Уравнения пуассона и лапласа

Основными ур-иями эл/статики в вакууме являются (набла,Е)=ρ/ε0 и [набла,Е]=0. Первое ур-ие позволяет по известному распределению заряда в пр-ве найти вектор Е. Второе ур-ие говорит о потенциальности эл/стат. поля, что позволяет выразить напряжённость через скалярную ф-цию φ: E=-φ*набла. Подставим это в первок ур-ие: (набла, набла*φ)=- ρ/ε0à потенциал удовлетворяет ур-ию набла^2* φ=- ρ/ε0, ∆φ=- ρ/ε0 – ур-ие Пуассона, оператор Лапласса ∆=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂z^2. В отсутствии зарядов ρ=0 ур-ие переходит в ур-ие Лапласса ∆φ=0. Решая задачи электростатики, можно находить векторную ф-цию вектора Е с помощью дифф. ур-ия первого порядка либо искать скалярную ф-цию φ, используя ур-ие Пуассона второго порядка. Рассмотрим бесконечный круглый цилиндр радиуса r, заряженный равномерно с зарядом плотностью ρ РИСУНОК

Найдём потенциал поля, используя ур-ие Пуасона. Потенциал будет зависеть только от расстояния точки наблюдения φ(r), где r=√(x^2+y^2)

∂^2*φ/∂x^2+∂^2*φ/∂y^2=- ρ/ε0; ∂φ/∂x=∂φ/∂r * ½ * 2x/r = x/r * ∂φ/∂r

∂^2*φ/∂x^2=1/r * ∂φ/∂r + x(-1)*2x/(2r^3)* ∂φ/∂r + x^2/r^2 * ∂^2*φ/∂r^2. Аналогично для у

Сложив вторые производные, получаем: ∂^2*φ/∂x^2+∂^2*φ/∂y^2 = 2/r * ∂φ/∂r – 1/r * ∂φ/∂r + ∂^2*φ/∂r^2 = 1/r *d/dr * (r* ∂φ/∂r). Ур-ие Пуассона внутри цилиндра

1)r<R: 1/r *d/dr * (r* ∂φ/∂r) =- ρ/ε0 * r à r* ∂φ/∂r= - ρ*r^2/(2*ε0)+A/r

Φ=- ρ*r^2/(4*ε0)+A*lnr+B

2)r>R: 1/r *d/dr * (r* ∂φ/∂r)=0 à r* ∂φ/∂r=C или ∂φ/∂r=C/r à φ=C*lnr+D

Потенциал определён с точностью до постоянного слагаемого, которое определяется выбором его значения на некоторой эквипотенциальной пов-сти. Положим, что на оси цилиндра φ=0 à A=0, B=0 à φ внутри = - ρ*r^2/(4*ε0)

Потенциал удовлетворяет ур-ию второго порядка à он должен быть, как и его первая производная, непрерывной функцией. Условие непрерывности потенциала и его первой производной нужно записать при r=R: φ внутри = - ρ*r^2/(4*ε0); - ρ*r^2/(4*ε0)= C*lnr+D и С=- ρ*R^2/(2*ε0); D=- ρ*r^2/(4*ε0)+ ρ*R^2/(2*ε0) * lnR

 

Электрическое поле в диэлектриках. Объемные и поверхностные связанные заряды.

Эл.заряды размещены на телах. Тела бывают диэлектриками, полупроводниками и проводниками.

Диэлектрики – вещества, не способные проводить эл.ток вследствие отсутствия в диэлектриках свободных зарядов. Свободные заряды – это заряды, способные под воздействием сколь угодно малой силы перемещаться по всему объёму тела. Диэлектрики подразделяют на неполярные, полярные и диэлектрические ионные кристаллы.

Диполярные диэлектрики состоят из симметричных молекул(Н2, О2), т.к. центры тяжести полож. и отриц. зарядов в среднем совпадают при помещении такой молекулы в электр.поле. Её полож. заряды смещаются по полю, отриц. – против поля. В результате молекула приобретает дипольный момент =e*l, l=l1+l2. РИСУНОК

В широких пределах изменения фих.величин выполняется =ε0*β*

Поляризуемость молекулы.

