Репрезентативность тестовых норм

 

Основные статистические принципы построения тестов достаточ­но полно освещены в появившейся в начале 80-х годов на русском языке литературе по дифференциальной психометрике (Аванесов В. С., 1982; Анастази А., 1982; Гайда В. К., Захаров В. П., 1982). Тем не менее в указанных руководствах центральная проблема пси­хометрики тестов - вопрос о тестовых нормах - еще не получила пос­ледовательного освещения. Прежде всего это относится к руковод­ству известной представительницы американской тестологии А. Ана­стази.

В руководстве Анастази не получают достаточного критического обсуждения две основополагающие предпосылки традиционной за­падной тестологии: вопрос о применении статистических норм (кван­тилей распределения баллов) в качестве диагностических норм и воп­рос о сведении всех эмпирических распределений к нормальной мо­дели. Ниже эти предпосылки будут проанализированы в контексте краткой реконструкции системы основных понятий дифференциаль­ной психометрики.

Статистическая природа тестовых шкал. Типичный измери­тельный тест в психодиагностике - это последовательность кратких заданий, или пунктов, дающая в результате ее выполнения испытуе­мым последовательность исходов, которая затем подвергается одно­значной количественной интерпретации. Примеры интерпретации в интеллектуальных тестах, состоящих из отдельных задач: «правиль­ное решение», «ошибочное решение», «отсутствие ответа» (пропуск задачи из-за нехватки времени). Примеры интерпретации в случае лич­ностных опросников, состоящих из высказываний, предлагаемых для подтверждения испытуемым: «подтверждение» (ответ «верно»), «от­вержение» (ответы «не согласен», «неверно»).

Суммарный балл по тесту подсчитывается с помощью ключа: ключ устанавливает числовое значение исхода по каждому пункту. Напри­мер, за правильное решение задания дается «+1», за неправильное решение или пропуск - «О». Тогда балл буквально выражает количе­ство правильных ответов.

Исход по отдельному заданию подвержен воздействию не только со стороны измеряемого фактора - способности или черты личности испытуемого, но и побочных шумовых факторов, которые являются иррелевантными по отношению к задаче измерения. Примеры слу­чайных факторов: колебания внимания, вызванные неожиданными от­влекающими событиями (шум на улице, стук в дверь и т. п.), трудно­сти в понимании смысла задания (вопроса), вызванные особенностя­ми опыта данного конкретного испытуемого, и т. п. Последователь­ность исходов оказывается последовательностью событий, содержа­щей постоянный и случайный компоненты. Как известно, основным приемом, позволяющим устранить искажающее влияние случайных факторов на результат (суммарный балл), Является балансировка это­го влияния с помощью повторения. При этом фактически предпола­гается, что повторение обеспечивает рандомизацию (случайное варь­ирование) неконтролируемого фактора, в результате чего при сумми­ровании исходов Положительные и негативные эффекты случайных факторов взаимопоглощаются (о механизме рандомизации см.: Готтсданкер Р., 1982).

В оптимальном тесте набор и последовательность заданий орга­низуются таким образом, чтобы повысить долю постоянного компо­нента и сократить долю случайного в величине суммарного балла. Тем не менее, несмотря на различные статистические ухищрения, суммарный балл в психологических измерениях содержит несравнен­но большую долю случайного компонента, чем в обычных физичес­ких измерениях. В силу этого суммарный балл оказывается опреде­ленным лишь в известных пределах, заданных ошибкой измерения.

Для того чтобы оценить эффективность, дифференциальную цен­ность всей процедуры измерения, необходимо соотнести размеры ошибки измерения с размерами разброса суммарных баллов, вызван­ных индивидуальными различиями в измеряемой характеристике между испытуемыми. В терминах Статистики речь идет о сравнении так называемой истинной дисперсии распределения суммарных баллов с дисперсией ошибки. Именно этим обусловлен необходимый интерес психометристов к распределению суммарных баллов. Поэто­му анализ распределения необходим не только при использовании статистических норм, но и в случае абсолютных и критериальных норм.

