Развертка поверхности пирамиды

Боковые грани пирамиды – треугольники, каждый из которых может быть построен по трем сторонам. Поэтому для получения развертки пирамиды достаточно определить натуральные величины ее боковых ребер и сторон основания.

Развертка пирамиды осуществляется в следующем порядке:

1) Определяют истинную величину боковых ребер пирамиды любым из известных способов преобразования (рисунок 1.5.6). В данном примере натуральные величины длин боковых ребер найдены способом вращения, и способом замены плоскостей проекций определена натуральная величина основания пирамиды – четырехугольника ABCD в соответствии с рисунком 1.5.6.

2) Для построения развертки боковых граней пирамиды строят натуральную величину одной из них, ограниченную натуральными величинами соответствующих ребер, взятых из предыдущих построений, например S₀A₀B₀, пристраивая к ней следующую S₀B₀C₀, а затем и остальные грани в соответствии с рисунком 1.5.7.

3) Для построения полной развертки достраивается основание пирамиды A₀B₀C₀D₀.

 

Рисунок 1.5.6

Рисунок 1.5.7 - Развертка пирамиды

 

Развертка развертываемых кривых поверхностей

Развертка цилиндрической поверхности

Цилиндрические поверхности развертываются теми же способами, что и призматические. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n -угольную призму, а затем определяют развертку данной поверхности способом «нормального сечения» или способом «раскатки».

Если эта поверхность – прямой круговой цилиндр, то данную задачу целесообразней решить способом «нормального сечения»

На рисунке 1.5.8 изображен усеченный прямой круговой цилиндр. Так как нижнее основание цилиндра лежит в плоскости П₁, то его можно рассматривать как плоскость нормального сечения данной поверхности. Горизонтальная проекция нижнего основания совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра, поэтому натуральной величиной периметра нормального сечения является длина окружности основания.

Для построения точки C₀ развертки откладывается отрезок B₀D₀ равный длине отрезка B₁D₁. Остальные точки развертки построены аналогично.

 

 

 

Рисунок 1.5.8 – Развертка цилиндрической поверхности способом «нормального сечения»

 

Если цилиндр наклонный круговой или эллиптический, то развертку такой поверхности можно построить способом «раскатки». Параллельность образующих цилиндра плоскости П₂ делает возможным выполнить развертку без предварительного преобразования проекций в соответствии с рисунком 1.5.9.

Рисунок 1.5.9 – Развертка боковой поверхности цилиндра способом «раскатки»

Развертка конической поверхности

Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды в следующем порядке. Сначала в заданный конус вписывают n -угольную пирамиду (число n от масштабов и размеров чертежа, следует брать в пределах от 8 до 12). Затем строят развертку боковой поверхности вписанной пирамиды в соответствии с рисунком 1.5.10. Соединив концы ребер плавной кривой, получают приближенную развертку боковой поверхности конуса.

В данном примере выполнено построение развертки наклонного эллиптического конуса, заданного круговым основанием, лежащим в горизонтальной плоскости, и вершиной S. Натуральная величина боковых ребер вписанной восьмиугольной пирамиды найдена способом вращения.

Рисунок 1.5.10 – Развертка боковой поверхности

конуса

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ АКСОНОМЕТРИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЯХ

Аксонометрические проекции

Способ получения однопроекционного обратимого чертежа называется аксонометрическим. Он даёт более наглядное изображение объекта.

Аксонометрический чертёж состоит только из одной параллельной проекции данного объекта, дополненной проекцией пространственной системы координат, к которой предварительно отнесён изображаемый объект.

Выберем в пространстве некоторую прямоугольную систему осей координат Оxyz (натуральную систему) и точку А, жёстко связанную с этой системой. Отложим на каждой из осей координат отрезок е, который назовём натуральным масштабом, и обозначим полученные отрезки соответственно через е _х, е _y, е _z в соответствии с рисунком 2.1

Измерив, расстояние точки до координатных плоскостей единичным отрезком е, получим три натуральные координаты точки, которые определяют её положение относительно данной системы координат.

Спроецируем параллельно по заданному направлению s точку А вместе с системой отнесения на некоторую плоскость П¢, которая называется аксонометрической (картинной) плоскостью проекций. Тогда О¢ x¢ y¢ z¢ – аксонометрическая система координат; проекции единичных отрезков на оси O¢x¢, O¢y¢, O¢z¢, обозначенные через е¢ _х, е¢_y, e¢_z – аксонометрические масштабы; А¢ – аксонометрическая проекция точки А; А₁ – аксонометрическая проекция проекции точки А на координатную плоскость хОу, она называется вторичной проекцией.

В зависимости от направления проецирования получают параллельную косоугольную или прямоугольную аксонометрию.

Положение точки А относительно системы координат Охуz определяется её натуральной координатной ломаной ОА_хА₁А. Зная натуральные единичные отрезки, определим натуральные координаты точки А:

При параллельном проецировании величины отношений отрезков прямой сохраняются, отсюда основное свойство аксонометрических проекций: аксонометрические координаты точки, измеренные аксонометрическими масштабами, численно всегда равны координатам точки

 

Рисунок 2.1 – Аксонометрический чертёж

 

Аксонометрические проекции принято подразделять на триметрические, когда все три аксонометрических масштаба различны, диметрические, когда равны два из них, и изометрические, когда все три масштаба одинаковы.

Для большего удобства построений в аксонометрии вводится понятие показателей искажения. Показателем искажения называют отношение аксонометрического масштаба к соответствующему натуральному.

Обозначив через p показатель искажения по оси х, через q – показатель искажения по оси y и через r – показатель искажения по оси z, можно написать:

Триметрические проекции: p ¹ r ¹ q, диметрические проекции: p = r ¹ q, изометрические проекции: p = r = q.

Показатели искажения в косоугольной аксонометрии связаны следующей зависимостью:

p ²+ q ²+ r ²=2+ ctg ² j,

где j - угол наклона направления проецирования к плоскости проекций П¢.

Так как обычно мы рассматриваем предметы, расположенные прямо перед глазом, то прямоугольная (ортогональная) аксонометрия в большей степени, чем косоугольная, удовлетворяет условию наглядности изображения. В прямоугольной аксонометрии угол j =90º, ctgj= 0, тогда зависимость показателей искажения следующая:

p ²+ q ²+ r ²=2.