Вибір методів аналізу в часовій області

Аналіз процесів у проектованих об'єктах можна робити в часовій і частотній областях. Аналіз у часовій області (динамічний аналіз) дозволяє одержати картину перехідних процесів, оцінити динамічні властивості об'єкта, він є важливою процедурою при дослідженні як лінійних, так і нелінійних систем.

Методи аналізу в часовій області, використовувані в універсальних програмах аналізу в САПР, — це чисельні методи інтегрування систем звичайних диференціальних рівнянь (СЗДР):

Інакше кажучи, це методи алгебраізації диференціальних рівнянь. Формули інтегрування СЗДР можуть входити в математичну модель (ММ) незалежно від компонентних рівнянь або бути інтегрованими в ММ компонентів, як це виконано у вузловому методі.

Від вибору методу рішення СЗДР істотно залежать такі характеристики аналізу, як точність і обчислювальна ефективність. Ці характеристики визначаються насамперед типом і порядком обраного методу інтегрування СЗДР.

Застосовують два типи методів інтегрування — явні методи (інакше екстраполяційні або методи, засновані на формулах інтегрування вперед), і неявні методи (інтерполяційні, засновані на формулах інтегрування назад). Розходження між ними зручно показати на прикладі найпростіших методів першого порядку — методів Ейлеру.

Формула явного методу Ейлеру являє собою наступну формулу заміни похідних у точці :

Тут індекс дорівнює номеру кроку інтегрування; — розмір кроку інтегрування (звичайно називають просто кроком інтегрування). У формулі неявного методу Ейлеру використане диференціювання назад:

де .

Виконаємо порівняльний аналіз явних і неявних методів на прикладі модельної задачі:

(3.8)

при ненульових початкових умовах і при використанні методів Ейлера з постійним кроком . Тут — постійна матриця; — вектор фазових змінних.

При алгебраізації явним методом маємо

або

де — одинична матриця. Вектор можна виразити через вектор початкових умов :

(3.9)

Позначимо

(3.10)

і застосуємо перетворення подоби для матриці

Тут — перетворююча матриця; — діагональна матриця із власними значеннями матриці на діагоналі. Неважко бачити, що

З лінійної алгебри відомо, що власні значення матриць, зв'язаних арифметичними операціями, виявляються зв'язаними такими ж перетвореннями. Тому з (3.10) треба

Точне рішення модельної задачі (3.8) , отже, умовою стійкості процесу чисельного рішення можна вважати

звідки послідовно одержуємо

у зв’язку з тим, що , та , оскільки , та й умова стійкості

(3.11)

Відомо, що для фізично стійких систем власні значення матриці коефіцієнтів у ММС виявляються зі знаком мінус. Якщо до того ж всі вещественні величини (характер процесів у ММС із моделлю (3.8) аперіодичний), то природно визначити постійні часу фізичної системи як

і умова (4) конкретизується в такий спосіб

або

(3.12)

де — мінімальна постійна часу. Якщо використати явні методи більш високого порядку, то може збільшитися коефіцієнт перед в (3.12), але це принципово не міняє оцінки явних методів.

Якщо порушено умову (3.12), то відбувається втрата стійкості обчислень, а це означає, що в рішенні задачі виникають помилкові коливання з амплітудою, що збільшується від кроку до кроку, і швидким аварійним остановом ЕОМ внаслідок переповнення розрядної сітки. Звичайно, ні про яку адекватність рішення говорити не доводиться.

Для дотримання (3.12) застосовують ті або інші алгоритми автоматичного вибору кроку. Відзначимо, що в складній моделі розрахунок для безпосереднього вибору кроку по (3.12) занадто трудомісткий, крім того, однократний розрахунок мало ефективний, тому що в нелінійних моделях може змінюватися від кроку до кроку.

Умова (3.12) накладає жорсткі обмеження на крок інтегрування. У результаті обчислювальна ефективність явних методів різко падає з погіршенням обумовленості ММС. Справді, тривалість моделюємого процесу повинна бути порівнянною із часом заспокоєння системи після збудливого впливу, тобто порівнянна з максимальною постійною часу . Необхідне число кроків інтегрування дорівнює

Відношення називають розкидом постійних часу або числом обумовленості. Більше строго число обумовленості матриці визначається як , а число обумовленості системи рівнянь як Чим більше це число, тим гірше обумовленість. Спроби застосування явних методів до різних ММС найчастіше приводять до неприпустимо низької обчислювальної ефективності, оскільки в реальних моделях — звичайна ситуація. Тому в цей час в універсальних програмах аналізу явні методи рішення СЗДР не застосовують.

Аналогічний аналіз числової стійкості неявних методів дає наступні результати. Замість (3.9) маємо

і умова числової стійкості приймає вид:

яке виконується при будь-яких . Отже, неявний метод Ейлера має так називану A-стійкість.

Метод інтегрування СЗДР називають A-стійким, якщо погрішність інтегрування залишається обмеженою при будь-якому кроці .

Застосування A-стійких методів дозволяє істотно зменшити необхідні числа кроків . У цих методах крок вибирається автоматично не з умов стійкості, а тільки з міркувань точності рішення.

Вибір порядку методу рішення СЗДР досить простий: по-перше, більше високий порядок забезпечує більше високу точність, по-друге, серед неявних різницевих методів, крім методу Ейлеру, A-стійкі також методи другого порядку й серед них – метод трапецій. Тому переважне поширення в програмах аналізу одержали методи другого порядку – модифікації методу трапецій.