Непараметричні критерії для перевірки гіпотези про відмінність (або схожість) між середніми значеннями

Для порівняння середніх значень може застосовуватися і цілий ряд непараметричних критеріїв, серед яких важливе місце займають так звані рангові критерії. Використання цих критеріїв було засновано на ранжируванні членів порівнювальних груп. При цьому порівнюються не самі члени ранжированого ряду, а їх порядкові номери або ранги. Під час розв’язання конкретної задачі дуже важливо правильно обрати критерій.

Наведемо U-критерий Уїлкоксона (Манна–Уітні)для перевірки гіпотези про приналежність порівнюваних незалежних вибірок до однієї і тієї самої генеральної сукупності. Гіпотезу перевіряють, розташувавши в узагальнений ряд значення порівнювальних вибірок у зростаючому порядку. Всім значенням отриманого узагальненого ряду привласнюються ранги від 1 до N=n₁ +n₂. Для кожної вибірки знаходяться суми рангів R і розраховуються статистики: для та - номер вибірки.

Якщо нульова гіпотеза вірна і вибірки були взяті з однієї і тієї самої генеральної сукупності, ми не повинні очікувати переважання спостережень з однієї вибірки на одному з кінців з'єднаного варіаційного ряду, їх значення мають бути достатньо рівномірно розсіяні по всьому узагальненому ряду. Таким чином, дуже великі або дуже малі значення статистики R мають примусити нас засумніватися у справедливості нульової гіпотези. Як тестову статистику вибирають мінімальну величину U і порівнюють її з табличним значенням для прийнятого рівня значимості. Гіпотеза приймається, і відмінності вважаються недостовірними, якщо розраховане значення більше відповідного табличного.

Зазвичай у таблицях наводяться критичні значення даного критерію для об'єму вибірок 20 або 40. У разі вибірок більшого об'єму для перевірки даного критерію застосовується нормальна апроксимація. Тоді критичні значення для критерію U можна розрахувати за формулою:

де – критичні значення стандартного нормального розподілу, визначені за таблицями. Треба звернути увагу, що якщо є однакові варіанти, їм привласнюється середній ранг, проте значення останнього рангу має дорівнювати n₁ + n₂. Це правило використовують для перевірки правильності ранжирування.

У разі попарно зв'язаних вибірок застосовується Т-критерій Уїлкоксона.При цьому попарні різниці – позитивні і негативні (окрім нульових) в один ряд так, щоб найменша абсолютна різниця (без урахування знака) отримала перший ранг, однаковим величинам привласнюють один ранг. Окремо обчислюють суму рангів позитивних (T+) і негативних різниць (Т-), меншу з двох таких сум без урахування знака вважають тестовою статистикою даного критерію. Нульову гіпотезу приймають на даному рівні значимості, якщо обчислена статистика перевершить табличне значення (число парних спостережень зменшують на число виключених нульових різниць). Таким чином, можна сказати, що якщо нульова гіпотеза вірна, статистики T+ і T – приблизно рівні, порівняно малі або великі значення T-статистик примусять нас відхилити нульову гіпотезу про відсутність відмінностей.

Приклад. Припустимо, в результаті проведення дослідження був обчислений ряд попарних різниць між показником ефекту в двох попарно пов'язаних групах (n₁ = n₂ = 10) (наприклад, так звана задача «до і після»): 0,2 -0,4 0,7 -0,9 1,3 1,5 -0,1 0,8 -1,0 1,1. Ранжируємо попарні різниці в один ряд, незалежно від знака різниці, одержуємо такий ранжирований ряд: -0,1 0,2 -0,4 0,7 0,8 -0,9 -1,0 1,1 1,3 1,5.

Розрахуємо окремо суму рангів позитивних (Т+)і негативних (T-) різниць, у нашому випадку T+ = 2 + 4 + + 5 + 8 + 9+10 = 38, T- = 1 + 3 + 6 + 7= 17. Для перевірки двостороннього T-критерію використовуємо меншу статистику T – =17 і порівнюємо її з табличним значенням для числа попарних різниць n = 10 і рівня значимості 5%. Таке табличне критичне значення дорівнює 9. Розраховане мінімальне значення T статистики перевершує відповідне табличне значення, а, отже, нульова гіпотеза залишається в силі.

У разі аналізу результатів клінічних досліджень непараметричні критерії корисні не тільки для аналізу кількісних даних, а також при якісній або альтернативній формі представлення ознак.