Математичні моделі для аналізу на мікрорівні

Математичними моделями на мікрорівні є диференціальні рівняння в частинних похідних або інтегральні рівняння, що описують поля фізичних величин. Інакше кажучи, на мікрорівні використаються моделі з розподіленими параметрами. У якості незалежних змінних у моделях можуть фігурувати просторові змінні й час .

Характерними прикладами моделей можуть служити рівняння математичної фізики разом із заданими крайовими умовами.

Приклад 1

Рівняння теплопровідності:

де — питома теплоємність, — густина, — температура, — час, — коефіцієнт теплопровідності, — кількість теплоти, виділюваної в одиницю часу в одиниці об’єму.

Приклад 2

Рівняння дифузії:

де — концентрація часток, — коефіцієнт дифузії.

Крайові умови включають початкові умови, що характеризують просторовий розподіл залежних змінних у початковий момент часу, і граничні, що задають значення цих змінних на границях розглянутої області у функції часу.

 

Методи аналізу на мікрорівні

У САПР рішення диференціальних або інтегро-диференціальних рівнянь із частковими похідними виконується чисельними методами. Ці методи засновані на дискретизації незалежних змінних – їхньому представленні кінцевою множиною значень в обраних вузлових крапках досліджуваного простору. Ці точки розглядаються як вузли деякої сітки, тому використовувані в САПР методи – це сіткові методи.

Серед сіткових методів найбільше поширення одержали два методи: метод кінцевих різностей (МКР) і метод скінченних елементів (МСЕ). Звичайно виконують дискретизацію просторових незалежних змінних, тобто використають просторову сітку. У цьому випадку результатом дискретизації є система звичайних диференціальних рівнянь для нестаціонарної задачі або система алгебраїчних рівнянь для стаціонарної.

Нехай необхідно вирішити рівняння

із заданими крайовими умовами

де й — диференціальні оператори, — фазова змінна, — вектор незалежних змінних, () і () — задані функції незалежних змінних.

У методі кінцевих різностей алгебраізація похідних по просторових координатах базується на апроксимації похідних кінцево-різницевими виразами. При використанні методу потрібно вибрати кроки сітки по кожній координаті й вид шаблона. Під шаблоном розуміють множину вузлових точок, значення змінних у яких використовуються для апроксимації похідної в одній конкретній точці.

Рис. 3. Приклади шаблонів для одномірних і двовимірних задач

 

Приклади шаблонів для одномірних і двовимірних задач наведені на Рис. 3. На цьому рисунку кружком більшого діаметра позначені вузли, у яких апроксимується похідна. Чорними точками позначені вузли, значення фазової змінної в яких входять в апроксимуючий вираз. Число, записане біля вузла, дорівнює коефіцієнту, з яким значення фазової змінної входить в апроксимуюче вираження. Так, для одномірних шаблонів у верхній частині малюнка показана апроксимація похідної в точці , і зазначеним шаблонам при їхньому перегляді ліворуч-праворуч відповідають апроксимації

де — крок дискретизації по осі .

Шаблони для двовимірних задач у нижній частині Рис.3 відповідають наступним кінцево-різнистним операторам:

· лівий рисунок:

· середній рисунок:

· правий рисунок:

Тут — значення в точці ; прийняті однакові значення кроків по обох координатах.

Метод скінченних елементів заснований на апроксимації не похідних, а самого рішення . Але оскільки воно невідомо, то апроксимація виконується вираженнями з невизначеними коефіцієнтами

(3.23)

де — вектор-рядок невизначених коефіцієнтів, — вектор-стовпець координатних функцій (опорних функцій), заданих так, що задовольняються граничні умови.

При цьому мова йде про апроксимації рішення в межах скінченних елементів, а з урахуванням їхніх малих розмірів можна говорити про використання порівняно простих апроксимуючих виразів (наприклад, — поліноми низьких ступенів). У результаті підстановки у вихідне диференціальне рівняння й виконання операцій диференціювання одержуємо систему нев’язок

(3.24)

з якої потрібно знайти вектор .

Цю задачу (визначення ) вирішують одним з наступних методів:

· метод коллокаций, у якому, використовуючи (3.24), формують рівнянь із невідомим вектором :

де — число невизначених коефіцієнтів;

· метод найменших квадратів, заснований на мінімізації квадратів нев’язок у точках або в середньому по розглянутій області;

· метод Гальоркіна, за допомогою якого мінімізуються в середньому по області нев’язка зі спеціальними ваговими коефіцієнтами, що задаються.

Найбільше поширення МСЕ одержав у САПР машинобудування для аналізу міцності об’єктів. Для цієї задачі можна використовути розглянутий підхід, тобто виконати алгебраізацію вихідного рівняння пружності (рівняння Ламе). Однак більш зручним у реалізації МСЕ виявився підхід, заснований на варіаційних принципах механіки.