Обобщающая индукция и ее виды

 

Довольно часто в логике применяются способы умозаключения, приводящие к получению принципиально новой информации. При этом мы используем имеющиеся в посылках сведения как «подсказку», «намек», наводящий на мысль о возможности принятия некоторого умозаключения. Высказывание в этом случае строится следующим образом: если информация, содержащаяся в посылках A₁, …, A_n верна, то правдоподобно было бы считать, что верно и В.

A₁, …, A_n ú»В

Такие умозаключения получили название индуктивных (от лат. «inductio» – «наведение»), или правдоподобных.

К числу правдоподобных умозаключений относятся собственно обобщающая индукция, методы установления причинных зависимостей (исключающая индукция) и аналогия.

Под обобщающей индукцией понимаются такие умозаключения, в которых переходят от знания об определенных предметах некоторого класса к знанию обо всех предметах этого класса, то есть от единичных или частных утверждений к общим. Различают полную и неполную индукцию.

Полная обобщающая индукция – это умозаключение от знания об отдельных предметах некоторого класса, при условии исследования каждого предмета, входящего в этот класс, к знанию обо всех предметах этого класса. Полная индукция, по методу обоснования вывода, делится на: математическую и эмпирическую.

Математическая индукция – способ рассуждения, который часто используется в дедуктивных науках (логике и математике). Он применяется в тех случаях, когда исследуемый класс S задан индуктивным определением. Как вы помните, индуктивное определение состоит в том, что первоначально некоторые объекты прямо объявляются принадлежащими данному классу S. Все же остальные объекты порождаются из исходных с помощью каких-либо процедур f₁…f_n. Чтобы доказать наличие у всех предметов класса S свойства Р, применяют следующую схему рассуждения:

1. х₁ есть P базис индукции

2. S = {х₁, f₁(х₁), …, f_n(х₁)} индуктивное определение класса S

3. "х"f_j (х есть P) É (f_j(х) есть Р) индуктивный шаг

SaP индуктивное обобщение

Допустим, нам надо доказать, что все четные числа делятся на два. Воспользуемся индуктивным определением класса четных чисел: (1) 2 есть четное число, (2) все остальные четные числа получаются с помощью применения к двойке операций «f₁(x) = х+2» или «f₂(x) = х–2» n-го числа раз. Базис индукции очевиден: 2 делится на два. Индуктивный шаг состоит в том, что если некое число х делится на два, то х+2 и х–2 тоже делятся на два. Вывод: все четные числа делятся на два.

Математическая индукция дает достоверное знание. Всеобщность вывода определяется здесь знанием законов порождения исследуемого класса объектов.

Полная эмпирическая индукция достигает всеобщности вывода другим путем – сплошной эмпирической (опытной) проверкой исследуемого класса. Логическая схема этого способа рассуждения такова:

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

n+1. M = S

SaР индуктивное обобщение

 

Достоверность заключения по полной обобщающей эмпирической индукции определяется тем, что условная вероятность вывода при данных посылках равна 1. Ведь множество исследованных предметов М совпадает с классом S, о котором идет речь в заключении, а при m = s величина 1/2^s-m равняется единице.

Полная эмпирическая индукция является ограниченным познавательным приемом. Во-первых, она может применяться лишь в тех случаях, когда класс S конечен и легко обозрим. Чтобы доказать полной индукцией, что все рыбы дышат жабрами, пришлось бы выловить всех рыб, а это в принципе невозможно.

Во-вторых, даже если класс S конечен, сплошная его проверка иногда требует таких огромных затрат, на которые общество не может пойти. Например, для установления того, что все граждане страны испытывают единодушное согласие по поводу какого-то важного государственного вопроса, можно провести поголовное голосование – референдум. Однако эта процедура требует больших затрат времени, материальных и людских ресурсов.

Как в теории, так и на практике возникают различные причины, по которым сплошная проверка бывает невозможной. В таких случаях применяется процедура неполной обобщающей индукции. Обобщающая индукция называется неполной, если в ней осуществляется частичная проверка предметов исследуемого класса.

