Центр параллельных сил. Сила тяжести, центр тяжести тела. Координаты центра тяжести плоской фигуры. Центры тяжести простых геометрических фигур и фигур, имеющих ось симметрии.

Центр параллельных сил - точка, через которую проходит линия действия равнодействующей системы параллельных сил F_k при любом повороте всех этих сил около их точекприложения в одну и ту же сторону и на один и тот же угол. Координаты Ц. п. с. определяются формулами:

где x_k, y_k, z_k — координаты точек приложения сил. Понятием Ц. п. с. пользуются при отыскании координат центров тяжести

Сила тяжести — сила, действующая на любое материальное тело, находящееся вблизи поверхности Земли или другого астрономического тела. Сила тяжести, действующая на тело, находящееся на поверхности Земли равна массе тела, умноженной на постоянную g=9.8 м/с².

- из закона Всемирного тяготения. (где M- масса планеты, m - масса тела, R - расстояние до центра планеты).

- сила тяжести из второго закона Ньютона (где m - масса тела, g - ускорение силы тяжести).

Ускорение силы тяжести зависит:

1. Массы планеты. 2. Радиуса планеты. 3. От высоты над поверхностью планеты. 4. От географической широты (на полюсах - 9,83 м/с². на экваторе -9,79 м/с². 5. От залежей полезных ископаемых.

Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела.

Координаты центра тяжести плоской фигуры определяются по формулам

где – координаты центра тяжести простейшей части фигуры, – её площадь, – суммарная площадь.

Координаты центра тяжести некоторых однородных тел

№	Наименование фигуры	Рисунок
	Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности.
	Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности.
	Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0). где α – половина центрального угла; R – радиус окружности.
	Полукруг:
	Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан. где x1, y1, x2, y2, x3, y3 – координаты вершин треугольника
	Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
	Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.
	Трапеция: - площадь фигуры.

Симметрия. Если тело имеет центр симметрии, то центр тяжести находится в центре симметрии.
Если тело имеет плоскость симметрии. Например, плоскость ХОУ, то центр тяжести лежит в этой плоскости.

Основные понятия кинематики. Покой, равновесие, движение, траектория, путь, скорость, ускорение.

Раздел механики, занимающийся изучением движения материальных тел без учета их масс и действующих на них сил, называется ки­нематикой.

Движение - основная форма существования всего матери­ального мира, покой и равновесие - частные слу­чаи. Всякое движение, и механическое в том числе, происходит в пространстве и во времени.

Все тела состоят из материальных точек. Чтобы получить правильное представление о движении тел, начинать изучение нужно с движения точки. Перемещение точки в пространстве выражается в метрах, а также в дольных (см, мм) или кратных (км) единицах длины, время - в секундах. В практике или жизненных ситуациях время часто выражают в минутах или часах. Отсчет времени при рассмотрении того или иного движения точки ведут от определенно­го, заранее обусловленного начального момента (t = 0).

Геометрическое место положений движущейся точки в рассматри­ваемой системе отсчета называется траекторией. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволиней­ное. Траектория точки может быть определена и задана заранее. Так, например, траектории искусственных спутников Земли и меж­планетных станций вычисляют заранее, или если принять движущиеся по городу автобусы за материальные точки, то их траектории (маршруты) также известны. В подобных случаях положение точки в каждый момент времени определяется расстоянием (дуговой коорди­натой) S, т.е. длиной участка траектории, отсчитанной от неко­торой ее неподвижной точки, принятой за начало отсчета. Отсчет расстояний от начала траектории можно вести в обе стороны, по­этому отсчет в одну какую-либо сторону условно принимают за по­ложительный, а в противоположную - за отрицательный,т.е. рас­стояние S - величина алгебраическая. Она может быть положитель­ной ( S>0) или отрицательной ( S<0).

При движении точка за определенный промежуток времени прохо­дит некоторый путь L , который измеряется вдоль траектории в направлении движения.

