Ортогональные проекции геометрических объектов и позиционные

Задачи

Изображение прямой линии на комплексном чертеже

Проекцией прямой линии как совокупности проекций всех её точек является прямая линия. Следовательно, пространственная прямая определяется на двухкартинном комплексном чертеже парой своих проекций.

В начертательной геометрии различают прямые общего и частного положения. Прямые, наклонённые ко всем плоскостям проекций, называются прямыми общего положения (прямая l на рисунке 1.3.1). Прямые, перпендикулярные либо параллельные плоскости проекций, называются прямыми частного положения (прямые i, q, p ’, h, f, p в соответствии с рисунком 1.3.1).

Рисунок 1.3.1 – Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямые частного положения разделяются на проецирующие прямые (перпендикулярные плоскости проекций) и на прямые уровня (параллельные одной плоскости проекций).

Прямая общего положения называется восходящей, если её проекции ориентированы одинаково (прямая l на рисунке 1.3.2), и нисходящей, если её проекции ориентированы противоположно (прямая m на рисунке 1.3.2). У прямой l ближайшая к наблюдателю точка М (наблюдатель предполагается стоящим лицом к плоскости П₂) располагается ниже, чем более удалённая от наблюдателя точка N. Эта прямая по мере удаления от наблюдателя поднимается вверх (восходит). Прямая m по мере удаления от наблюдателя понижается (нисходит). Ориентация проекций восходящей прямой l и нисходящей прямой m обозначена стрелками.

Рисунок 1.3.2 – Комплексный чертёж прямых общего положения

Прямые частного положения

Как уже отмечалось, к прямым частного положения относятся прямые уровня, т.е. параллельные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1 это прямые h, f, p), и проецирующие прямые, т.е. перпендикулярные плоскости проекций (в соответствии с рисунком 1.3.1, прямые i, q, p ’).

Прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонталью и обозначается на чертеже через h. Так как все точки горизонтали имеют одну и ту же высоту, то её фронтальная проекция h ₂ располагается на комплексном чертеже параллельно оси х₁₂, а на горизонтальную плоскость проекций данная прямая проецируется в натуральную величину в соответствии с рисунком 1.3.3. Также в натуральную величину на плоскость П₁ проецируется угол a наклона горизонтали h к фронтальной плоскости проекций П₂: А₁D₁ = АD; (h ₁ Ù х₁₂)= a.

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций П₂, называется фронталью и обозначается на чертеже через f. Так как все точки фронтали имеют одну и ту же глубину, то её горизонтальная проекция f ₁ располагается на комплексном чертеже параллельно оси х₁₂, а на фронтальную плоскость проекций данная прямая проецируется в натуральную величину (рисунок 1.3.3). Также в натуральную величину на плоскость П₂ проецируется угол b наклона фронтали к горизонтальной плоскости проекций П₁: E₂F₂=EF; (f ₂Ù х₁₂)= b.

Прямая, параллельная профильной плоскости проекций, называется профильной прямой и обозначается на чертеже через р. Так как все точки профильной прямой имеют одну и туже широту, то её горизонтальная р ₁ и фронтальная р ₂ проекции располагаются на комплексном чертеже перпендикулярно оси х₁₂ в соответствии с рисунком 1.3.3, а в натуральную величину данная прямая проецируется на профильную плоскость проекций П₃. На эту же плоскость проекций спроецируются в натуральную величину углы наклона профильной прямой р соответственно к плоскостям проекций П₁ и П₂. Следует заметить, что для определения профильной прямой необходимо задать на проекциях р ₁ и р ₂ прямой р проекции её двух точек, например В и С (рисунок 1.3.3). Для прямых h и f это делать совсем не обязательно. Обычно при решении различных вопросов с профильными прямыми прибегают к построению третьей проекции на профильную плоскость проекций П₃. Прямая i, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций П₁, называется горизонтально проецирующей прямой. Она проецирует все свои точки на плоскость П₁ в одну точку i ₁, которая является её горизонтальной проекцией в соответствии с рисунком 1.3.4 Фронтальная проекция i ₂ прямой i перпендикулярна оси х₁₂. Прямая i, будучи параллельной плоскости проекций П₂, проецируется на эту плоскость без искажения, т.е. АВ = А₂В₂. Точки А и В, как имеющие одну и ту же горизонтальную проекцию i ₁º A₁ º B₁, являются горизонтально конкурирующими.

 

 

Рисунок 1.3.3 – Прямые уровня

 

 

Рисунок 1.3.4 – Проецирующие прямые

 

Аналогично, прямая q, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций П₂, проецирует все свои точки, в том числе и точки С и D (рисунок 1.3.4) на плоскость проекций П₂ в одну точку: q₂ºС₂ºD₂. Эта прямая называется фронтально проецирующей прямой. Горизонтальная проекция q ₁ прямой q перпендикулярна оси х₁₂. Прямая q, будучи параллельной плоскости проекций П₁, проецируется на неё без искажения, т.е. СD=C₁D₁. Точки С и D, как имеющие одну и ту же фронтальную проекцию q₂ºC₂ºD₂, являются фронтально конкурирующими.

Прямая р ¢, перпендикулярная профильной плоскости проекций П₃, проецирует все свои точки в одну на эту плоскость проекций. Эта прямая называется профильно проецирующей прямой. Горизонтальная р ¢ ₁ и фронтальная р ¢ ₂ проекции прямой р¢ параллельны оси х_{12 .} Так как прямая р¢ параллельна плоскостям проекций П₁ и П₂, то она проецируется на эти плоскости без искажения, т.е. р’ = р ¢ ₁ = р ¢ ₂.

 

Следы прямой линии

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называются следами прямой.

Точка пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций называется горизонтальным следом прямой Н, с фронтальной плоскостью – фронтальным следом – F.

Пусть прямая АВ общего положения пересекает плоскость П₁ в точке Н и плоскость П₂ в точке F (рисунок 1.3.5).

Рисунок 1.3.5 – Следы прямой

 

Учитывая, что следом прямой является точка, одновременно принадлежащая и прямой, и плоскости проекций, можно наметить правила построения следов.

Горизонтальный след.

Фронтальная проекция горизонтального следа Н₂ является точка пересечения фронтальной проекции прямой с осью х₁₂.

Горизонтальная проекция горизонтального следа Н₁ строится на горизонтальной проекции прямой при помощи вертикальной линии связи, проведенной из Н₂.

Фронтальный след.

Горизонтальной проекцией фронтального следа F₁ является точка пересечения горизонтальной проекции прямой с осью х₁₂.

Фронтальная проекция фронтального следа F₂ строится на фронтальной проекции прямой при помощи вертикальной линии связи, проведенной из F₁.

Рассмотрим на примере принцип построения следов прямой АВ на комплексном чертеже (рисунок 1.3.6).

Для построения горизонтального следа прямой продолжим А₂В₂ до пересечения с осью х₁₂. Точка пересечения будет фронтальной проекцией горизонтального следа Н₂. Из точки Н₂ восстановим перпендикуляр к оси х₁₂. Точка пересечения этого перпендикуляра с продолжением А₁В₁ будет горизонтальной проекцией горизонтального следа Н₁ .

Для построения проекций фронтального следа F продолжим А₁В₁ до пересечения с осью х₁₂. Точка пересечения будет горизонтальной проекцией фронтального следа F₁. Из точки F₁ проведем перпендикуляр к оси х₁₂. Точка пересечения этого перпендикуляра с продолжением А₂В₂ будет фронтальной проекцией фронтального следа F₂ .

Рисунок 1.3.6 – Построение следов на комплексном чертеже