Как известно, частотное распределение суммарных баллов имеет удобную графическую интерпретацию в виде кривых распределений: гистограммы и кумуляты (см., в частности, удачное популярное вве­дение в описание распределений в книге: Кимбл Г., 1982, с. 55-70). В случае гистограммы по оси абсцисс откладываются «сырые очки» -первичные показатели суммарных баллов, возможных для данного теста, по оси ординат - относительные частоты (или проценты) встре­чаемости баллов в выборке стандартизации (Анастази А., 1982, с. 66). Как известно, для «колоколообразной» кривой нормального распре­деления дисперсия визуализируется как параметр, ответственный за «распластанность» графика плотности вероятности (теоретического аналога эмпирической кумуляты) вдоль оси X. Чтобы визуализиро­вать дисперсию ошибки измерения, нужно было бы многократно про­вести тест с одним испытуемым и построить графическое распреде­ление частот его индивидуальных баллов (рис. 1).

Очевидно, что дифференцирующая способность теста сводится к нулю, если кривые, иллюстрирующие «истинную» и «ошибочную» дисперсии» совпадают. Как видим, анализ распределения тестовых баллов необходим уже для анализа надежности теста (см. раздел 3.2).

Проблема меры в психометри­ке и свойства пунктов теста. В физических измерениях калибров­ка шкалы производится на основе контроля за равномерным варьиро­ванием измеряемого свойства в эта­лонных объектах. Носителем меры является эталон- физический объект, стабильно сохраняющий заданную величину измеряемого свойства. В дифференциальной психометрике такие физические эталоны отсутствуют: мы не располагаем индивидами, которые были бы постоянными носителями за­данной величины измеряемого свойства.

Рис. 1.Соотношение индивидуальной и общей вариации тестовых баллов

Роль косвенных эталонов в психометрике выполняют сами тесты: в том смысле, в каком труд­ность задач можно рассматривать как величину, прямо пропорцио­нально сопряженную со способностью (чем труднее задача, тем выше должен быть уровень способности, требуемый для ее решения). Ана­логом понятия «трудность» для «ли-вопросов»[10] опросника является «сила»: более «сильные» высказывания (в логическом смысле) вызы­вают подтверждение (согласие) у меньшего числа испытуемых. Ни трудность, ни силу пунктов теста нельзя выявить иначе, чем с помо­щью проведения теста. Операциональным определением трудности оказывается «процентильная мера»: процент испытуемых, справив­шихся с заданием теста (или ответивших «верно» на «ли-вопрос»). Чем меньше процент, тем выше трудность.

Кривая распределения тестовых баллов отражает свойства пунк­тов, из которых составлен тест. Если кривая имеет правостороннюю асимметрию, то в тесте преобладают трудные задания; если кривая имеет левостороннюю асимметрию, значит, большинство пунктов в тесте - легкие (слабые) (рис. 2).

Рис. 2.Асимметрии распределения тестовых баллов

Тесты первого типа плохо дифференцируют испытуемых с низ­ким уровнем способностей: все эти испытуемые получают примерно одинаковый низкий балл. Тесты второго типа, наоборот, хуже диффе­ренцируют испытуемых с высоким уровнем способностей.

Если пункты обладают оптимальным уровнем трудности (силы), то кривая распределения зависит от того, насколько пункты однород­ны. Если пункты разнородны (исход по одному пункту не предопре­деляет исход по другому), то мы получаем тест в виде последователь­ности независимых испытаний Бернулли. Как известно из математи­ческой статистики, при достаточно большом количестве независимых испытаний с двумя разновероятными исходами кривая биномиально­го распределения (кривая суммарного балла) по закону больших чи­сел автоматически приближается к кривой нормального распределе­ния (центральная предельная теорема Муавра - Лапласа). Если тест содержит разнородные задания примерно равного уровня трудности (именно такие задания и подбираются для измерения интегральных свойств личности), то нормальность распределения суммарных бал­лов возникает автоматически - как артефакт самой процедуры под­счета суммарных баллов. При этом, конечно, форма кривой распре­деления баллов не позволяет говорить о реальной форме распределе­ния измеряемого свойства, каким оно является само по себе - в ши­рокой популяции испытуемых. Нормальность распределения есть артефакт, прямое следствие направленного отбора пунктов с задан­ными свойствами.

