицы.

Тождественно-ложной (невыполнимой) называется формула, принимающая значение «0» во всех строках таблицы.

Логически случайной (собственно выполнимой) называется формула, принимающая в некоторых строках таблицы значение «1», а в некоторых – «0».

В приведенном примере формула является тождественно-истинной. Она истинна всегда, независимо от того, истинны или ложны входящие в нее пропозициональные переменные. Другими словами, данная формула выражает собой логический закон.

Упражнение 2. установите табличным способом, к каким видам относятся следующие формулы:

а) Ø(p & q) º (Øp & Øq)

б) (p É q) É (Øq É Øp)

в) (p º q) & (p Ú q)

 

Основные законы логики

 

Законом логики называется сложное логическое высказывание, истинность которого не зависит от составляющих его логических отношений. Они составляют основу мыслительного процесса и обусловливают правильность рассуждений. Правильно размышлять означает рассуждать в соответствии с законами логики.

В КЛВ понятие закона совпадает с понятием тождественно-истинной формулы. Наиболее часто в практике рассуждений используются следующие законы КЛВ:

 

1) Закон тождества

А É А

Если высказывание истинно, то оно истинно. Например, «Все профессора есть профессора».

2) Закон непротиворечия

Ø(А &ØА)

Два противоречащих друг другу высказывания не могут быть одновременно истинными. Например, «Небо - голубое» и «Неверно, что небо голубое».

 

3) Закон исключенного третьего

А Ú ØА

Из двух противоречащих друг другу высказываний по крайней мере одно истинно. Например, «Экзамен по логике можно сдать или не сдать». То есть третьего не дано.

 

4) Закон двойного отрицания

ØØА É А

Двойное отрицание высказывания равнозначно его утверждению.

Например, «Он не может не знать логику». Значит – он знает логику.

 

5) Закон достаточного основания

А есть потому, что есть В

Всякая мысль может быть признана истинной только тогда, когда

она имеет достаточное основание. Например, «Это вещество

является электропроводным, потому что оно – металл».

 

6) Закон утверждения консеквента

А É (В É А)

Заведомо истинное высказывание вытекает из чего угодно. Например, «Солнце всходит на востоке, а заходит на западе – так говорила мне бабушка».

 

7) Закон отрицания антецедента (или Закон Дунса Скота)

ØА É (А É В)

Из заведомо ложного высказывания вытекает что угодно.

Например, «Если он миллиардер, тогда я арабский шейх».

 

8) Законы Де Моргана

Ø(А & В) É ØАÚØВ

Отрицание конъюнкции равнозначно дизъюнкции двух отрицаний.

Например, «Неверно, что сегодня не холодно и не сыро» означает «Сегодня холодно или сыро».

Ø(А Ú В) É ØА & ØВ

Отрицание дизъюнкции равнозначно конъюнкции двух отрицаний.

Например, «Неверно, что идет дождь или идет снег» означает «Сегодня нет дождя и нет снега».

9) Закон контрапозиции

(A É В) É (ØВ É ØА)

Если из одного высказывания вытекает второе, то из отрицания второго вытекает отрицание первого. Например, «Если вода замерзла, то на улице – морозно» и «Если на улице не морозно, то и вода не замерзла».

 

10) Закон транзитивности импликации

((AÉВ) & (ВÉС)) É (АÉС)

Если из одного высказывания вытекает второе, а из него – третье, то и из первого высказывания вытекает третье. Например, «С наступлением весны днем становится солнечнее и теплей. Когда днем становится солнечнее и теплей тает снег. Следовательно, можно сказать, что с наступлением весны тает снег».

 

11) Законы дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции и наоборот

А Ú (В & С) É (А Ú В) & (А Ú c)

А & (В Ú С) É (А & В) Ú (А & c)

Они позволяют пронести дизъюнкцию внутрь конъюнктивной формулы, а конъюнкцию – внутрь дизъюнктивной формулы, т.е. одну логическую связь относительно другой. Например, распределениедизъюнкции относительно конъюнкции: «Завтра тепло или послезавтра будет холодно и дождь, тогда и только тогда, когда завтра будет тепло или послезавтра будет холодно и завтра будет тепло или послезавтра будет дождь». При распределении конъюнкции относительно дизъюнкции: «Сегодня идет дождь и завтра тепло и послезавтра тепло в том и только в том случае, когда сегодня идет дождь и завтра тепло или сегодня идет дождь и послезавтра тепло».

 

12) Закон Клавия

(ØА É A) É A

Если из отрицания некоторого высказывания вытекает само это высказывание, то оно является истинным. Например, необходимо доказать утверждение «Квадрат – это правильный четырехугольник, у которого все углы прямые». Отрицание этого утверждения: «Неверно, что квадрат – это правильный четырехугольник, у которого все углы прямые». Если из этого отрицания следует само утверждение, то это будет означать, что оно истинно.

Какой принцип нарушен?

1. Рассуждение «Материя бесконечна. Мистеру N не хватило материи на штаны. Значит, его штаны больше, чем бесконечность» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

2. Рассуждение «Уголовный жаргон состоит из табуированной лексики. Табуированная лексика – это научное выражение. Значит, уголовный жаргон состоит из научных выражений» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

3. Рассуждение «Птолемей считал, что Солнце вращается вокруг Земли. Солнце – это центральное тело Солнечной системы. Следовательно, Птолемей считал, что центральное тело Солнечной системы вращается вокруг Земли» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

4. Рассуждение «На экзамене по математике студент не смог связать диаметр цилиндра с его объемом. Диаметр и объем – это два слова. Значит, на экзамене студент не смог связать двух слов» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

5. Рассуждение «Нептун – бог морей. Существование Нептуна было доказано астрономами. Следовательно, существование одного из богов было доказано астрономами» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

6. Рассуждение «Шлиман искал местоположение Трои. Местоположение Трои – это холм Гиссарлык. Следовательно, Шлиман искал холм Гиссарлык» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

7. Рассуждение «Мышь грызет книгу. Мышь – имя существительное. Значит, некоторые имена существительные грызут книги» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

8. Рассуждение «Кеплер не знал, что число планет Солнечной системы больше семи. На самом деле число планет Солнечной системы равно девяти. Следовательно, Кеплер не знал, что девять больше семи» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

9. Рассуждение «Теплое пальто согревает человека в плохую погоду. Пальто – это слово. Следовательно, некоторые теплые слова согревают человека в плохую погоду» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

10. Рассуждение «На суде преступник попросил: «Дайте мне срок, и я исправлюсь!». Ему дали срок – пятнадцать лет. Значит, его просьба была выполнена» нарушает принцип

1. однозначности

2. предметности

3. взаимозаменимости

 

Парадоксальные задачи

1. Экзаменатор говорит нерадивому студенту: «Угадайте, какую оценку я вам поставлю. Если угадаете, получите 3, если не угадаете – 2.» Однако ответ студента поставил преподавателя в тупик. Он не смог поставить ему ни 2, ни 3, потому что студент сказал «Вы поставите мне …»

a) 5

b) 4

c) 3

d) 2

2. В древности жили два мастера – Беллини и Челлини. Первый из них всегда гравировал на своих шедеврах истинные надписи, а второй – ложные. Археологи раскопали шкатулку, на которой было выг