Розв’язування задач з теми, зокрема і поглибленого рівня.

Задача 1. Дано АВСD– трапеція (ВС║АD)

A B C ВС=6см, АD=14см.

M N MN – серед.лінія, АС – діаг.

Знайти MN -? МТ-? TN -?

B D

Розв’язок 1) MN = 6+14=10 (см).

2) ΔАВС, МТ ║ВС, М – серед. АВ, то

За теоремою Фалеса Т – серед АС. Отже МТ – середня лінія ΔАВС,

МТ = ½ВС = 3 (см).

3) ΔACD, аналогично TN = ½AD =7 (см).

Відповідь. 10 см,3 см, 7см.

Задача 2. Бісектриси кутів при основі трапеції перетинаються на її другій основі. Доведіть, що друга основа дорівнює сумі бічних сторін трапеції.

Доведення

Нехай ABCD (рис. 1) — дана трапеція (ВС || AD), AK — бісектриса кута BAD. Отже, BAK = KAD. Але оскільки BKA = KAD як внутрішні різносторонні при паралельних прямих ВС і AD і січній АК, то трикутник АВК рівнобедрений з основою АК і АВ = ВК. Аналогічно трикутник KCD рівнобедрений з основою KD i CD = KC. Звідси ВС = ВК + КС = АВ + CD, що й треба було довести.

Задача 3. У рівнобічній трапеції менша основа дорівнює 10 см, бічна сторона — 4 см, а кут між бічною стороною та більшою основою дорівнює 60°. Знайдіть середню лінію трапеції.

Розв'язання

Нехай ABCD (рис. 2) — дана трапеція (AD || BC), AB = CD = 4см, ВС = 10 см, BC < AD, BAD = 60°. Проведемо висоту BF (BF AD). У трикутнику ABF AFB = 90°, ABF = 30°. Отже, AF = АВ = 2 см. Оскільки AD = BC + + 2 AF, то AD = 10 + 4 = 14 см. Отже, середня лінія цієї трапеції (14 + 10): 2 = 12 см.

Відповідь: 12 см.

Задача 4. Сторона трикутника дорівнює 10 см, а одна із серед­ніх ліній — 6 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо периметр даного трикутника дорівнює 30 см.

Розв’язання

За теоремою про середню лінію трикутника одержуємо, що сто­рона, яка лежить проти даної середньої лінії, дорівнює 12 см, тоді третя сторона трикутника: 30 – (10 + 12) = 8 см.

Відповідь: 8 см.

Задача 5. Основи трапеції дорівнюють 6 см і 20 см. Знайдіть довжину відрізка, який сполучає середини діагоналей трапеції.

Розв'язання

Нехай ABCD (рис. 3) — дана трапеція з основами AD = 20 см і ВС = 10 см, точки М і N — середини діагоналей АС і BD відповід­но. У трикутнику ACD проведемо середню лінію MF, паралельну AD. Оскільки точка М — середина АС, то за теоремою Фалеса точка M — середина BD. Тоді MN належить MF. MF = AD = 10 см. Оскільки точка N — середина BD, а точка F — середина CD, то NF — середня лінія трикутника BCD і NF= ВС = 3см. Отже, MN = = MF – NF = 10 – 3 = 7 (см).

Відповідь: 7 см.

Задача 6. Основи трапеції дорівнюють а і b. Визначте довжину відрізків, на які ділить більшу основу пряма, що проходить через середину однієї з бічних сторін паралельно другій бічній стороні трапеції.

Розв'язання

Нехай ABCD (рис. 4) — дана трапеція, у якій AD || ВС, AD = b, ВС = а. Точка L — середина АВ, LP || CD. Проведемо пряму ВК, пара­лельну стороні CD. Отже, LP || ВК. Оскільки точка L — середина АВ, то за теоремою Фалеса АР = = РК. Оскільки ВК || CD, ВС || KD, то чо­тирикутник KBCD — паралелограм і KD = ВС = а. Звідси АР = , PD = .