Если подбираются пункты, тесно положительно коррелирующие между собой (испытания не являются статистически независимыми), то в распределении баллов возникает отрицательный эксцесс (рис. 3,а), Максимальных значений отрицательный эксцесс достигает по мере возрастания вогнутости вершины распределения - до образования двух вершин -двух мод (с «провалом» между ними -рис. 3,6). Бимо­дальная конфигурация распределения баллов указывает на то, что вы­борка испытуемых разделилась на две категории (с плавными пере­ходами между ними): одни справились с большинством заданий (со­гласились с большинством «ли-вопросов»), другие - не справились.

 

Рис. 3. Отрицательные (а, б) положительный (в) эксцессы распределения тестовых баллов

 

Такая конфигурация распределения свидетельствует о том, что в ос­нове пунктов лежит какой-то один общий им всем признак, соответ­ствующий определенному свойству испытуемых: если у испытуемых есть это свойство (способность, умение, знание), то они справляются с большинством пунктов, если этого свойства нет - то не справляют­ся. В некоторых редких ситуациях пункты могут отрицательно корре­лировать друг с другом. В этом случае на кривой возникает положи­тельный эксцесс (рис. 3, в): вся масса эмпирических точек собирается вблизи среднего значения. Такое возможно в двух случаях: 1) когда ключ составлен неверно -объединены при подсчете отрицательно свя­занные признаки, которые обусловливают взаимоуничтожение бал­лов; 2) когда испытуемые применяют, разгадав направленность оп­росника, специальную тактику «медианного балла» - искусственно балансируют ответы «за» и «против» одного из полюсов измеряемого качества.

Итак, когда в качестве единственного эталона измерения психодиагностами рассматривается сам тест, то в качестве меры измеряе­мого свойства выступает положение балла на кривой распределения. Применяется процентильная шкала. В качестве универсальной меры, пригодной для разных (по своей качественной направленности и ко­личеству пунктов) тестов, используется «процентильная мера». Процентилъ — процент испытуемых из выборки стандартизации, кото­рые получили равный или более низкий балл, чем балл данного испы­туемого. Таким образом, в качестве источника данной меры высту­пает нормативная выборка (выборка стандартизации), на которой построено нормативное распределение тестовых баллов. Процентильные шкалы лежат в основе всех традиционных шкал, применяе­мых в тестологии (Т-очки MMPI, баллы IQ, стены 16 PF и др.).

Подчеркнем, что с точки зрения теории измерений, процентильные шкалы относятся к порядковым шкалам: они дают информацию о том, у кого из испытуемых сильнее выражено измеряемое свойство, но не позволяют говорить о том, во сколько раз сильнее. Для того чтобы строить на базе таких шкал количественный прогноз, нужно повысить уровень измерения (популярное изложение представлений о теории измерений см. в книге: Клигер С. А. и др., 1978). Переход к шкалам интервалов производят либо на базе эмпирического распределения, либо на базе произвольной модели теоретического распределения. В абсолютном большинстве случаев в роли такой теоретической модели ока­зывается модель нормального распределения (хотя в принципе может быть использована любая модель).

В целом кроме статистических, процентильных шкал следует от­личать нередко используемые в дифференциальной психометрике еще 2 вида шкал (и соответственно 2 вида тестовых норм). Это, во-пер­вых, то, что можно условно назвать «абсолютными тестовыми нор­мами» — в роли шкалы для вынесения диагноза выступает сама шкала «сырых» очков, во-вторых, «критериальные» тестовые нормы. При­менение таких норм можно считать оправданным в двух случаях: 1) когда сама тестовая «сырая» шкала имеет практический смысл (на­пример, студент, изучающий иностранный язык, должен знать как можно больше слов этого языка, и сырой показатель лексического теста имеет практический смысл); 2) когда сырой балл по тесту в ре­зультате эмпирических исследований связывается с заданной вероят­ностью успешности какой-либо практической деятельности (вероят­ность успеха «критериальной» деятельности, каковой для упомяну­того выше примера может быть синхронный перевод монолога в те­чение 30 минут).