В результате любой объём V диэлектрика приобретает дипольный момент. . Степень поляризации характеризуется вектором поляризации = / , т.е. дипольным моментом единицы объёма диэлектрика. Выполняется соотношение = ε0* χ * , где χ – диэлектрическая восприимчивость. РИСУНОК

В результате поляризации диэлектрика на его поверхности и по объёму возникают заряды

Отличают сторонние и связанные заряды. Обозначают q(ст) и q’(связ). Сторонние заряды – это заряды, которые мы можем заряжать и перемещать. Связанные – это заряды, возникшие в результате смещения зарядов диэлектрика в пределах своих молекул. Связанные заряды наряду со сторонними создают эл.поле. В результате мы наблюдаем

Выберем в изотопном диэлектрике некоторую поверхность S и вычислим заряд q’, прошедший через эту пов-сть, при включении внешнего эл.поля. Выделяем площадку РИСУНОК

Очевидно, что все положительные заряды, находящиеся в пределах цилиндра с основанием и образующей l, пересекут выделенный участок . С учётом отриц.заряда получаем связ.заряды, проходящие через ; dq’=l*dN1+e*dN2=e*n*l1*dS*cosα+e*n*l2*dS*cosα=e*n*(l1+l2)*dS*cosα=P*dS*cosα=(, )

Заряд, прошедший через dS в направлении нормали, в результате поляризации dq’=(, )

Пусть S – замкнутая пов-сть. Тогда из объёма, ограниченного этой пов-стью, вышел q св

q’ выш. = à в объёме V, огранич. S, в результате поляризации возник связанный заряд q’=- . Получили т.Гаусса для вектора поляризации: поток вектора через произвольную замкнутую пов-сть равен связанному заряду внутри этой пов-сти. Распределение связанного заряда даётся объёмной плотностью и поверхностной плотность q cвяз. Воспользуемся т.Остроградского-Гаусса: = ) dV= - В силу произвольности S следует положить, что подынтегральное выражение (набла, )=-ρ’. Распределение св.заряд по объёму

Вблизи пов-сти, вблизи границы диэлектрика выделим dS*dh РИСУНОК

Появился заряд dq’=(, ); σ’dS=P*dS*cosα. На пов-сти диэлектрика возник заряд, пов.плотность которого σ’=P*cosσ=Pn – проекция вектора поляризации на нормаль пов-сти. = ε0* χ *

Несимметричные молекулы NH, HCl, CO изначально обладают дипольным моментом вследствие различного местоположения центров тяжести полож. и отриц. зарядов молекулы. Однако в отсутствии эл.поля вследствие теплового движения дипольный момент молекулы разнонаправлены и любой объём диэлектрика имеет нулевой момент. При включении внешнего поля дипольные моменты стремятся сориентироваться по полю, если тепловое движение этому противодействуетà диэлектр.восприимчивость χ зависит от температуры.

Диэлектрические ионные кристаллы состоят из двух подрешёток: положительной и отрицательной, которые сдвигаются при включении внешнего поля. В результате возникает ненулевой вектор . Для всех трёх типов диэлектриков остаются в силе формулы = / ; = ε0* χ * ; ; = -q’ ; (набла, )=-ρ’; σ’=Pn

Выясним, когда в диэлектрике возникают объёмные связанные заряды: поле создаётся как сторонними, так и связанными зарядами, поэтому для E следует записать т.Гаусса (набла,Е)=(ρ+ρ’)/ε0; (набла, )=(набла, ε0* χ * )= ε0(Е, набла* χ)+ ε0* χ(набла,Е)= ε0*(Е, набла* χ)+ ε0* χ*(ρ+ρ’)/ε0=-ρ’; ρ’=-1/(1+ χ) * (ε0*(Е, набла* χ)+ χ*ρ)

Ненулевая объёмная ρ связ.зарядов возникает в поляр. диэлектрике,если:

1)диэлектрик не однороден, т.е. (набла, χ) не равно 0

2)по V диэлектрика распределён сторонний заряд