Лекция 4. Передаточные функции

Определение передаточной функции

Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.

Например, операторное уравнение

3s²Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)

можно преобразовать, вынеся X(s) и Y(s) за скобки и поделив друг на друга:

Y(s)*(3s² + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)

.

Полученное выражение называется передаточной функцией.

Передаточной функцией называется отношение изображения выходного воздействия Y(s) к изображению входного X(s) при нулевых начальных условиях.

(4.1)

Передаточная функция является дробно-рациональной функцией комплексной переменной:

,

где B(s) = b₀ + b₁s + b₂ s² + … + b_m s^m - полином числителя,

А(s) = a₀ + a₁s + a₂ s² + … + a_n sⁿ - полином знаменателя.

Передаточная функция имеет порядок, который определяется порядком полинома знаменателя (n).

Из (4.1) следует, что изображение выходного сигнала можно найти как

Y(s) = W(s)*X(s).

Так как передаточная функция системы полностью определяет ее динамические свойства, то первоначальная задача расчета АСР сводится к определению ее передаточной функции.

 

Примеры типовых звеньев

Звеном системы называется ее элемент, обладающий определенными свойствами в динамическом отношении. Звенья систем регулирования могут иметь разную физическую природу (электрические, пневматические, механические и др. звенья), но описываться одинаковыми ДУ, а соотношение входных и выходных сигналов в звеньях описываться одинаковыми передаточными функциями.

В ТАУ выделяют группу простейших звеньев, которые принято называть типовыми. Статические и динамические характеристики типовых звеньев изучены достаточно полно. Типовые звенья широко используются при определении динамических характеристик объектов управления. Например, зная переходную характеристику, построенную с помощью самопишущего прибора, часто можно определить, к какому типу звеньев относится объект управления, а следовательно, его передаточную функцию, дифференциальное уравнение и т.д., т.е. модель объекта. Типовые звенья Любое сложное звено может быть представлено как соединение простейших звеньев.

К простейшим типовым звеньям относятся:

· усилительное,

· инерционное (апериодическое 1-го порядка),

· интегрирующие (реальное и идеальное),

· дифференцирующие (реальное и идеальное),

· апериодическое 2-го порядка,

· колебательное,

· запаздывающее.

1) Усилительное звено.

Звено усиливает входной сигнал в К раз. Уравнение звена у = К*х, передаточная функция W(s) = К. Параметр К называется коэффициентом усиления.

Выходной сигнал такого звена в точности повторяет входной сигнал, усиленный в К раз (см. рисунок 4.1).

у = K^.x.

При ступенчатом воздействии h(t) = K.

Примерами таких звеньев являются: механические передачи, датчики, безинерционные усилители и др.

 

2) Интегрирующее.

Идеальное интегрирующее.

Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины:

; W(s) =

При подаче на вход звена ступенчатого воздействия x(t) = 1 выходной сигнал постоянно возрастает (см. рисунок 4.2):

h(t) = K^.t.

Это звено астатическое, т.е. не имеет установившегося режима.

Примером такого звена может служить емкость, наполняемая жидкостью. Входной параметр – расход поступающей жидкости, выходной - уровень. Изначально емкость пуста и при отсутствии расхода уровень равен нулю, но если включить подачу жидкости, уровень начинает равномерно увеличиваться.

 

2.2) Реальное интегрирующее.

Передаточная функция этого звена имеет вид

W(s) = .

Переходная характеристика в отличие от идеального звена является кривой (см. рис. 4.2):

h(t) = K^.(t – T) + K^.T^.e ^-t/T.

 

Примером интегрирующего звена является двигатель постоянного тока с независимым возбуждением, если в качестве входного воздействия принять напряжение питания статора, а выходного - угол поворота ротора. Если напряжение на двигатель не подается, то ротор не двигается и угол его поворота можно принять равным нулю. При подаче напряжения ротор начинает раскручиваться, а угол его поворота сначала медленно вследствие инерции, а затем быстрее увеличиваться до достижения определенной скорости вращения.

Дифференцирующее.

3.1) Идеальное дифференцирующее.

Выходная величина пропорциональна производной по времени от входной:

; W(s) = K*s

При ступенчатом входном сигнале выходной сигнал представляет собой импульс (d-функцию): h(t) = K^.d(t).

 

Реальное дифференцирующее.

Идеальные дифференцирующие звенья физически не реализуемы. Большинство объектов, которые представляют собой дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям, передаточные функции которых имеют вид

W(s) = .

Переходная характеристика: .

Пример звена: электрогенератор. Входной параметр – угол поворота ротора, выходной – напряжение. Если ротор повернуть на некоторый угол, то на клеммах появится напряжение, но если ротор далее не вращать, напряжение снизится до нуля. Резко упасть оно не может вследствие наличия индуктивности у обмотки.