Неполная обобщающая индукция делится на: популярную и научную. Схема популярной индукции имеет следующий вид:

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

n+1. MÌ S

SaР индуктивное обобщение

 

Отличие популярной индукции от полной состоит в n+1-ой посылке. При полной индукции класс М в точности совпадает с классом S. При индукции популярной он составляет лишь часть этого класса. Ясно, что истинность заключения в данном случае является проблематичной. Ведь среди непроверенных предметов из S могут быть и такие, которые свойством Р не обладают.

Пример ложного заключения, полученного посредством популярной индукции, – предложение «Все волки серы».

Рассматриваемое рассуждение называется популярной (народной) индукцией в силу своей наивной простотой. Эта простота проявляется прежде всего в том, что на наличие свойства Р проверяются первые попавшиеся объекты. После чего проводится поспешное обобщение – типичная ошибка индуктивного рассуждения. Однако вывод по неполной индукции можно существенно усовершенствовать и добиться повышения степени правдоподобности получаемых результатов.

Научная индукция проверяет на наличие свойства Р не первые попавшиеся предметы класса S, а те из них, которые специально отобраны для этой цели. При этом весь исследуемый класс S называют генеральной совокупностью, а множество отобранных из него образцов – выборкой. Выборка подвергается сплошной проверке, а затем полученный результат переносится на всю генеральную совокупность.

Для надежного обосновани я такого переноса требуется, чтобы выборка была репрезентативной. Это означает, что выборка должна достаточно точно передавать структуру класса S, разнообразие его состава, и в частности, те его особенности, которые могут влиять на отсутствие свойства Р. В таких случаях условимся говорить, что М репрезентирует S, сокращенно M @ S. Схема научной индукции такова:

 

D IDAwDU8Pe+Nm9F6xAFZxwtb93hEhuz0El8rjQZV6fr5eQVk/5vF8PVvP0kE6mq4HaVwUg4fNKh1M N8ndpBgXq1WR/PSpJWlWCca48tmdVZ6kf6eift46fV50fsPihuwmPC/JRrdphBIDl/M7sAt68hLq NLfV7ARyMrobW7hmYFNp8x2jFkY2x/bbnhiOkXynYCbmSZr6GQ+HdHI3goO5tmyvLURRgMqxw6jb rlx3L+ybIC1QZGir0n4eSuHOeu+y6sUPYxkY9FeIn/vrc/D6fdEtfwEAAP//AwBQSwMEFAAGAAgA AAAhAJ583/DgAAAACgEAAA8AAABkcnMvZG93bnJldi54bWxMj8tOwzAQRfdI/IM1SOyogyuFKI1T FRAbHqoolVB3TjKNI/yIbLcJf8+wguXMHN05t1rP1rAzhjh4J+F2kQFD1/pucL2E/cfTTQEsJuU6 ZbxDCd8YYV1fXlSq7Pzk3vG8Sz2jEBdLJUGnNJacx1ajVXHhR3R0O/pgVaIx9LwLaqJwa7jIspxb NTj6oNWIDxrbr93JSjge9NI/vz6+NDZ8vu3N/WbbTL2U11fzZgUs4Zz+YPjVJ3WoyanxJ9dFZiSI u4y6JAnLXAAjQBQFLRoicyGA1xX/X6H+AQAA//8DAFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEB AAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9 If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9yZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhAIAG W8eCAgAAMAUAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRycy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAh AJ583/DgAAAACgEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAA3AQAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAE APMAAADpBQAAAAA= "/>1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. эмпирические факты о классе М ={x₁, …, x_n}

.

.

n. x_n есть P

МaР полная индукция

n+1. M @ S утверждение о репрезентативности выборки

SaР индуктивное обобщение

 

Добиться репрезентативности выборки можно двумя различными способами. Первый способ основан на выдвижении некоторых гипотез о том, в силу каких причин у предметов исследуемого класса может отсутствовать свойство Р. Например, если проверяется доброкачественность партии молочных продуктов, то отсутствие этого свойства (недоброкачественность) может зависеть от срока хранения продукта, от условий его хранения, от того, какое предприятие выпустило продукцию, и других параметров. Именно такие «подозрительные» образцы включаются в выборку и подвергаются проверке. Если гипотезы точно фиксируют все случаи, в силу которых продукция может оказаться недоброкачественной, и если в генеральной совокупности S таковая имеется, то в выборку обязательно попадет какое-то ее количество.

