Математика внутри и вне реального мира

Математический подход к проблеме вполне упорядочен. В то время, как в обычных моделях (типа хорошо известной модели броуновского движения, используемой в финансах) вероятность успеха не изменяется с каждым возрастающим шагом, но только накопленное богатство, Артур предлагает модели типа процесса Полна, который является математически очень трудным, чтобы с ним работать, но может быть легко понят при помощи симулятора Монте-Карло. Процесс Полна может быть представлен следующим образом: предположим урну, первоначально содержащую равные количества черных и красных шаров. Вы должны каждый раз предполагать, какой цвет вы вытащите прежде, чем потянетесь за шаром. Здесь игра подстроена. В отличие от обычной урны, вероятность правильного предположения зависит от прошлого успеха так, что вы улучшаете или ухудшаете предположения в зависимости от прошлого результата. Таким образом, вероятность победы увеличивается после прошлых побед, или уменьшается после прошлых потерь. Моделируя такой процесс, можно увидеть огромную вариацию результатов, с удивительными успехами и большим количеством неудач (что мы назвали смещением).

Сравните такой процесс с теми, которые более обычно моделируются, то есть урной, из которой игрок делает выемки с заменой. Скажем, вы играли в рулетку и выиграли. Это увеличило бы ваши возможности выиграть снова?

Нет. В процессе Полна, увеличило бы. Почему это так трудно выразить математически? Потому, что понятие независимости (то есть, когда следующее испытание, не зависит от предыдущего результата) нарушено.

Независимость – вот требование для работы с (известной) математикой вероятности.

 

Что пошло не так, как надо с развитием экономики, как науки? Ответ: существовала группа интеллектуальных людей, которые использовали математику для того, чтобы сообщить себе, что они были строги в своих размышлениях. Кто-то в большой спешке решил представить математические методы моделирования (виновники: Леон Валрас, Джерард Дебрю, Поль Самуельсон), не успев осознать, что либо та математика, которую они использовали, была слишком ограничена для тех проблем, с которыми они имели дело, либо, возможно, что точность языка математики могла заставить людей поверить в решения, которые решениями не являлись (вспомним Поппера и цену слишком серьезного восприятия науки). Действительно, математика, с которой они имели дело, не работала в реальном мире, возможно, потому, что мы нуждаемся в более сложных классах процессов для передачи реальности – и они отказались принять тот факт, что, вероятно, никакая математика не была бы лучше.

Так называемые теоретики комплексности пришли на выручку. Много шума было произведено работами ученых, которые специализировались на нелинейных количественных методах – их Меккой является Институт Санта-Фе около городка Санта-Фе, в Нью-Мексико. Ясно, что эти ученые много работают, пытаясь обеспечить нас замечательными решениями в физических науках и лучшими моделями в смежных социальных науках (хотя ничего удовлетворительного там все же нет). И если они, в конечном счете, не преуспеют, это потому, что математика может оказать только вторичную помощь в нашем реальном мире. Обратите внимание, что другое преимущество моделирования методом Монте-Карло состоит в том, что мы можем получить результаты там, где математика нас подводит и может быть бесполезной. Освобождая нас от уравнений, метод освобождает нас от ловушек низшей математики. Как я сказал в главе 4, в нашем мире случайности математика – это просто способ мышления и медитации, не больше.

 

Буриданов осел или хорошая сторона случайности

Нелинейность в случайных результатах иногда используется как инструмент, ломающий безвыходные положения. Рассмотрим проблему нелинейного толчка. Вообразите осла одинаково голодного и измученного жаждой, расположенного на абсолютно равном расстоянии от двух источников продовольствия и воды. В таких обстоятельствах, он бы умер и от жажды, и от голода, поскольку будет не способен решить к какому источнику пойти первым. Теперь введите некоторую случайность в картину, хаотично подталкивая осла, вынуждая его подвинуться ближе к одному источнику, неважно какому и, соответственно, подальше от другого. Тупик был бы немедленно сломан и наш счастливый осел либо хорошо поел, а потом выпил, либо сначала хорошо попил, а потом хорошо покормился.

Читатель, без сомнения, разыгрывал версию Буриданова осла, "подбрасывая монету", чтобы сломать те безвыходные положения, где можно прибегнуть к помощи случайности в процессе выбора. Позвольте госпоже Удаче принять решение, которому вы с удовольствием подчинитесь. Я часто использую осла Буридана (под его математическим названием), когда мой компьютер зависает между двумя альтернативами (говоря технически, эти "рандомизации" часто происходят при решении проблем оптимизации, когда требуется оживить функцию).

