Основні статистичні характеристики вибірки

У математичній статистиці вивчають числові характеристики вибірок, які узагальнюють об'єкти вибірки за певною ознакою.

У разі обчислення статистичних характеристик вибіркою найчастіше називають набір значень певного параметра вибраних об'єктів, наприклад набір річних оцінок учнів з математики. Кожен елемент вибірки в цьому випадку називають варіантою.

До основних числових характеристик належать:

§ середнє значення,

§ стандартне відхилення, асиметрія,ексцес.

§ медіана,

§ мода (показники центру вибірки),

§ варіаційний розмах вибірки (показники варіації)

§ дисперсія,середнє квадратичне відхилення.

§ кореляційний і регресійний аналіз.

§ нормальний закон розподілу

§ гістограма

Вибіркове середнє значення — характеристика положення для вибіркового розподілу

Середнє арифметичне декількох чисел — це відношення суми всіх чисел до їх кількості.

Вибірковим середнім називається середнє арифметичне елементів даної вибірки:

. (1.1)

Коли у вибірці є частоти значень ознаки або обчислення виконуються для інтервального варіаційного ряду, тоді варто визначити: x_i – середнє значення ознаки ξ в i -му інтервалі, n _i – частоту значень ознаки в i -му інтервалі. Тоді розрахункова формула набуде вигляду:

(1.2)

Середнє квадратичне відхилення — у теорії ймовірності і статистиці найпоширеніший показник розсіювання значень випадкової величини відносно її математичного сподівання. Вимірюється в одиницях виміру самої випадкової величини.

Дисперсія (англ. Variance) є мірою відхилення значень випадкової величини від центру розподілу. Більші значення дисперсії свідчать про більші відхилення значень випадкової величини від центру розподілу

Стандартне відхилення а — це параметр, який характеризує ступінь розкиду елементів вибірки відносно середнього значення:

 

(1.3)

 

де п — об'єм вибірки, х₁ х₂, х_п — варіанти, х — середнє значення вибірки.

Коефіцієнт варіації — відносна величина, що служить для характеристики коливання (мінливості) ознаки. Являє собою відношення середнього квадратичного відхилення τ до середнього арифметичного Х, виражається у відсотках: ν = τ/Х.

Коефіцієнт варіації застосовується тоді, коли необхідно оцінити мінливість ознак об'єкта, які виражені в різних одиницях вимірювання.

Варіювання вважається слабким, якщо ν<10%, якщо ν від 11-25%, то середнім і значним при ν>25%.

Асиметрія — відсутність або порушення симетрії.

Коефіцієнт асиметрії – характеризує ступінь несиметричності розподілу відносно середнього. Додатна асиметрія вказує на відхилення розподілу в бік додатних значень, від’ємна асиметрія вказує на відхилення розподілу в бік від’ємних значень.

(1.4)

 

Ексцесом теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за наступною формулою:

(1.5)

Коефіцієнт ексцесу - характеризує відносну гостроту або згладженість розподілу порівняно з нормальним розподілом. Додатній ексцес означає відносно гострокінцевий розподіл, від’ємний – відносно згладжений розподіл

(1.6)

Медіана — в статистиці це величина ознаки, що розташована по середині ранжованого ряду вибірки, тобто — це величина, що розташована в середині ряду величин, розташованих у зростаючому або спадному порядку; в теорії ймовірності — характеристика розподілення випадкової величини.

Медіана ділить ряд значень ознаки на дві рівні частини, по обидві частини від неї розміщується однакова кількість одиниць сукупності.^[1] Медіана є квантилем порядку 1/2. Позначається як або .

Мода – те з даних, яке зустрічається в переліку даних найчастіше.

Іншими словами, мода є найпоширеніше значення випадкової величини (ознаки). У дискретному ряду вона визначається візуально за найбільшою частотою (часткою), а в інтервальному — таким чином визначається модальний інтервал, а конкретне модальне значення розраховується за формулою:

(1.7)

де

х₀ та h — нижня межа та ширина модального інтервалу,

f_mo, f_mo-1, f_mo+1 — частоти (частки) відповідно модального, передмодального та післямодального інтервалів.

Варіаційних розмах (інтервал, амплітуда) — це різниця між максимальним та мінімальним значеннями елементів вибірки

Кореляцією називається неповний зв'язок між досліджуваними явищами. Це така залежність, коли будь - якому значенню однієї змінної величини може відповідати декілька різноманітних значень іншої змінної. Вона відображає закон множини причин і наслідків і є вільною неповною залежністю.

Кореляційний аналіз є свого роду логічним продовженням (розвитком) методу статистичних групувань, його поглибленням. Він допомогає вирішити цілий ряд нових завдань у економічному аналізі. Розрахунки на основі кореляційних моделей підвищують ступінь точності аналізу, часто виявляють недоліки попереднього аналізу

Головні завдання кореляційного аналізу:

1) оцінка за вибірковими даними коефіцієнт кореляції, перевірка значущості вибіркових коефіцієнтів кореляції або кореляційного відношення

2) оцінка близькості виявленого зв'язку до лінійного.

3) побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів кореляції.