Процентильная нормализация шкалы. Выше Показано, что нор­мальность распределения достигается искусственным подбором пун­ктов теста с заданными статистическими свойствами: Опишем еще ряд процедур, которые также широко используются для искусствен­ной нормализации.

1. Нормализация пунктов. Ключ для данного пункта корректиру­ется на базе нормальной модели. Если среди нормативной выборки с данным заданием справились только 16 % испытуемых, то данному пункту на интервальной шкале «трудности» (при условии априорно­го принятия нормальной модели с параметрами М = 0 и а = 1) соот­ветствует значение +1 (см. график в книге: Анастазй А., 1982, с. 181). Если справились 75 % испытуемых, то балл пункта на сигма-шкале равен-0,67. В результате суммирования по пунктам баллов, скоррек­тированных нормализацией, суммарные баллы лучше приближаются к нормальному распределению.

2. Нормализация распределения суммарных баллов (или интер­вальная нормализация). В этом случае по таблице нормального рас­пределения (нормального интеграла) производится переход от процентильной шкалы к сиг­ма-шкале: используется функция, обратная интег­ральной, - от ординаты производится переход к абсциссе нормального рас­пределения.

 

 

Рис. 4. Преобразование процентильной шкалы (по оси X) в нормализованную сигма-шкалу (по оси Y)

 

 

На рис. 4 дана условная графическая ил­люстрация этого перехода (кривая, обратная традици­онной S-образной интег­ральной кривой нормаль­ного распределения).

Приведем пример интервальной нормализации (табл. 3). Пусть строка X содержит сырые баллы (не нормализованные) по тесту, по­лученные простым подсчетом правильных ответов. В строке Р - час­тоты встречаемости сырых баллов в выборке из 62 испытуемых. В строке F - кумулятивные частоты: = . В строке F* - кумулятивные баллы: . В строке PR - процентильные ранги: . В строке σ даются нормализованные баллы, по­лученные из соответствующих процентильных рангов по таблицам, а -оценки часто называются в зарубежной литературе также z-оценками.

Таблица 3

 

X P F F^* PR σ

1,6 -2,1

17,7 -0,9

26,5 42,7 -0,2

59,7 0,2

74,2 0,6

87,1 1,1

95,2 1.7

61.5 99.2 2.4

n=62     Σ=100 M=0 σ =1

Трудность, с которой сталкиваются начинающие при использова­нии интервальной нормализации, состоит в том, что обычные статис­тические таблицы не приспособлены для психометрики: нужно отыс­кивать значение процентильного ранга внутри таблицы, а соответству­ющую сигма-оценку – с краю. Для облегчения ориентации приведем фрагмент таблицы соответствий PR, а и стенов (табл. 4):

Таблица 4

PR σ стен	2,33	1,64	1,28	1,04	0,84	0,68	0,52 6,5	0,39 6,5	0,25	0,13
PR σ стен	0,0 5,5	-0,13	-0,25	-0,39 4,5	-0,52	-0,68	-0,84	-1,04	-1,28	-1,64	-2,33

 

В обычных таблицах из соображений симметрии даны лишь зна­чения для PR > 50. Для PR < 50 соответствующие значения находят­ся из тех же таблиц σ = ψ ^-1(1- PR/100). Например, для PR =35 мы находим 1 - PR/100 = 1 - 0,35 = 0,65, затем - по табл. ψ ^-1 = 0,39 и бе­рем это значение с отрицательным знаком -0,39. Для нормализации удобно пользоваться графическим методом (нормальной бумагой, стандартной 5-образной кривой и т. п.).

В результате нормализации интервалы между исходными сыры­ми баллами переоцениваются в соответствии с нормальной моделью. В отличие от процентильной шкалы, нормальная шкала придает боль­ший вес (в дифференциации испытуемых) краям распределения: раз­личия между испытуемыми, набравшими 95 и 90 процентилей, оце­ниваются как более высокие, чем различия между испытуемыми, набравшими 65 и 60 процентилей.