Обратите внимание, что осел Буридана был назван в честь своего создателя, философа четырнадцатого века Жана Буридана. Смерть Буридана была своеобразной – он был брошен в Сену, связанным в мешке и утонул. Его рассказ об осле рассматривался, как пример софистики современниками, которые упустили введение рандомизации – Буридан был явно впереди своего времени.

 

Во время дождя – льет

Поскольку я пишу эти строки, я открываю мой фонд для инвесторов и ищу возможность поднять деньги. Я внезапно понимаю, что биполярность мира задевает меня очень сильно. Либо кто-то дико преуспевает, привлекая все деньги, либо оказывается не в состоянии привлечь даже пенни. Аналогично, с книгами. Либо каждый хочет издать ее, либо никто не хочет отвечать на ваш телефонный звонок (в последнем случае, моя дисциплина требует удалить имя из моей записной книжки). Это делает меня, с моим глубоким (и устаревшим) средиземноморским чувством меры, – очень неудобным в обращении, даже тошнотворным.

Слишком много успеха – это ужасно (подумайте о наказании, отмеренном богатому и известному), слишком много неудач деморализует. Я хотел бы не иметь ни того, ни другого.

 

Глава одиннадцатая.

Случайность и наш мозг – мы вероятностно слепы. Трудности размышления об отпуске, как линейная комбинация Парижа и Багам. Неро Тулип может никогда не побывать на лыжах в Альпах снова. Некоторое обсуждение поведенческих открытий. Несколько проявлений вероятностной слепоты, взятые из учебника. Чуть больше о журналистской глупости. Почему вы можете быть мертвы к настоящему времени.

 

Париж или Багамы?

У вас есть две возможности для проведения следующих кратких каникул в марте. Первая – лететь в Париж, вторая – на Карибы. Вы выразили безразличие между этими двумя вариантами и ваш супруг (супруга), так или иначе, примет решение. Два разных образа возникают у вас, когда вы думаете об этих возможностях. В первом образе вы видите себя стоящим в Музее Орсэ, перед полотнами Писсаро, изображающими облачное небо, серое парижское зимнее небо. И вы несете зонтик в руке. Во втором образе, вы лежите на полотенце с кучей книг ваших любимых авторов, и подобострастный официант приносит вам банановый коктейль. Вы знаете, что эти два состояния взаимно исключают друг друга (вы можете быть только в одном месте, в одно и то же время) и есть вероятность 100%, что вы будете в одном из них. Они равновероятны, по вашему мнению, с вероятностью 50% выбора каждого из них

Вы получаете большое удовольствие, думая о вашем отпуске; это мотивирует вас и делает ежедневные обязанности более терпимыми. Но согласно рациональному поведению в состоянии неуверенности, адекватным способом визуализации было бы пятидесятипроцентное нахождение в одном месте отпуска и пятидесятипроцентное – в другом, что математически называется линейной комбинацией из двух состояний. Может ли ваш мозг справиться с этим? Желанно ли вам купать ваши ноги в Карибских водах, а голову подставлять Парижскому дождю? Наш мозг может должным образом обращаться с одним и только с одним состоянием одновременно — если вы, конечно, не имеете персональных патологий. Теперь попробуйте вообразить комбинацию 85%/15%

Удачно?

Рассмотрим пари, которое вы заключаете с коллегой на сумму 1,000$, которое, по вашему мнению, является абсолютно справедливым. Завтрашним вечером вы будете иметь или ноль, или 2,000$ в кармане, с вероятностью 50%. В чисто математических терминах, справедливая стоимость ставки – это линейная комбинация состояний, называемая математическим ожиданием, то есть, вероятность каждого вознаграждения, умноженная на долларовую стоимость исхода (50%, умноженные на 0 и 50%, умноженные на 2,000$ = 1,000$)

Можете вы вообразить (то есть, визуализировать, а не вычислить математически) стоимость в 1,000$? Мы можем иметь одно и только одно состояние в заданное время. Предоставленные самим себе, мы, вероятно, будем держать пари иррациональным способом, поскольку одно из состояний доминировало бы над картиной.