Если точка стала двигаться не из начала отсчета 0, а из поло­жения, находящегося на начальном расстоянии S_o то

 

Векторная величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью.

Скорость точки в любой момент ее движения направлена по каса­тельной к траектории.

Отметим, что это векторное равенство характеризует лишь поло­жение , а модуль средней скорости за время

где - путь, пройденный точкой за время .

Модуль средней скорости равен частному от деления пройденного пути на время, в течение которого этот путь пройден.

Векторная величина, характеризующая быстроту изменения направ­ления и числового значения скорости, называется ускорением.

При равномерном движении по криволинейной траектории точка тоже имеет ускорение, так как и в этом случае изменяется направ­ление скорости.

За единицу ускорения принимают обычно .

14. Способы задания движения материальной точки.

Существует три способа: естественный, координатный, вектор­ный.

Естественный способ задания дви­жения точки. Если кроме траектории, на которой отмече­но начало отсчета 0, задана зависимость

между расстоянием S и временем t , это уравнение называется за­коном движения точки по заданной траектории.

Пример:

Пусть, например, задана некоторая траектория, движение точки по которой определяется уравнением . Тогда в момент времени , т.е. точка находится в начале отсчета 0; в момент времени точка находится на расстоянии ; в момент времени

точка находится на расстоянии от начала отсчета 0.

Координатный способ задания дви­жения точки. Когда траектория точки заранее не извест­на, положение точки в пространстве определяется тремя координа­тами: абсциссой X, ординатой У и аппликатой Z .

или , исключив время.

Эти уравнения выражают закон движения точки в прямоугольной системе координат (OXYZ).

В частном случае, если точка движется в плоскости, закон дви­жения точки выражается двумя уравнениями:

или .

Например. Движение точки в плоской системе координат задано уравнениями X = 2t и У=3t (X и У - см, t - с). Тогда в момент времени и у_о = 0, т.е. точка находится в начале координат; в момент времени координаты точки , ; в момент времени координаты точки ,

и т.д.

Зная закон движения точки в прямоугольной системе координат, можно определить уравнение траектории точки. Например, исключив время t из заданных выше уравнений X = 2t и У = 3t, , получим уравнение траектории ЗХ - 2У = 0. Как видим, в этом случае точка движется по прямой, проходящей через начало координат.

15. Определение скорости и ускорения материальной точки при естественном способе задания ее движения.

Естественные оси (касательная, главная нормаль, бинормаль) − это оси подвижной прямоугольной системы координат с началом в движущейся точке. Их положение определяется траекторией движения. Касательная (с единичным вектором ) направлена по касательной в положительном направлении отсчета дуговой координаты и находится как предельное положение секущей, проходящей через данную точку. Через касательную проходит соприкасающаяся плоскость, которая находится как предельное положение плоскости p при стремлении точки M1 к точке M. Нормальная плоскость перпендикулярна касательной. Линия пересечения нормальной и соприкасающейся плоскостей − главная нормаль. Единичный вектор главной нормали направлен в сторону вогнутости траектории. Бинормаль (с единичным вектором ) направлена перпендикулярно касательной и главной нормали так, что орты , и образуют правую тройку векторов. Координатные плоскости введенной подвижной системы координат (соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая) образуют естественный трехгранник, который перемещается вместе с движущейся точкой, как твердое тело. Его движение в пространстве определяется траекторией и законом изменения дуговой координаты.

Из определения скорости точки

,где , − единичный вектор касательной.

 

Тогда

,

16. Определение скорости и ускорения материальной точки при еоординатном способе задания ее движения.

Связь векторного способа задания движения и координатного дается соотношением

Из определения скорости:

.

Проекции скорости на оси координат равны производным соответствующих координат по времени

, , . .

Модуль и направление скорости определяются выражениями:

,

.

Точкой сверху здесь и в дальнейшем обозначается дифференцирование по времени

Из определения ускорения:

.