Постановка задачи о притоке реального газа в круговом пласте к скважине. Уравнение, граничные и начальные условия.

(1.3.1)

Начальные и граничные условия:

t = 0 P= P_k = const (1.3.2)

r= R₀ (1.3.3a)

r= R _k (1.3.3б)

Далее пусть уравнение состояния для газа имеет вид:

, (1.3.4a)

Если газ идеальный, то имеем ,

если газ реальный, то имеем ,

для упругого пласта имеем (1.3.4б)

Для получения универсального решения справедливого для любых рассматриваемых параметров представим дифференциальное уравнение и граничные условия в безразмерном виде, для чего введем безразмерные параметры и переменные:

;

 

(1.3.5)

С учетом (1.3.5) уравнение (1.3.1) и граничные условия (1.3.2) и (1.3.3) имеют вид (для простоты в дальнейшем звездочки будем опускать.)

	(1.3.)
	(1.3.3’a)
	(1.3.3’б)

Уравнение (1.3.1) является общим нелинейным параболическим дифференциальным

уравнением. Из него легко получить, например, дифференциальные уравнения для течения идеального газа. Для этого надо положить , а =1.

 

Представим теперь задачу (1.3.1’)-(1.3.3’б) в конечно-разностной форме.

При этом рассмотрим пространственно-временную непрерывную область в виде сеточной области. ;

J+1 J j-1									Будем использовать неявную разностную схему вида крест. Граница пласта и скважина расположены в середине интервалов, чтобы получить
0 1 2 I- 1 I I+ 1 m- 1 m Рис.1.1

лучшую аппроксимацию, порядка

	(1.3.6)
	(1.3.7)

Для записи разностной схемы уравнения (1.3.1’) поступим следующим образом. Обозначим тогда левая часть уравнения (1.3.1^’) записывается в виде и далее, заменяя на разности , получим

Правую часть (1.3.1^’) представим согласно мнемонической схемы на рис.1.1 и, учитывая, что пространственные разности берутся на верхнем временном слое, имеем после некоторых преобразований

	(1.3.8)
систему (n+1) уравнения с (n+1) неизвестным. система линейна и имеет три диагонали.

 

5.Метод прогонки применительно к фильтрации реального газа в круговом пласте.(+4)

(1.3.6) (1.3.7)

Перепишем в общем случае задачу (1.3.8), (1.3.6), (1.3.7) так

	(1.3.9)
; - общий вид граничных условий.	(1.3.10)

Пусть имеет место рекуррентное соотношение:

,

(1.3.11)

Подставим в (1.3.9) выражение , тогда

	(1.3.12)
Сопоставляя (1.3.11) и (1.3.12), видим, что они совпадают при любых значениях , если: ;	(1.3.13)

Если коэффициенты в точке известны, то при помощи формул (1.3.13) можно просчитать коэффициенты , и т. д.

Затем, зная значения по формуле (1.3.11), можно определить значения для всех .

Для определения начальных значений коэффициентов и воспользуемся условиями (1.3.10).Тогда будем иметь

(1.3.14)

В нашем конкретном случае имеем (см.1.3.6.)

Итак, для функций E_i и F _i имеем формулы прямой прогонки (1.3.13), (1.3.14)

Если E _n-1 и F _n-1 известны, то из граничного условия P _n = ₂ P _n-1+ µ ₂

и P _{n- 1} = E_n-1 P _n-1+ F _n-1 можно получить значение P_n на границе. Т.е.

(1.3.15)

В нашем случае с учётом (1.3.7) имеем

Итак, формулы (1.3.11) и (1.3.15) позволяют определить значения P _i для всех значений

i = n, n-1…0. (Это формулы обратной прогонки.)

6.Метод прогонки. Основные формулы. Доказательство устойчивости метода.(+4,5)

(1.3.6) (1.3.7)

Перепишем в общем случае задачу (1.3.8), (1.3.6), (1.3.7) так

	(1.3.9)
; - общий вид граничных условий.	(1.3.10)

Пусть имеет место рекуррентное соотношение:

,

(1.3.11)

Подставим в (1.3.9) выражение , тогда

	(1.3.12)
Сопоставляя (1.3.11) и (1.3.12), видим, что они совпадают при любых значениях , если: ;	(1.3.13)

Если коэффициенты в точке известны, то при помощи формул (1.3.13) можно просчитать коэффициенты , и т. д.

Затем, зная значения по формуле (1.3.11), можно определить значения для всех .

Для определения начальных значений коэффициентов и воспользуемся условиями (1.3.10).Тогда будем иметь

(1.3.14)

В нашем конкретном случае имеем (см.1.3.6.)

Итак, для функций E_i и F _i имеем формулы прямой прогонки (1.3.13), (1.3.14)

Если E _n-1 и F _n-1 известны, то из граничного условия P _n = ₂ P _n-1+ µ ₂

и P _{n- 1} = E_n-1 P _n-1+ F _n-1 можно получить значение P_n на границе. Т.е.

(1.3.15)

В нашем случае с учётом (1.3.7) имеем

Итак, формулы (1.3.11) и (1.3.15) позволяют определить значения P _i для всех значений

i = n, n-1…0. (Это формулы обратной прогонки.)

Формулы прогонки (1.3.13), (1.3.14) и (1.3.15), (1.3.11) были нами получены формально. Мы делили на выражения (b _i- c _i E_{i- 1}) и (1- ₂E_n-1), предполагая, что они не равны нулю. Сейчас мы укажем достаточные условия, когда это можно делать.

Пусть

(1.3.16)

Для устойчивости метода прогонки достаточно иметь для всех i=1,2,..n-1

Это действительно так. Рассмотрим разность

, при .

Поскольку , то , т.е. .

Отсюда, видно, что , если . Тогда все при .

Рассмотрим теперь неравенство

, т.к. или , или ,

т.е.

Таким образом, при выполнении условий (1.3.16) разностная задача, решаемая методом прогонки, имеет единственное решение.

1.3.4. В силу того, что решение ведется на ЭВМ приближенно, с конечным числом значащих цифр, возникают ошибки округления. Из-за них фактически находится не функция - решение задачи (1.3.9), (1.3.10), а - решение той же задачи с возмущенными коэффициентами и правыми частями . При этом, если процесс вычислений происходит с возрастанием ошибки округления, то это может привести как к потере точности, так и к невозможности продолжить вычисления из-за роста получаемых величин.

. Если учесть, что в ходе вычислений возмущающимися являются и коэффициенты и , то показывается, что ошибка в определении в задаче (1.3.9),(1.3.10) пропорциональна квадрату числа узлов

,

 

где - ошибка округления.

Первым приближением служат нелинейные коэффициенты, вычисленные по данным решения на j -ом временном слое. Затем определяется приближенное решение на (j +1)-ом временном слое. Во втором приближении для вычисления нелинейных членов используется решение на (j+1)-ом слое. Вновь определяется решение на (j +1)-ом временном слое и т. д., до тех пор, пока не будет выполнено неравенство