В применении к шкалам оценок (рейтинговым шкалам) метод нормализации интервалов называется «методом последовательных интервалов» (Клигер С. А. и др., 1978, с. 75-81).

В результате применения процедуры нормализации исследователь-психометрист получает для нормативной выборки таблицу перевода сырых баллов в нормализованные баллы. На основе этих таблиц час­то строят графики: деления сырых баллов наносят на числовую ось с неравными интервалами, так что эмпирическое распределение час­тот максимально близко приближается к нормальной форме. Пример такой графической нормализации - профильные листы MMPI (Анастази А., 1982, с. 129).

Так как нормальное распределение описывается всего двумя па­раметрами: средним М (мерой положения) и средним квадратическим (или стандартным) отклонением а (мерой рассеяния), то диаг­ностические нормы в случае нормализованных шкал описываются в единицах отклонений от среднего по выборке; например, заключают, что испытуемый А показал результат, превышающий средний балл на две сигмы, испытуемый В -результат, оказавшийся ниже среднего балла на одну сигму, и т. п. На процентильной шкале этому соответ­ствуют процентильные ранги 95 и 16 соответственно.

Переход к нормальному распределению создает очень удобные условия для количественных операций с диагностической шкалой: как со шкалой интервалов с ней можно производить операции ли­нейного преобразования (умножение и сложение), можно описы­вать диагностические нормы в компактной форме (в единицах от­клонений), можно применять линейный коэффициент корреляции Пирсона, критерии для проверки статистических гипотез, постро­енные в применении к нормальному распределению, т. е. весь ап­парат традиционной статистики (основанной на нормальном рас­пределении).!

Неправомерность онтологизации нормального закона. В тради­ционной психометрике нормальное распределение выступает в роли инструментального понятия, облегчающего оперирование с данны­ми. Но это не означает, что можно забывать об искусственном проис­хождении нормального распределения. Традиции западной тестологии, основанные еще Ф. Гальтоном, предполагают однородность тео­ретических представлений психометрики и биометрики. Точно так же как происхождение нормального распределения при исследовании вариативности биологических характеристик человеческого организма связывается с наличием взаимодействия постоянного фактора гено­типа и изменчивых случайных факторов фенотипа, - происхождение межиндивидуальных психологических различий связывается с гене­тическим кодом, якобы предопределяющим положение индивида на оси нормальной кривой. В действительности же нет никаких оснований приписывать появление нормальной кривой, часто получаемой с помощью специальных статистических непростых процедур, дей­ствию механизма наследственности.

В тех случаях, когда на большой выборке удается получить нор­мальное распределение без каких-либо искусственных способствую­щих этому мер, это опять-таки не означает вмешательства генетики. Закон нормального распределения воспроизводится всякий раз, когда на измеряемое свойство (на формирование определенного уровня спо­собностей индивида) действует множество разных по силе и направ­ленности факторов, независимых друг от друга. История прижизнен­ных средовых воздействий, которые испытывает на себе субъект, так­же подобна последовательности независимых событий: одни факторы действуют в благоприятном направлении, другие - в неблагоприятном, а в результате взаимопогащение их влияний происходит чаще, чем тен­денциозное однонаправленное сочетание (большинство благоприятных или большинство неблагоприятных), т. е. возникает нормальное рас­пределение. Массовые исследования показывают, что введение конт­роля над одним из средовых популяционных факторов (уровень обра­зования родителей, например) приводит к расслоению кривой нормаль­ного распределения: выборочные кривые оказываются смещенными относительно друг друга (Анастази А., 1982, с. 201). Эти результаты служат ярким подтверждением социокультурного происхождения ста­тистических диагностических норм, что одновременно служит осно­ванием для серьезных предосторожностей при переносе норм, полу­ченных на одной популяции, на другие популяции. Однородными мож­но считать только те популяции, по отношению к которым действует одинаковый механизм выборки: ив ситуации создания (стандартиза­ции) теста, и в ситуации его диагностического применения. Здесь при­ходится учитывать и такие нюансы выборочного механизма, как фено­мен нормальных добровольцев. Если выборку стандартизации форми­ровать на студентах, добровольно согласившихся участвовать в тести­ровании, а применение теста планируется на сплошных выборках (в административном порядке), то это грозит определенными ошибками в диагностических суждениях, так как психологический портрет «доб­ровольца» в существенных чертах отличается от портрета испытуемо­го, соглашающегося на тестирование только под административным давлением (Шихирев П.Н, 1979, с. 181).