Відповідь: ; .

Задача 7. Основи рівнобічної трапеції дорівнюють і (). Прямі, які з’єднують середину більшої основи з кінцями меншої основи, переринають діагоналі трапеції в точка і . Знайти довжину відрізка .

Розв’язання

1) Нехай дано трапецію , ;

;

,

(чому?).

2) Розглянемо та

Тому ,

Тоді

3) Аналогічно

Тому ,

,

Звідки

4) Прирівнявши знайдені нами значення маємо:

,

,

5) Розглянемо відношення

,

,

,

Отже

6) Підставивши отримані значення, маємо:

.

Відповідь. .

Задача 8 Довести, що в рівнобічній трапеції, діагональ розбиває трапецію на 4 трикутника з яких два прилеглі до основ, рівнобедрені, а два прилеглі до бічних сторін, рівні між собою.

Доведення

1) Нехай діагоналі трапеції перетинаються в точці .

2) (рівні висоти і основи)

3) Оскільки – рівнобічна трапеція,

, .

, ,

.

Оскільки ,

звідки – рівнобедрені(кути при основі рівні).

 

Добірка задач для проведення самостійних, контрольних робіт.

Самостійна робота

Варіант І

1. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорів­нюють 6 см, 9 см і 10 см. (Відповідь: 50 см.)

2. У рівнобедреній трапеції ABCD основи AD і ВС дорівнюють від­повідно 17 см і 5 см. З вершини В проведено висоту BE. Знайдіть довжину відрізка АЕ. (Відповідь: 6 см.)

3. Діагональ рівнобедреної трапеції утворює з основою кут 28°, а бічна сторона дорівнює меншій основі. Знайдіть кути трапеції. (Відповідь: 56°, 56°, 124°, 124°.)

4. У трапеції ABCD основа AD більша від основи ВС на 6 см, а се­редня лінія дорівнює 7 см. Знайдіть довжини відрізків, на які діагональ АС ділить середню лінію. (Відповідь: 2 см, 5 см.)

5. У трикутнику ABC сторону АВ розділено на три рівні частини і через точки розподілу проведено прямі, паралельні стороні АС. Знайдіть довжини відрізків цих прямих, розташованих між сто­ронами АВ і ВС трикутника, якщо АС = 9 см. (Відповідь: 3 см і б см.)

Варіант II

1. Сторони трикутника дорівнюють 10 см, 12 см і 14 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого — середини сторін даного трикутника. (Відповідь: 18 см.)

2. У рівнобедреній трапеції ABCD висота ВК ділить основу AD на відрізки АК = 4 см і KD = 10 см. Знайдіть основу ВС трапеції. (Відповідь: 6 см.)

3. Діагональ рівнобедреної трапеції утворює з основою кут 54°, а її бічна сторона дорівнює більшій основі. Знайдіть кути трапеції. (Відповідь: 72°, 72°, 108°, 108°.)

4. У трапеції ABCD середня лінія EF перетинає діагональ АС у точ­ці К. Різниця відрізків KF і КЕ дорівнює 3 см. Знайдіть осно­ви трапеції, якщо їх сума дорівнює 18 см. (Відповідь: 6 см, 12 см.)

5. У трикутнику ABC сторону АС розділено на три рівних відрізки і через точки розподілу проведено прямі, паралельні стороні АВ трикутника. Менший із відрізків цих прямих, розташованих між сторонами трикутника, менший за сторону АВ на 8 см. Знайдіть сторону АВ трикутника. (Відповідь: 12 см.)

 

Самостійна робота

Варіант І

1). Діагональ рівнобедреної трапеції утворює з основою кут 32°, а її бічна сторона дорівнює меншій основі. Знайдіть кути трапеції.

 

2). Більша основа рівнобедреної трапеції дорівнює 18 см, а її діа­гональ є бісектрисою гострого кута трапеції. Знайдіть меншу основу трапеції, якщо її периметр дорівнює 54 см.

