Вихідні рівняння для формування моделей на макрорівні

 

Вихідний математичний опис процесів в об'єктах на макрорівні представлено системами звичайних диференціальних і алгебраїчних рівнянь. Аналітичні рішення таких систем при типових значеннях їхніх порядків у практичних задачах одержати не вдається, тому в САПР переважно використовуються алгоритмічні моделі. У цьому параграфі викладений узагальнений підхід до формування алгоритмічних моделей на макрорівні, справедливий для більшості застосувань.

Вихідними для формування математичних моделей об'єктів на макрорівні є компонентні й топологічні рівняння.

Компонентними рівняннями називають рівняння, що описують властивості елементів (компонентів), інакше кажучи, математична модель елемента (ММЕ) представляється компонентними рівняннями.

Топологічні рівняння описують взаємозв'язки в складі системи, що моделюється.

У сукупності компонентні й топологічні рівняння конкретної фізичної системи являють собою вихідну математичну модель системи (ММС).

Очевидно, що компонентні й топологічні рівняння в системах різної фізичної природи відбивають різні фізичні властивості, але можуть мати однаковий формальний вид. Однакова форма запису математичних співвідношень дозволяє говорити про формальні аналогії компонентних і топологічних рівнянь. Такі аналогії існують для механічних поступальних, механічних обертальних, електричних, гідравлічних (пневматичних), теплових об'єктів. Наявність аналогій приводить до практично важливого висновку: значна частина алгоритмів формування й дослідження моделей у САПР виявляється інваріантною й може бути застосована до аналізу проектованих об'єктів у різних предметних областях. Єдність математичного апарата формування ММС особливо зручно при аналізі систем, що складаються з фізично різнорідних підсистем.

У перерахованих вище застосуваннях компонентні рівняння мають вигляд:

(3.1)

топологічні рівняння:

(3.2)

де — вектор фазових змінних, — час.

Розрізняють фазові змінні двох типів, їхні узагальнені найменування — фазові змінні типу потенціалу (наприклад, електрична напруга) і фазові змінні типу потоку (наприклад, електричний струм). Кожне компонентне рівняння характеризує зв'язки між різнотипними фазовими змінними, стосовними до одного компонента (наприклад, закон Ома описує зв'язок між напругою й струмом у резисторі), а топологічне рівняння – зв'язку між однотипними фазовими змінними в різних компонентах.

Моделі можна представляти у вигляді систем рівнянь або в графічній формі, якщо між цими формами встановлена взаємно однозначна відповідність. Як графічна форма часто використають еквівалентні схеми.

Нижче розглянемо приклади компонентних і топологічних рівнянь для різних типів систем.

 

Механічні системи

 

Фазовими змінними в механічних поступальних системах є сили й швидкості. Використовують одну із двох можливих електромеханічних аналогій. Надалі будемо використати ту з них, у якій швидкість відносять до фазових змінних типу потенціалу, а силу вважають фазовою змінною типу потоку. З огляду на формальний характер подібних аналогій, рівною мірою можна застосовувати й протилежну термінологію.

Компонентне рівняння, що характеризує інерційні властивості тіл, у силу другого закону Ньютона має вигляд:

(3.3)

де — сила; — маса; — поступальна швидкість.

Пружні властивості тіл описуються компонентним рівнянням, яке можна одержати з рівняння закону Гука. В одномірному випадку (якщо розглядаються поздовжні деформації пружного стрижня):

(3.4)

де — механічна напруга; — модуль пружності; — відносна деформація; — зміна довжини пружного тіла під впливом . З огляду на, що , де — сила, — площа поперечного переріза тіла, і диференціюючи (3.4), маємо:

або

(3.5)

де — жорсткість (величину, зворотню жорсткості, іноді називають гнучкістю ), — швидкість.

Диссипативні властивості в механічних системах твердих тіл виражаються співвідношеннями, що характеризують зв'язок між силою тертя й швидкістю взаємного переміщення тіл, причому в цих співвідношеннях похідні сил або швидкостей не фігурують.

Топологічні рівняння характеризують, по-перше, закон рівноваги сил: сума сил, прикладених до тіла, включаючи силу інерції, дорівнює нулю (принцип Даламбера), по-друге, закон швидкостей, відповідно до якого сума відносної, переносної й абсолютної швидкостей дорівнює нулю.

У механічних обертальних системах справедливі компонентні й топологічні рівняння поступальних систем із заміною поступальних швидкостей на кутові, сил – на обертальні моменти, мас – на моменти інерції, жорсткостей – на обертальні жорсткості.

Є істотна відмінність у моделюванні електричних і механічних систем: перші з них одномірні, а процеси в других часто доводиться розглядати у двох- (2D) або тривимірному (3D) просторі. Отже, при моделюванні механічних систем у загальному випадку в просторі 3D потрібно використовувати векторне зображення фазових змінних, кожна з яких має шість складових, відповідним шести ступеням свободи.

Однак відзначені вище аналогії залишаються справедливими, якщо їх відносити до проекцій сил і швидкостей на кожну просторову вісь, а при графічному зображенні моделей використовувати шість еквівалентних схем – три для поступальних складових і три для обертальних.

 

Гідравлічні системи

 

Фазовими змінними в гідравлічних системах є витрати й тиски. Як і в попередньому випадку, компонентні рівняння описують властивості рідини розсіювати або накопичувати енергію.

Розглянемо компонентні рівняння для рідини на лінійній ділянці трубопроводу довжиною й скористаємося рівнянням Нав’є-Стоксу в наступній його формі (для ламінарної течії рідини):

де — щільність рідини; — швидкість; — тиск; — коефіцієнт лінеаризованого в’язкого тертя. Враховуючи, що , де — об'ємна витрата; — площа поперечного переріза трубопроводу, та, заміняючи просторову похідну відношенням кінцевих різностей, маємо:

або

(3.6)

Тут — падіння тиску на розглянутій ділянці трубопроводу; — гідравлічна індуктивність, що відображає інерційні властивості рідини; — гідравлічний опір, що відображає в’язке тертя.

Явище стискальності рідини описується компонентним рівнянням, що випливає із закону Гука:

(3.7)

Диференціюючи (3.7) і з огляду на, що об'ємна витрата зв'язана зі швидкістю співвідношенням , одержуємо:

де — гідравлічна ємність.