Подсчет параметров и оценка типа распределения. Для описа­ния выборочного распределения, как правило, используются следую­щие известные параметры:

 

 

1. Среднее арифметическое значение:

, (3.1.1)

где x_j – балл i -го испытуемого;

y_i -значение i -го балла по порядку возрастания;

p _i - частота встречающегося i -го балла;

n - количество испытуемых в выборке (объем);

m - количество градаций шкалы (количество баллов).

 

2. Среднее квадратическое (стандартное) отклонение:

3.

, (3.1.2)

 

где - сумма квадратов тестовых баллов для и испытуемых.

3. Асимметрия:

(3.1.3)

где - среднее арифметическое значение;

S - стандартное отклонение;

θ - среднее кубическое значение: ,

С - среднее квадратическое:

4. Эксцесс:

, (3.1.4)

где Q - среднее значение четвертой степени: .

Стандартная ошибка среднего арифметического значения (мате­матического ожидания) оценивается по формуле:

(3.1.5)

На основе ошибки математического ожидания строятся довери­тельные интервалы: )

Если тестовый балл какого-либо испытуемого попадает в грани­цы доверительного интервала, то нельзя считать, что испытуемый обладает повышенным (или пониженным) значением измеряемого свойства с заданным уровнем статистической значимости.

Асимметрия и эксцесс нормального распределения должны быть равны нулю. Если хотя бы один из двух параметров существенно от­личается от нуля, то это означает анормальность полученного эмпи­рического распределения.

Проверку значимости асимметрии можно произвести на основе общего неравенства Чебышева:

(3.1.6)

где S_a - дисперсия эмпирической оценки асимметрии:

, (3.1.7)

где р - уровень значимости или вероятность ошибки первого рода: ошибки в том, что будет принят вывод о незначимости асимметрии при наличии значимой асимметрии (в формулу подставляют стандар­тные р = 0,05 или р = 0,01 и проверяют выполнение неравенства). Сходным образом оценивается значимость эксцесса:

(3.1.8)

где S_е - эмпирическая дисперсия оценки эксцесса:

 

. (3.1.9)

]

Гипотезы об отсутствии асимметрии и эксцесса принимаются с вероятностью ошибки р (пренебрежимо малой), если выполняются неравенства (3.1.6) и (3.1.8).

Более легкий метод проверки нормальности эмпирического рас­пределения основывается на универсальном критерии Колмогорова. Для каждого тестового балла у. (для каждого интервала равнозначно­сти при дискретизации непрерывной хронометрической шкалы) вы­числяется величина D. - модуль отклонения эмпирической и теорети­ческой интегральных функций распределения:

(3.1.10)

где F- эмпирическая интегральная функция (значение кумуляты в данной точке у _j); U — теоретическая интегральная функция, взятая из таблиц[11]. Среди D _j отыскивается максимальное значение D_max , и вели­чина сравнивается с табличным значением критерия Колмогорова.

В таблице 5 приведены асимптотические критические значения для распределения Колмогорова (при ). Близость эмпиричес­кого значения λ_е к левосторонним стандартным квантилям λ_t позво­ляет констатировать близость эмпирического и предполагаемого тео­ретического распределения с пренебрежимо малой вероятностью ошибки р (0,01; 0,05; 0,10 и т, п.). Близость λ_е к правосторонним стан­дартным квантилям λ­­_t позволяет сделать вывод о статистически зна­чимом отсутствии согласованности эмпирического и теоретического распределений. Надо помнить, что критерий Колмогорова, очень про­стой в вычислительном' отношении, обеспечивает надежные выводы лишь при 200: Критерий Колмогорова резко снижает свою эф­фективность, когда наблюдения группируются по малому количеству интервалов равнозначности. Например, при n = 200 количество ин­тервалов должно быть не менее 20 (примерно по 10 наблюдений на каждый интервал в среднем).

