Метод скінченних елементів для аналізу механічної міцності

Як вихідне положення в методі скінченних елементів приймають варіаційний принцип Лагранжа (принцип потенційної енергії), відповідно до якого рівноважний стан, у який може прийти система, характеризується мінімумом потенційної енергії.

Потенційна енергія визначається як різниця енергії деформації тіла й роботи масових і прикладених поверхневих сил.

У свою чергу, у сталому стані

(3.25)

де — вектор-рядок відносних деформацій, — вектор-стовпець напруг, , — розглянута область у просторі . Кожний елемент вектора характеризує напругу, спрямовану уздовж осі й прикладену до площадці, перпендикулярній осі. Аналогічний зміст мають індекси усіх елементів вектора .

Деформації можна виразити через переміщення за допомогою рівнянь Коші

(3.26)

де — переміщення уздовж осі , або в матричній формі

(3)

де — очевидний з (3.26) оператор диференціювання.

Деформації й напруги зв’язані між собою за допомогою матриці , що характеризує пружні властивості середовища, і представлена в Табл. 3:

(4)

Фігуруючі у Табл. 3 коефіцієнт і модуль зсуву називають постійними Ламе. Ці коефіцієнти пов’язані з модулем пружності й коефіцієнтом Пуассона співвідношеннями й ;

.

Підставляючи (3.28) і (3.27) в (3.25), одержуємо

Таблиця 3

 

Рішенням задачі повинне бути поле переміщень . Відповідно до МСЕ це рішення апроксимується за допомогою координатних функцій і невизначених коефіцієнтів, які стосовно до сукупності скінченних елементів представимо в матричній формі:

де — матриця координатних функцій, — вектор невизначених коефіцієнтів.

Замінюючи () на (), одержуємо

(3.29)

де — матриця жорсткості.

Відповідно до принципу потенційної енергії в стані рівноваги маємо

або, диференціюючи (3.29), знаходимо

(3.30)

де — вектор навантажень. Таким чином, задача аналізу міцності, згідно МСЕ, зведена до рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь (3.30).

Матриця жорсткості виявляється сильно розрідженою, тому для рішення (3.30) застосовують методи розріджених матриць.

Одним із широко відомих методів розріджених матриць є метод прогону, застосовуваний у випадку тридіагональних матриць коефіцієнтів у системі алгебраїчних рівнянь.

Для рішення розподілених задач часто застосовують метод Гальоркіна в рамках МСЕ. У методі Гальоркіна у випадку аналізу механічної міцності виробів замість вираження потенційної енергії використають нев’язки, що виходять після заміни функції переміщення апроксимуючим вираженням у вихідному диференціальному рівнянні Ламе (для статичного режиму)

Тут — диференціальний оператор , що застосовується до всіх елементів вектора , — вектор масових і прикладених сил, віднесених до скінченного елемента. Нев’язка по області скінченного елемента при заміні на

повинна бути мінімізована. Використовуючи вагові функції, що дорівнюють апроксимуючим вираженням , і необхідну умову екстремуму

одержуємо систему алгебраїчних рівнянь (3.30).

Для практичного застосування МСЕ необхідно попередньо розробити математичні моделі скінченних елементів (СЕ) і реалізувати їх у бібліотеці СЕ програми аналізу механічної міцності.

Основою математичної моделі -го СЕ є квадратна матриця жорсткості скінченного елемента, розмір якої дорівнює числу невизначених коефіцієнтів у частині вектора , що ставиться до цього СЕ. У свою чергу, розмір цієї частини вектора є добуток розмірності простору й числа вузлів, виділених у моделі -го СЕ. Це треба для того, щоб кожний невизначений коефіцієнт в у задачі аналізу механічної міцності був значенням переміщення в напрямку осі в -м вузлі. При одержанні моделі СЕ використовується матриця координатних функцій скінченного елемента, у якої число рядків дорівнює , а число стовпців × . Наприклад, розмір для СЕ у формі паралелепіпеда з вісьма вузлами дорівнює 24×24, тому що розміри матриць , і є 6×3, 3×24 і 6×6. При розрахунку спочатку вибирають вид залежності переміщень від просторових координат. Потім перетворять ці залежності у вираження й за допомогою інтегрування по просторових координатах визначають матрицю жорсткості СЕ.

При наявності бібліотеки СЕ застосування МСЕ зводиться до наступних операцій:

1. Створення геометричної моделі досліджуваного середовища (наприклад, деталі) за допомогою програми геометричного моделювання або шляхом зображення вручну на екрані дисплея ескізу (креслення) виробу.

2. Вибір бібліотечної моделі СЕ, завдання зовнішніх навантажень і значень геометричних і фізичних параметрів, формулювання граничних умов. Наступні операції виконуються програмою моделювання.

3. Реалізація в моделі сітки скінченних елементів. Тим самим стають відомими координати вузлових точок у моделі.

4. Приведення наявних об’ємних сил і поверхневих навантажень до вузлових точок моделі.

5. Об’єднання моделей СЕ в загальну скінченноелементну модель деталі (3.30), у якій матриця твердості має порядок, рівний , де — загальне число вузлів. При об’єднанні елементи матриці утворяться підсумовуванням тих елементів матриць жорсткості окремих СЕ, які відносяться до того самого вузла й напрямку переміщення. Якщо деякий вузел закріплений (його переміщення дорівнює нулю), то відповідному цьому вузлу рядки в та і стовпці у викреслюються.

6. Зміст інших операцій відповідає блокам програми, розглянутої стосовно до аналізу на макрорівні. Оскільки аналіз механічної міцності найчастіше проводиться в стаціонарних режимах у межах пружних деформацій, те наступною операцією є рішення системи (3.30).

7. Подання результатів рішення в зручній для користувача формі. Поряд із числовим висновком результатів звичайно використається графічне зображення деформованої деталі, можливе подання розподілів напруг, деформацій, температур і т.п. усередині деталі із вказівкою їхньої інтенсивності за допомогою колірного розфарбування.

До числа відомих програм аналізу по МСЕ відносяться ANSYS, NASTRAN, PATRAN і ін.