Определим частость и накопленную частость для каждого интервала по формулам

, ,

где - количество значений параметра;

- общее количество значений мощности по статистической выборке.

7. Строим график плотности распределения значений параметра и кривую функции распределения (см. рис.1).

8. В соответствии с рекомендациями принимаем, что состояние автомобильного парка должно соответствовать обеспечению - ресурсного пробега. Для двигателей .

Тогда , т. е. общее число автомобилей, имеющих мощность двигателя ниже предельно-допустимого значения должно быть не более 15 %. Откладываем на оси ординат значение 0,15 и проводим горизонталь до пересечения с кривой функции распределения _i. На оси абсцисс находим значение параметра, соответствующее точке пересечения горизонталей с кривой _i. Это значение соответствует 85 л. с. Следовательно, предельно-допустимое значение мощности двигателя равно л. с.

9.Заключение: В предложенном примере количество двигателей с мощностью менее 85 л. с. составляет 5 единиц.

N, л. с.

80,14

85,28

90,42

95,56

100,70

105,84

111,0

0,1

0,5

0,2

0,3

0,4

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Рi,

Рi

Fi

Fi

 

Рис. 2.1 – Графики плотности (Р_i) и функции (F_i) распределения

случайной величины

 

Задача 7. Определить предельно-допустимое значение диагностического параметра и характеристики случайной величины по статистической выборке 60 значений мощности, развиваемой двигателями транспортного средства, приведенной ниже (двухмодальное распределение параметра).

 

Таблица 2.4 - Значение мощности, развиваемой двигателями транспортного средства, л. с.

Решение:

Характеристиками случайной величины являются среднее значение случайной величины , ее среднеквадратическое отклонение и вариация, которая оценивается коэффициентом вариации .

Определим эти характеристики

л. с.

Примем л. с. (для упрощения расчетов)

л. с.

.

Случайные величины, у которых , имеют малую вариацию;

при 0,1< - среднюю вариацию; при >0,33 – большую вариацию.

Точечные оценки позволяют предварительно судить о качестве изделий и технологических процессов. Чем ниже средний ресурс – и выше коэффициент вариации – v, тем ниже качество конструкции и изготовления (или ремонта) изделия.

Таким образом, мы определили характеристики случайной величины.

Далее решение задачи осуществляем, аналогично решению задачи 6, выполняя действия, изложенные в п. 1…6.

В результате выполнения этих действий мы получим распределение параметра по интервалам (табл. 2.5).

 

Таблица 2.5 - Распределение параметра по интервалам

Интервалы значений параметра	Количество значений параметра	Частость,	Накопленная частость,
51,00 – 59,57		0,08	0,08
59,57 – 68,14		0,07	0,15
68,14 – 76,71		0,03	0,18
76,71 – 85,28		0,05	0,23
85,28 – 93,85		0,23	0,46
93,85 – 102,42		0,47	0,93
102,42 – 111,0		0,07	1,00

 

По полученным значениям частостей (см. табл. 3) построим кривую плотности распределения (рис. 2). Как видно из рис. 2, мы имеем двухмодальное распределение.

Для решения задачи необходимо из выборки значений случайной величины отбросить те значения, которые создают левый “пик” на графике. Из графика (рис. 2.2) видно, что необходимо убрать значения, лежащие в интервале 51 – 75 л. с. Это такие значения: 51, 55, 58, 61, 64, 65, 65, 57, 58 – всего их 9.

По оставшейся выборке составляем новое распределение параметра по интервалам (табл. 2.6) и строим графики плотности и функции распределения параметра (рис. 2.3).

 

Таблица 2.6 - Распределение параметра по интервалам

Интервал значений параметра	Количество значений параметра	Частость,	Накопленная частость,
68,14 – 76,71		0,04	0,04
76,71 – 85,28		0,06	0,10
85,28 – 93,85		0,27	0,37
93,85 – 102,42		0,55	0,92
102,42 – 111,0		0,08	1,00

 

Для произведем действия по определению предельнодопустимого значения диагностического параметра. Получим л. с.

 

N, л. с.

59,57

68,14

76,71

85,28

93,85

102,42

0,1

0,5

0,2

0,3

0,4

0,6

Рi

Рi

 

 

Рис. 2.2 – График плотности распределения случайной величины

N, л. с.

68,14

76,71

85,28

93,85

102,42

111,0

0,1

0,5

0,2

0,3

0,4

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Рi,

Рi

Fi

Fi

 

Рис. 2.3 – Графики плотности (Р_i) и функции распределения (F_i) случайной величины
5. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ

 

Задача 1

Условие. В течение некоторого периода времени проводилось наблюдение за работой одного восстанавливаемого изделия. За весь период наблюдения было зарегистрировано n отказов. До начала наблюдения изделие проработало t₁ час, к концу наблюдения наработка изделия составила t₂ час. Требуется определить среднюю наработку на отказ . Исходные данные в табл. 3.1.

 

Таблица 3.1

№ варианта	Число отказов, n	Время до начала наблюдений t1, час	Наработка изделия к концу наблюдения, t2, час

Задача 2.

В течение некоторого времени проводилось наблюдение за работой N₀ экземпляров восстанавливаемых изделий. Каждый из образцов проработал t_i часов и имел п_i отказов. Требуется определить среднюю наработку на отказ по данным наблюдения за работой всех изделий. Исходные данные для расчёта приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

 

Номер варианта	Исходные данные
п1	t1, час	п2	t2, час	n3	t3, час	n4	t4, час	п5	t5, час
									–	–
							–	–	–	–
									–	–
									–	–
									–	–
							–	–	–	–
									–	–
									–	–
									–	–
							–	–	–	–
							–	–	–	–
									–	–
							–	–	–	–
									–	–
							–	–	–	–
									–	–
							–	–	–	–

 

 

Задача 3.