Таблица 5

 

Квантиль λt	0,44	0,52	0,57	0,61	0,65	0,71
Вероятность p	0,99	0,95	0,90	0,85	0,80	0,70
Квантиль λt	0,89	0,97	1,07	1,22	1,36	1,52	1,63
Вероятность p	0,40	0,30	0,20	0,15	0,05	0,02	0,01

Если проверка согласованности эмпирического распределения с нормальным дает положительные результаты, то это означает, что полученное распределение можно рассматривать как устойчивое -репрезентативное по отношению к генеральной совокупности - и, следовательно, на его основе можно определить репрезентативные тестовые нормы. Если проверка не выявляет нормальности на требу­емом уровне, то это означает, что либо выборка мала и нерепрезента­тивна к популяции, либо измеряемые свойство и устройство теста (спо­соб подсчета) вообще не дают нормального распределения.

В принципе отнюдь не обязательно все нормативные распределе­ния сводить к нормальным. Можно с равным успехом пользоваться хорошо разработанными моделями гамма-распределения, пуассоновского распределения и т. п. Критерий Колмогорова позволяет оценить близость вашего эмпирического распределения к любому теоретичес­кому распределению. При этом устойчивым и репрезентативным мо­жет оказаться распределение любого типа. Если из нормальности, как правило, следует устойчивость, то обратное неверно -устойчивость вовсе не обязательно предполагает нормальность распределения.

Наличие значимой положительной асимметрии (см. рис. 2,а) сви­детельствует о том, что в системе факторов, детерминирующих зна­чение измеряемого показателя, преобладают факторы, действующие в одном направлении - в сторону повышения показателя. Такого рода отклонения появляются при использовании хронометрических пока­зателей: испытуемый не может решить задачу быстрее определенно­го минимально необходимого периода, но может существенно долго задерживаться с ее решением. На практике распределения такого рода преобразуют в приближенно нормальное распределение с помощью логарифмической трансформации:

(3.1.11)

 

При этом говорят, что распределение хронометрических показа­телей подчиняется «логнормальному» закону.

Подобную алгебраическую нормализацию тестовой шкалы при­меняют и к показателям с еще более резко выраженной положитель­ной асимметрией. Например, в процедурах контент-анализа сам тес­товый показатель является частотным: он измеряет частоту появле­ния определенных категорий событий в текстах. Для редких катего­рий вероятность появления значительно меньше 0,5. Формула преобразования

 

(3.1.12)

 

позволяет придать необходимую 5-образную форму кумуляте.

Стандартизация шкалы. В психометрике следует различать две формы стандартизации. Под стандартизацией теста понимают преж­де всего стандартизацию самой процедуры проведения инструкций, бланков, способа регистрации, условий и т. п. Без стандартизации теста невозможно получить нормативное распределение тестовых баллов и, следовательно, тестовых норм.

Под стандартизацией шкалы понимают линейное преобразование масштаба нормальной (или искусственно нормализованной) шкалы. В общем случае формула стандартизации выглядит так:

, (3.1.13).

где x_i - исходный балл по «сырой» шкале, для которой доказана нор­мальность распределения;

- среднее арифметическое по «сырому» распределению; S - «сырое» стандартное отклонение;

М- математическое ожидание по выбранной стандартной шкале;

σ - стандартное отклонение по стандартной шкале.

Если шкала подвергалась предварительной искусственной норма­лизации интервалов, то формула упрощается:

z_j =σ z_j =M (3.1.14)

 

Приведем параметры для наиболее популярных стандартных шкал:

1) T -шкала Маккола (тест-опросник MMPI и другие тесты):

М = 50 и σ = 10,

2) шкала IQ: М = 100 и σ = 15,

3) шкала «стэнайнов» (целые численные значения от 1 до 9 -стан­дартная девятка): М = 5,0 и σ = 2,

4) шкала «стенов» (стандартная десятка, 16PF Кеттелла):

М = 5,5.и σ = 2.