 

Варіант II

1). У рівнобедреній трапеції діагональ дорівнює більшій основі та утворює з нею кут 38°. Знайдіть кути трапеції.

2). У рівнобедреній трапеції діагональ є бісектрисою кута при осно­ві. Більша основа трапеції дорівнює 26 см, а периметр — 50 см. Знайдіть меншу основу трапеції.

 

 

 

 

Контрольна робота

Кожне правильно розв'язане завдання початкового та середнього рівнів оцінюється в 1 бал, достатнього рівня — в 1,5 бала, високого рівня — в 3 бали.

Варіант І

Початковий рівень

У завданнях 1—3 заповніть пропуски в тексті.

1. Якщо паралельні прямі, які пересікають сторони кута, відти­нають на одній його стороні ______ відрізки, то вони від­тинають __________ відрізки й на __________ його стороні.

2. Відрізок, що сполучає ________ двох сторін трикутника, на­зивається _______________________________ трикутника.

3. Середня лінія трапеції ________________ основам і дорівнює _________ _______________.

Середній рівень

У завданнях 4—6 виберіть правильну відповідь.

4. Якщо ABCD — трапеція, AD || BC, ABC = 140°, CDA = 70°, то:

a) AB = CD; б) BAD = 40°; в) BCD = 100°.

5. Якщо MN — середня лінія трикутника ABC, точка М — сере­динна АС, точка N — середина АВ і MN + BC = 15см, то:

а) ВС = 8см; б) ВС = 9см; в) ВС = 10 см.

6. У трапеції ABCD AB || DC, MN — середня лінія трапеції, точ­ка М — середина AD, точка N — середина ВС. Чому дорівнює сторона DC, якщо АВ = 20 см, MN = 24 см?

а) 28 см; б) 30 см; в) 26 см.

Достатній рівень

7. Основи трапеції відносяться як 5: 6, а їх різниця дорівнює 6 см. Знайдіть середню лінію трапеції.

8. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо різниця двох її кутів дорівнює 50°.

Високий рівень

9. Основи прямокутної трапеції дорівнюють 8 см і 14 см, а один з її кутів дорівнює 135°. Знайдіть меншу бічну сторону трапеції.

 

Варіант II

Початковий рівень

У завданнях 1—3 заповніть пропуски в тексті.

1. Трапецією називається __________, у якого тільки дві проти­лежні сторони _____________.

2. Середня лінія трикутника, що сполучає ____________ двох його сторін, _____________ третій стороні та дорівнює ________________.

3. Паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі та відсікають _______ рівні відрізки, відсікають ___________ і на іншій прямій.

Середній рівень

У завданнях 4—6 виберіть правильну відповідь.

4. Якщо нарисі А ₁ В ₁ || А ₂ В ₂ || А ₃ В ₃і А ₁ А ₂ = А ₂ А ₃, то:

а) А ₁ А ₂ = А ₁ В ₁; б) В ₁ В ₂ = А ₁ В ₁; в) B ₁ B ₂ = B ₂ B ₃.

5. Якщо ABCD — трапеція (АВ || CD), ADC = 80°, то:

a) DAB = 100°; б) ABC = 100°; в) BCD = 80°.

6. Чому дорівнює середня лінія трапеції ABCD, якщо ВС = 5см, AD = 7 см?

а) 2,5 см; б) 3,5 см; в) 6 см.

Достатній рівень

7. Основи трапеції відносяться як 3: 4, а її середня лінія дорівнює 14 см. Знайдіть основи трапеції.

8. Знайдіть кути рівнобічної трапеції, якщо сума двох її кутів до­рівнює 100°.

Високий рівень

9. У рівнобічній трапеції з гострим кутом 60° сума основ дорівнює 86 см, а бічна сторона — 22 см. Знайдіть основи трапеції.