У данного метода два недостатка. Первый связан с тем, что у нас могут отсутствовать хоть какие-то разумные гипотезы для объяснения свойства Р. Второй же состоит в том, что мы можем по тем или иным причинам упустить какой-то важный параметр, от которого зависит отсутствие свойства Р. Тем самым будет делаться определенная систематическая ошибка, которая и приведет к неверным результатам.

Чтобы исключить эти недостатки, применяют второй способ формирования выборки, порождая ее чисто случайным образом. Для этого используют специальные таблицы случайных чисел. Но чтобы такая случайная выборка оказалась репрезентативной, она должна быть достаточно объемной. Согласно закону больших чисел, закономерности, которым подчиняются массовые явления, обнаруживаются лишь при достаточно большом числе наблюдений.

 

Статистическая индукция

 

Статистической называется обобщающая индукция, при которой устанавливается относительная частота обладания свойством Р для произвольного предмета из класса S. Символически будем обозначать эту частоту величиной d(SP).

По методу статистической индукции осуществляются, например, социологические обследования, где заведомо нереально было бы ожидать, что все люди выскажутся одинаково. В этом случае нас интересует процент людей, которые придерживаются того или иного мнения.

Статистическая индукция также может быть полной и неполной, популярной и научной. Рассмотрим схему неполной научной статистической индукции.

 

1. x₁ есть P

2. x₂ есть P

. факты наличия свойства Р у предметов М

.

.

m. x_m есть P

m+1. x_m+1 не есть P

. факты отсутствия свойства Р у предметов М

.

.

n. x_n не есть P

d(MP) = m/n. полная статистическая индукция

n+1. M @ S утверждение о репрезентативности выборки

d(SP) = m/n. индуктивное обобщение

 

В первых n посылках указаны результаты сплошного обследования предметов из выборки М = {x₁, …, x_n}. Посылки показывают, что из n проверенных предметов только m обладают интересующим нас свойством. Тогда устанавливается относительная частота обладания свойством Р для произвольного предмета из выборки М: d(MP) = m/n. А далее этот результат индуктивно обобщается на всю генеральную совокупность S: d(SP) = m/n.

Например, В автопарке имеется 450 автобусов. В течение года правила дорожного движения нарушили 45 водителей. Тогда относительная частота нарушений равна 45/450 (полная статистическая индукция). Можно предположить, что через пять лет число автобусов в автопарке увеличится до 600 и предсказать, что относительная частота нарушений не изменится. Если этот прогноз сбудется, то годовое число нарушений окажется равно 600 ´ 45/450» 51. При научной статистической индукции выдвигается дополнительное требование к формированию выборки. Состав выборки должен быть пропорционален составу генеральной совокупности. Так, если мужчины в генеральной совокупности составляют 50%, а в выборке они представлены в количестве 99%, то такая выборка нерепрезентативна, если мы хотим выяснить мнение всего общества по какому-то вопросу, а не только мнение мужчин.

Важно подчеркнуть,что при использовании статистических обобщений нельзя путать относительную вероятность наличия некоторого свойства у предметов класса S и действительный порядок распределения этого свойства на множестве S. Например, если среди исследуемых предметов 33% обладают интересующим нас свойством, иногда говорят, что каждый третий предмет им обладает – но это вовсе не означает, что нужно методично отсчитать третий, шестой, девятый предметы и т.д. На подобной игре слов могут строиться разнообразные софизмы.

Упражнение. Определите, является ли правильным следующее рассуждение. Если нет, то почему?

Статистика утверждает, что каждый пятый человек – психически неуравновешенный. Проверьте четырех своих друзей. Если они нормальные, значит, психически неуравновешенным являетесь именно Вы!

 

Практика применения научных форм индукции показывает, что при соблюдении всех методологических требований к формированию репрезентативной выборки надежность этих рассуждений может приближаться к 100%.