Чтобы различать стандартные баллы, полученные с помощью линейной стандартизации и нелинейной нормализации интервалов, Р. Кеттелл ввел понятие «S-стенов» и «n-стенов». Таблицы «и-стенов», естественно, точнее отражают квантили эмпирического нормального распределения. Приведем образец такой таблицы для фактора А из тест-опросника 16PF;

 

Сырые баллы 0-4 5-6 7 8-9 10-12 13 14-15 16 17-18 19-20 Стены 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

 

Применение стандартных шкал позволяет использовать более грубые, приближенные способы проверки типа распределения тесто­вых баллов. Если, например, процентильная нормализация с перево­дом в стены и линейная нормализация с переводом в стены по фор­муле (3.1.13) дают совпадающие целые значения стенов для каждого Y, то это означает, что распределение обладает нормальностью с точ­ностью до «стандартной десятки».

Применение стандартных шкал необходимо для соотнесения ре­зультатов по разным тестам, для построения «диагностических про­филей» по батарее тестов и тому подобных целей.

Проверка устойчивости распределения. Общая логика проверки устойчивости распределения основывается на индуктивном рассуж­дении: если половинное (полученное по половине выборки) распре­деление хорошо моделирует конфигурацию целого распределения, то можно предположить, что это целое распределение будет также хоро­шо моделировать распределение генеральной совокупности.

Таким образом, доказательство устойчивости распределения оз­начает доказательство репрезентативности тестовых норм. Традици­онный способ доказательства устойчивости сводится к наличию хо­рошего приближения эмпирического распределения к какому-либо те­оретическому. Но если эмпирическое распределение не приближается к теоретическому, несмотря на значительное увеличение объема выборки, то приходится прибегать к более общему индуктивному ме­тоду доказательства.

Простейший его вариант может быть сведен к получению таблиц перевода сырых баллов в нормализованную шкалу по данным всей выборки и применению этих таблиц для каждого испытуемого из по­ловины выборки; если распределение нормализованных баллов из по­ловины выборки хорошо приближается к нормальному, то это значит, что заданные таблицами нормализации тестовые нормы определены устойчиво. Близость к нормальному распределению проверяется с по­мощью критерия Колмогорова (при n <200 целесообразно использо­вать более мощные критерии: «хи-вадрат» или «омега-квадрат»).

При этом под «половиной выборки» подразумевается случайная половина, в которую испытуемые зачисляются случайным образом -с помощью двоичной случайной последовательности (типа подбра­сывания монетки и т. п.). В более общем случае такой простейший метод установления однородности двух эмпирических распределений может быть применен и при разбиении выборки по какому-либо сис­тематическому признаку. Если, в частности, по какому-либо из популяционно значимых признаков (пол, возраст, образование, профес­сия) психолог получает значимую неоднородность эмпирических распределений; то это значит, что относительно данных популяционных категорий тестовые нормы должны быть специализированы (одна таблица норм - для мужчин, другая - для женщин и т. д.).

Более статистически корректный метод проверки однородности двух распределений, полученных при расщеплении выборки на рав­ные части, опять же связан с применением критерия Колмогорова. Для этого с табличным значением сравнивается:

 

(3.1.15)

 

где К_е - эмпирическое значение статистики Колмогорова;

F_j1 - кумулятивная относительная частота для у-того интервала шкалы по первой половине выборки;

F_j2 - та же частота для второй половины;

n - полный объем выборки.

Точные значения квантилей распределения Колмогорова для опре­деления размеров выборки можно найти в кн.: Мюллер П. и др., 1982.

Применение критерия Колмогорова не зависит от нормальности целого распределения и от необходимости производить нормализа­цию интервалов.

* * *

 

Итак, априорная предпосылка нормальности распределения тес­товых баллов основывается скорее на принципах операционального удобс