Система состоит из N приборов, имеющих разную надёжность. Известно, что каждый из приборов, проработав вне системы t_i часов, имел п_i отказов. Для каждого из приборов справедлив экспоненциальный закон распределения отказов. Найти среднюю наработку на отказ всей системы. Исходные данные для расчёта в табл. 3.3.

Таблица 3.3

Вариант
N	, час		, час		, час		, час		, час
								–	–	–	–
								–	–	–	–
										–	–
								–	–	–	–
										–	–
								–	–	–	–
										–	–
								–	–	–	–
								–	–	–	–
										–	–
										–	–
								–	–	–	–
										–	–
										–	–
								–	–	–	–
										–	–
										–	–

 

Задача 4.

Система состоит из k групп элементов. В процессе эксплуатации зафиксировано п отказов. Количество отказов в j–й группе равно n_j; среднее время восстановления элементов j–й группы равно t_j. Требуется вычислить среднее время восстановления системы. Исходные данные для расчёта приведены в табл. 3.4.

Таблица 3.4

Вариант

k

n

мин.

мин.

мин.

мин.

мин.

 

 

Задача 5.

Изделие имеет среднюю наработку на отказ t_ср и среднее время восстановления t_в . Требуется определить коэффициент готовности изделия. Исходные данные для расчёта приведены в табл. 3.5.

Таблица 3.5

№ п/п	Исходные данные
, час.	, час.
		2,5
		1,7
		3,5
		6,5
		8,9
		2,5
		2,5

 

Задача 6. Определить предельно-допустимое значение диагностического параметра по статистической выборке n значений мощности, развиваемой двигателями транспортного средства, приведенной ниже.

Вариант 1 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, л. с.)

35,2	32,4	36,5	33,8	33,8	32,8	33,0	31,8	34,5	36,5
32,6	38,7	34,8	30,5	37,4	31,2	33,9	40,5	36,3	37,5
35,8	26,7	37,0	35,0	37,5	36,2	33,8	43,0	38,8	37,8

Вариант 2 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, л. с.)

35,2	37,5	33,0	33,8	36,6	32,6	35,0	36,2	37,8	38,7
35,8	36,5	33,5	37,8	43,0	30,5	33,8	38,7	36,3	33,8
31,8	36,5	33,8	34,5	32,0	32,8	37,5	26,8	37,0	38,7
34,7	32,4	30,8	35,0	31,3	34,8	38,4	38,6	37,9	38,8

Вариант 3 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, л. с.)

33,8	35,0	38,7	33,0	32,6	37,0	36,5	34,5	26,6	35,0
33,0	30,8	36,5	33,5	32,8	30,5	34,8	38,7	36,2	36,3
37,9	34,8	43,0	40,5	31,3	33,8	32,4	38,8	37,5	36,5
37,5	31,8	33,8	37,0	32,0	34,7	36,6	37,8	37,8	37,4
35,0	34,5	35,2	31,2	37,4	38,6	33,8	35,8	35,5	39,8

Вариант 4 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, кВт.)

25,9	23,8	26,8	24,8	24,8	24,2	24,3	23,4	25,4	26,8
24,0	28,4	25,6	22,4	27,5	23,0	25,0	29,8	26,7	27,6
26,4	19,7	27,2	25,7	27,6	26,6	24,8	31,6	28,6	27,8

Вариант 5 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, кВт.)

25,9	23,8	24,6	35,4	23,0	22,4	24,8	26,6	27,8	28,8
26,4	26,8	24,8	25,7	31,8	24,0	25,7	27,7	26,7	24,9
23,4	26,8	22,8	27,8	23,6	24,1	27,6	19,6	27,2	28,8
25,5	27,6	24,3	24,8	26,9	25,6	28,2	28,4	27,9	28,6

Вариант 6 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, кВт.)

25,8	24,9	25,8	24,3	24,0	27,2	26,9	25,4	19,6	28,4
26,7	24,3	22,7	24,6	24,2	22,4	25,6	28,5	26,4	26,9
26,8	27,9	31,9	29,8	23,0	24,9	23,8	28,6	27,6	25,6
27,5	27,5	23,4	27,2	23,5	25,5	27,0	27,8	27,8	24,8
29,3	25,8	25,4	23,0	27,5	28,4	24,9	26,4	26,1	25,9

Вариант 7 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, л. с.)

Вариант 8 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, л. с.)

 

Вариант 9 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, л. с.)

Вариант 10 (к задаче 6 ) (выборка из 30 значений, кВт.)

Вариант 11 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, кВт.)

Вариант 12 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, кВт.)

Вариант 13 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, л. с.)

Вариант 14 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, л. с.)

Вариант 15 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, л. с.)

Вариант 16 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, кВт.)

Вариант 17 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, кВт.)

Вариант 18 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, кВт.)

Вариант 19 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, л. с.)

Вариант 20 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, л. с.)

Вариант 21 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, л. с.)

Вариант 22 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, кВт.)

Вариант 23 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, кВт.)

Вариант 24 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, кВт.)

Вариант 25 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, л. с.)

Вариант 26 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, л. с.)

Вариант 27 (к задаче 6) (выборка из 50 значений, л. с.)

Вариант 28 (к задаче 6) (выборка из 30 значений, кВт.)

Вариант 29 (к задаче 6) (выборка из 40 значений, кВт.)